B1 0 I 1l1 4πr 2 方向垂直纸面向里 3 B2 0 I 2l2 4 πr 2 方向垂直纸面向外 圆弧 acb、adb 构成并联电路,有 I 1 R1 I 2 R2 即 或 I1 l1 l I2 2 S1 S I 1l1 I 2 l 2 故可得 O 点磁感应强度 BO B1 B2 B2 0 I 2πr I i i I I 2 π ( r 2 R2 ) 2 π ( R R2 ) 2 3 I r 2 R22 B3 2πr 0 I 2 2 R3 R2 (4) r >R3时,
2 2 0 I R3 r B3 2 2πr R32 R2 0 I 1l1 0 I 2 l 2 0 4 πr 2 4 πr 2 13-9 如图所示,几种载流导线在平面内分布,电流均为I,它们在点O的磁感强 度各为多少? 解 图(a)中,两直线电流延长线均通过O点,所以 B1 B2 0 。O点处总磁感 应强度仅为四分之一圆弧电流产生,故有 BO 0 I 8R 方向垂直纸面向外 图(b)中,O点处总磁感应强度可看作圆形电流和无限长直导线电流组成,由叠 加原理,得 BO 0 I 0 I 2 R 2 πR 方向垂直纸面向里 图(c)中,O点处总磁感应强度可看作二分之一圆弧电流和两半无限长直导线电 流组成,由叠加原理,得 4 BO 0 I 0 I 0 I 0 I 0 I 4 πR 4πR 4 R 2 πR 4 R f G m p g 1.64 10 因此, -26 N f 1.95 1010 N G 即质子所受的洛伦兹力远大于重力。 13-15 如附图所示,在无限长载流长直导线I1旁,垂直放置另一长为L的载流直 7 导线I2,I2导线左端距I1为ɑ,求导线I2所受到的安培力。(此题课本的习题答案错 了) 解:由于电流I2上各点到电流I1距离相同,I2各点处的B相同,I2收到的安培力方 向如图所示,安培力大小为: 13-12 如图所示,载流长直导线的电流为 I,试求通过矩形面积的磁通量。(与 书中 P 61 例 13-2 相同) 解:无限长载流直导线在空间产生的磁场为 B 0 I 2 x 因为 B 与 S 的法线方向相同,则 d m BdS 0 I ldx 2 x Il m BdS 0 2 S B4 2πr 0 磁感应强度分布曲线: B4 0 5 B r O R1 R2 R3 13-11 如图所示,一个半径为 r 的半球面放在均匀磁场中,通过半球面的磁通量 为多大? 解:做一半径为r的圆面S′与半球面S形成一闭合面,根据磁场中的高斯定理可 知: B dS 0 S 即穿过闭合面的总磁通量为0。也就是说穿进S面的磁通量等于穿出S′面的磁通 量。所以通过半球面的磁通量为: s s B S r 2 B cos 如图所示,一用电阻率为 的材料制成的圆台,其高为 l,两端面的半 13-6 径分别为 R1 和 R2 。试计算此圆台两端面之间的电阻。 x R1 O' l 解 建立如图坐标轴,在 x 处高度为 dx 的圆台电阻为 dR dx πr 2 2 r dx R2 O ① 由几何关系,可得 r ( R1 R2 ) x l Hale Waihona Puke Baidu R1 I o R B 解: F = Idl B ,由于均匀磁场中平面载流闭合线圈所受合力为0,故半圆形 L 导线所受安培力等于图中紫色直线导线所受安培力, 大小为2RIB, 方向垂直向外 。 13-17 如图(a)所示,一根长直导线载有电流I1 =30 A,矩形回路载有电流 I2 =20 A.试计算作用在回路上的合力.已知d =1.0 cm,b =8.0 cm,l = 13-18 一半径为 R 的薄圆盘,放在磁感应强度为 B 的均匀磁场中, B 的方向与 盘面平行,如图所示,圆盘表面的电荷面密度为 ,若圆盘以角速度 绕其轴线 转动,试求作用在圆盘上的磁力矩。 解:如图所示取一小圆环,其电流为: dI fdq 2πrdr rdr ,其磁矩大 2π R m B dr s 0 0 Ir I dr 0 2 4 2R 13-14 已知地面上空某处地磁场的磁感强度 B=0.4×10-4T,方向向北,若宇宙射 线中有一速率 v=5.0×107m/s 的质子,垂直地通过该处.求洛伦兹力的大小,并与 该质子受到的万有引力相比较。 解: 洛伦兹力的方向如图所示 因 v B ,质子所受洛伦兹力 f qvb 3.2 10 -16 N 在地球表面质子所受到的万有引力为 8 的贡献抵消。 F3 B(d ) I 2l ,方向向右; F4 B(d b) I 2l ,方向向左;故作用在回路上的合力大 小为 F B(d ) B(d b) I 2l 向指向长直导线。 0 I1 I 2l 1 0 I1 I 2lb 1 ( ) 1.28 103 N ,方 2π d d b 2πd (d b) 13-5 一铜导线横截面积为 4 mm 2 ,20s 内有 80C 的电量通过该导线的某一横截 面,已知铜内自由电子的数密度为 8.5 10 22 m -3 ,每个电子的电量为 1.6 10 -19 C , 求电子的平均定向速率。 解: j I q 1 10 6 A/m 2 S tS j v 7.35 10 -5 m/s ne 13-4 如图所示,一内、外半径分别为 R1 和 R2 的金属圆筒,长度 l ,其电阻率 ,若筒内外电势差为 U ,且筒内缘电势高,圆柱体中径向的电流强度为多 少 ? 解: dR dr dr S 2 πrl R I R2 R1 d r R ln 2 2 π rl 2 πl R1 U R 2 π lU ln 2 R1 R d2 dx 0 Il d 2 ln 2 d1 d1 x
6 13-13 电流 I 均匀地流过半径为 R 的圆形长直导线, 试计算单位长度导线内的磁 场通过附图中所示剖面的磁通量。 解:围绕长直导线的轴线取同心圆为环路 l ,取其绕向与电流成右手螺旋关系, 根据安培环路定理可得 B dl B dl B2r 0 I i R2 R2 dr dr 1 1 ( ) 2 R 1 2r S 2 R 1 R 2 R1 13-3 大气中由于存在少量的自由电子和正离子而具有微弱的导电性,地表面 附近,晴天时大气平均电场强度约为 120 V/m ,大气中的平均电流密度约为 4 10 -12 A/m 2 。 问 : ( 1)大气的电阻率是多大?(2)若电离层和地表面之间的 习题 第十三章 电流和稳恒磁场 电流和稳恒磁场习题 13-1 北京正负电子对撞机的储存环是周长为 240m 的近似圆形轨道,求当环中 电子电流强度为 8mA 时,在整个环中有多少电子在运行。已知电子的速率接近 光速。 解:设储存环周长为 l ,电子在储存环中运行一周所需时间 t l l v c 在这段时间里,通过储存环任一截面的电量即等于整个环中电子的总电量,以 方向垂直纸面向外 13-10 有一同轴电缆,其尺寸如图所示.两导体中的电流均为I,但电流的流向 相反, 导体的磁性可不考虑. 试计算以下各处的磁感强度: (1) r <R1 ; ( 2) R1 <r <R2 ;(3) R2 <r <R3 ;(4) r >R3 .画出B -r 图线. 解 同轴电缆的磁场分布具有轴对称性,磁感应线是围绕轴线的同心圆。取半 将②代入①,并积分得圆台两端面之间的电阻 ② R l 0 dx l 2 πR1 R2 π( R1 R2 ) x l R2 13-7 下列说法正确的是哪个? (A) 闭合回路上各点磁感强度都为零时,回路内一定没有电流穿过 (B) 闭合回路上各点磁感强度都为零时,回路内穿过电流的代数和必定为零 (C) 磁感强度沿闭合回路的积分为零时,回路上各点的磁感强度必定为零 (D) 磁感强度沿闭合回路的积分不为零时,回路上任意一点的磁感强度都不 可能为零 答案 B l l 在导线内r<R, I 所以 B I Ir r2 2 2 R R 2 0 Ir 2R 2 s 在剖面上磁感应强度分布不均匀,因此需要根据磁通量的定义 m B dS 进行计算。 沿轴线方向在剖面上取面元 ds ldr ,考虑到面元上各点B相同,则穿过面元 的磁通量dΦ=BdS,通过积分,可得单位长度导线内的磁通量 电势差为 4 10 5 V , 大气中的总电阻是多大?(课本习题中平均电流密度值错了, 指数少了负号) 解: (1)大气电阻率
E 120 3 1013 m -12 j 4 10 (2)总电阻 1 R U U 4 10 5 196 2 2 I j 4RE 4 10 -12 4 3.14 (6.37 10 6) 0.12 m. 解:各段导线受力如图(b)所示,由于长直载流导线在矩形回路平面上产生的 磁 场 均 垂 直 向 里 , 与 四 段 电 流 都 垂 直 , 即 有 : F Idl B I Bdl 。 L L B (r ) d b 0 I1 。 F1 F2 I 2 B (r )dr ,前者方向向下,后者向上;二者对合力 d 2π r Q 表示,则 Q It I 故电子总数为 l c N Q Il 8 10 -3 240 4 1010 e ec 1.6 10 -19 3 10 8 13-2 一用电阻率为 的物质制成的空心半球壳, 其内半径为 R1 , 外半径为 R2 。 试计算其两表面之间的电阻。(此题课本的习题答案错了,答案是用空心球壳计 算的结果) 解: R dR 13-8 如图所示,有两根导线沿半径方向接触铁环的a、b 两点,并与很远处的 电源相接。求环心O 的磁感强度. 解 根据磁场叠加原理,O 点磁感应强度由 acb、adb、be、ef、fa 中电流共同 产生。 电源很远, Bef 0 。be、fa 两段直线的延长线通过 O 点, Bbe 0 , Bef 0 。设 两圆弧长分别为 l1 和 l 2 ,流过的电流为 I 1 和 I 2 ,方向如图。圆弧 acb、adb 中电 流在 O 点产生的磁场分别为 F = I 2 LB1 sin θ B1 = μ0 I1 2πa θ= π 2 F = I2 L μ0 I1 π μII L sin = 0 1 2 2πa 2 2πa I2受到I1的引力,同理I1也受到I2的引力。 13-16.在均匀磁场中,放置一半圆形半径为 R 通有电流为 I 的载流导线,求载 流导线所受的安培力。 径为 r的磁感应线作积分环路L,由安培环路定理得 B dl B 2πr 0 I i L i (1) r <R1时, B1 2πr 0 I πr 2 2 πR1 B1 0 Ir 2πR12 (2) R1 <r <R2时, B2 2πr 0 I (3) R2 <r <R3时, 小为:dm dIS rdr r 2 r 3dr ,方向向上(与 B 垂直) ,故总磁力矩为 : M
R 0 R BR 4 3 dm B B r dr ,方向向里。 0 4 9 13-19 螺绕环中心周长为 10cm,环上均匀密绕线圈 200 匝,线圈中通有电流 4200 的介质,则管内的 H 0.10A。试求: (1)若管内充满相对磁导率为 r 和 B 各是多少?(2)磁介质中由导线中的传导电流产生的 B0 和由磁化电流产生的