直线的参数方程
教学目标：
1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．
2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想．
3. 通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度．
教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．
教学难点：通过向量法，建立参数t（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标,x y之间的联系．
教学方式：启发、探究、交流与讨论.
教学手段：多媒体课件．
教学过程：
一、回忆旧知，做好铺垫
教师提出问题：
1.曲线参数方程的概念及圆与椭圆的参数方程．
2.直线的方向向量的概念．
3.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？
4.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程．
5.如何建立直线的参数方程？
这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善，问题5不急于让学生回答，先引起学生的思考．
【设计意图】通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备．
二、直线参数方程探究
1．回顾数轴，引出向量
数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？
教师提问后，让学生思考并回答问题．
教师引导学生明确：如果数轴原点为O ，数1所对应的点为A ，数轴上点M 的坐标为t ，那么：
①OA u u u r 为数轴的单位方向向量，OA u u u r 方向与数轴的正方向一致，且OM tOA =u u u u r u u u r ；②当OM u u u u r 与OA u u u r 方向一致时（即OM u u u u r 的方向与数轴正方向一致时），0t >；
当OM u u u u r 与OA u u u r 方向相反时（即OM u u u u r 的方向与数轴正方向相反时），0t <；
当M 与O 重合时，0t =； ③||OM t =u u u u r ．教师用几何画板软件演示上述过程．
【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备．
2.类比分析，异曲同工
问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的
任意一条直线能否定义成数轴？
（2）把直线当成数轴后，直线上任意一点
就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利
于建立这两种坐标之间的关系？
教师提出问题后，引导学生思考并得出以下
结论：选取直线l 上的定点0M 为原点，与直线l 平行且方向向上(l 的倾斜角不
为0时)或向右（l 的倾斜角为0时）的单位向量e r 确定直线l 的正方向，同时在
直线l 上确定进行度量的单位长度，这时直线l 就变成了数轴．于是，直线l 上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系．
【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备．
3. 选好参数，柳暗花明
问题（1）：当点M 在直线l 上运动时，点M 满足怎样的几何条件？
让学生充分思考后，教师引导学生得出结论：将直线l 当成数轴后，直线
l 上点M 运动就等价于向量0M M u u u u u u r 变化，
但无论向量怎样变化，都有0M M te =u u u u u u r r ．因此点M 在数轴上的坐标t 决定了点M 的位置，从而可以选择t 作为参数来获取直线l 的参数方程．
【设计意图】明确参数．
问题（2）：如何确定直线l 的单位方向向量e r ？
教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单
位方向向量．
教师引导学生确定单位方向向量，在此基础上
启发学生得出(cos ,sin )e αα=r ，从而明确直线l
的方向向量可以由倾斜角α来确定．
当0απ<<时，sin 0α>，所以直线l 的单位方
向向量e r 的方向总是向上．
【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想．
4. 等价转化，深入探究
问题：如果点0M ,M 的坐标分别为00(,)(,)x y x y 、
，怎样用参数t 表示,x y ？ 教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流．过程如下：
因为(cos ,sin )e αα=r ，（[0,)απ∈），00000(,)(,)(,)M M x y x y x x y y =-=--u u u u u u r ，
0//M M e u u u u u u r r 又，所以存在实数t R ∈，使得0M M te =u u u u u u r r ，即
00(,)(cos ,sin )x x y y t αα--=．
于是0cos x x t α-=，0sin y y t α-=，
即0cos x x t α=+，0sin y y t α=+．
因此，经过定点00(,)M x y ，倾斜角为α的直线的参数方程为
⎩⎨⎧+=+=α
αsin cos 00t y y t x x （t 为参数）． 教师提出如下问题让学生加强认识：
①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？
②参数t 的取值范围是什么？
③参数t 的几何意义是什么？
总结如下：①00,x y ，α是常量，,,x y t 是变量；
②t R ∈； ③由于||1e =r ，且0M M te =u u u u u u r r ，得到0M M t =u u u u u u r ，因此t 表示直线上的
动点M 到定点0M 的距离．当0M M u u u u u u r 的方向与数轴（直线）正方向相同时，0t >；
当0M M u u u u u u r 的方向与数轴（直线）正方向相反时，0t <；当0t =时，点M 与点0M 重合．
【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．
