苏州市2009届高三教学调研测试期末
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苏州市2009届高三教学调研测试
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1． 集合{1,0,1}的所有子集个数为_________．
2． 已知复数112iz，21iza（i是虚数单位），若12zz为纯虚数，则实数a＝_________．
3． 直线x＋ay＋3＝0与直线ax＋4y＋6＝0平行的充要条件是_________．
4． 函数11()2xy的值域是_________．（0，＋∞）
5． 如图，程序执行后输出的结果为_________．64．
6． 椭圆2214xym的一条准线方程为my，则m________．5
7． 已知nm,是两条不同的直线，,为两个不同的平面，
有下列四个命题：
①若nm,，m⊥n，则；
②若nmnm,//,//，则//；
③若nmnm,//,，则//；
④若//,//,nm，则nm．
其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）_______________．①④
8． 在△ABC中，AB＝2，AC＝1，D为BC的中点，则ADBC＝_________．32
9． 一颗正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子抛掷三次，观察向上的点数，则三次点数之和等于16的概率为_________．136
10．设等差数列na的公差为d，若7654321,,,,,,aaaaaaa的方差为1，则d=_________．
12
11．已知函数xxmxxf2ln2在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为_________．
CBAP12m≥
12．已知一个正三棱锥P－ABC的主视图如图所示，若AC＝BC＝32，PC＝6，则此正三棱锥的全面积为_________．93
13．在锐角△ABC中，b＝2，B＝π3，sin2sin()sin0AACB，则△ABC的面积为_________．3
14．已知命题：“在等差数列na中，若210424aaa，则11S为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为_________．18
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
已知函数22sin23sincos3cosfxxxxx．
（Ⅰ）求函数fx的单调增区间；
（Ⅱ）已知3f，且0,π，求α的值．
15．解：（Ⅰ）3sin2cos22fxxx＝π2sin(2)26x．„„„„ 4分
由πππ2π22π262kxk≤≤，得ππππ36kxk≤≤．
∴函数fx的单调增区间为 ππ[π,π]36kkkZ．„„„„ 7分
（Ⅱ）由3f，得π2sin(2)236．
∴π1sin(2)62． „„„„„„„„„„„„„„„„ 10分
∴1ππ22π66k，或2π5π22π66k12,kkZ，
即1πk或2ππ3k12,kkZ．
∵0,π，∴π3． „„„„„„„„„„„„„„„„„ 14分
16．（本小题满分14分）
已知数列fn的前n项和为nS，且22nSnn．
（Ⅰ）求数列fn通项公式；
（Ⅱ）若11af，1*nnafanN，求证数列1na是等比数列，并求数列na的前n项和nT．
16．解：（Ⅰ）n≥2时，1()21nnfnSSn． „„„„„„„ 4分
n＝1时，1(1)3fS，适合上式， ∴1()21nnfnSSn*nN． „„„„„„„ 5分
（Ⅱ）113af，121*nnaanN． „„„„„„„ 8分
即112(1)nnaa．
∴数列1na是首项为4、公比为2的等比数列． „„„„„„„ 10分
1111(1)22nnnaa，∴121nna*nN．„„„„„„ 12分
Tn＝231(222)nn＝224nn． „„„„„„„ 14分
17．（本小题满分15分）
在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB＝2．
（Ⅰ）求四棱锥P－ABCD的体积V；
（Ⅱ）若F为PC的中点，求证PC⊥平面AEF；
（Ⅲ）求证CE∥平面PAB．
17．解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，
∠BAC＝60°，∴BC＝3，AC＝2．
在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，
∴CD＝23，AD＝4．
∴SABCD＝1122ABBCACCD
115132233222．„„„„„„ 3分
则V＝155323323． „„„„„„ 5分
（Ⅱ）∵PA＝CA，F为PC的中点，
∴AF⊥PC． „„„„„„ 7分
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，
∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．
∵E为PD中点，F为PC中点，
∴EF∥CD．则EF⊥PC． „„„ 9分
∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．„„ 10分
（Ⅲ）证法一： MFEDCBAPPABCDEF取AD中点M，连EM，CM．则EM∥PA．
∵EM 平面PAB，PA平面PAB，
∴EM∥平面PAB． „„„ 12分
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，
∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．
∵MC 平面PAB，AB平面PAB，
∴MC∥平面PAB． „„„ 14分
∵EM∩MC＝M，
∴平面EMC∥平面PAB．
∵EC平面EMC，
∴EC∥平面PAB． „„„ 15分
证法二：
延长DC、AB，设它们交于点N，连PN．
∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，
∴C为ND的中点． „„12分
∵E为PD中点，∴EC∥PN．„„14分
∵EC 平面PAB，PN 平面PAB，
∴EC∥平面PAB． „„„ 15分
18．（本小题满分15分）
经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t（件），价格近似满足1()20|10|2ftt（元）．
（Ⅰ）试写出该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；
（Ⅱ）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．
18．解：（Ⅰ）1()()(802)(20|10|)(40)(40|10|)2ygtfttttt „„ 4分
＝(30)(40),(010),(40)(50),(1020).tttttt≤≤≤ „„„„„„„„ 8分
（Ⅱ）当0≤t＜10时，y的取值范围是[1200，1225]，
在t＝5时，y取得最大值为1225； „„„„„„„„ 11分
当10≤t≤20时，y的取值范围是[600，1200]，
在t＝20时，y取得最小值为600． „„„„„„„„ 14分
（答）总之，第5天，日销售额y取得最大为1225元；
第20天，日销售额y取得最小为600元． „„„„„„„„ 15分
NFEDCBAP19．（本小题满分16分）
已知点P（4，4），圆C：22()5(3)xmym与椭圆E：22221(0)xyabab有一个公共点A（3，1），F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切．
（Ⅰ）求m的值与椭圆E的方程；
（Ⅱ）设Q为椭圆E上的一个动点，求APAQ的取值范围．
19．解：（Ⅰ）点A代入圆C方程，
得2(3)15m．
∵m＜3，∴m＝1． „„ 2分
圆C：22(1)5xy．
设直线PF1的斜率为k，
则PF1：(4)4ykx，
即440kxyk．
∵直线PF1与圆C相切，
∴2|044|51kkk．
解得111,22kk或． „„„„„„„„ 4分
当k＝112时，直线PF1与x轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去．
当k＝12时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，
∴c＝4．F1（－4，0），F2（4，0）． „„„„„„„„ 6分
2a＝AF1＋AF2＝52262，32a，a2＝18，b2＝2．
椭圆E的方程为：221182xy． „„„„„„„„ 8分
（Ⅱ）(1,3)AP，设Q（x，y），(3,1)AQxy，
(3)3(1)36APAQxyxy． „„„„„„„„ 10分
∵221182xy，即22(3)18xy，
而22(3)2|||3|xyxy≥，∴－18≤6xy≤18． „„„„„„„„ 12分 QPO yxF1ACF2则222(3)(3)6186xyxyxyxy的取值范围是[0，36]． „„„ 14分
3xy的取值范围是[－6，6]．
∴36APAQxy的取值范围是[－12，0]． „„„„„„„„ 16分
20．（本小题满分16分）
已知函数2lnbxxaxf图象上一点P（2，f(2)）处的切线方程为22ln23xy．
（Ⅰ）求ba,的值；
（Ⅱ）若方程0mxf在1[,e]e内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底，e2.7）；
（Ⅲ）令gxfxnx，如果xg图象与x轴交于21210,,0,xxxBxA，AB中点为0,0xC，求证：00gx．
20．解：（Ⅰ）2afxbxx，242afb，2ln24fab．
∴432ab，且ln2462ln22ab． „„„„„„„„ 2分
解得a＝2，b＝1． „„„„„„„„ 4分
（Ⅱ）22lnfxxx，令2()2lnhxfxmxxm，
则222(1)2xhxxxx，令0hx，得x＝1（x＝－1舍去）．
在1[,e]e内，当x∈1[,1)e时，0hx，∴h(x)是增函数；
当x∈(1,e]时，0hx，∴h(x)是减函数． „„„„„„„„ 7分
则方程0hx在1[,e]e内有两个不等实根的充要条件是1()0,e(1)0,(e)0.hhh≤≤„„10分
