高一暑假 函数性质

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成为受人尊敬的百年育人集团,让孩子成为人生道路上的冠军

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个性化教学辅导教案

学生姓名 钱沈韵秋 年 级 升高二 学 科 数学

上课时间 2017年7月15号 教师姓名 林桑

课 题 函数性质

教学目标 1.掌握函数单调性、奇偶性、周期性判定方法

2.理解抽象函数的单调性和奇偶性求法

教学过程

教师活动

1.已知函数f(x)=若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是 .

函数单调性的判断与证明

例1 已知函数f(x)=(x≠a).

(1)若a=-2，求证：f(x)在(-∞，-2)上单调递增；

变式 已知函数f(x)=x+，求证：函数f(x)在区间(0，1]上是单调减函数.

220-0.xxxxx，，，-xxa1x

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结合函数单调性求参数范围

例2 若函数f(x)=在区间(-∞，-1)上是减函数，求实数a的取值范围.

变式 (1)如果二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，那么f(2)的取值范围为 .

(2)已知函数f(x)=若f(x)在(0，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为 .

抽象函数的单调性

例3 已知函数f(x)对于任意的x，y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，f(1)=-，且当x>0时，f(x)<0.

(1)求证：f(x)在R上是减函数；

(2)求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值.

-11axx112，21-212-1xxaxaax，，，，23

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变式 已知函数f(x)对任意的m，n∈R，都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，并且x>0时，恒有f(x)>1.

(1)求证：f(x)在R上是增函数；

(2)若f(3)=4，解不等式f(a2+a-5)<2.

函数奇偶性的判定

例1 判断下列各函数的奇偶性.

(1)f(x)=；

(2)f(x)=+；

(3)f(x)=|x+2|-|x-2|；

(4)f(x)=

变式 求证：函数f(x)=x+a(其中a为常数)为偶函数.

函数奇偶性的应用

例2 (1)已知函数f(x)是定义在(-∞，+∞)上的偶函数.当x∈(-∞，0)时，f(x)=x-x4，则当x∈(0，+∞)时，f(x)= .

32--1xxx2-1x21-x220-0.xxxxxx，，，112-12x

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(2)(2014·湖南卷改编)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+1，则f(1)= ，g(1)= .

变式 (1)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，则f(-1)= .

(2)已知f(x)=是奇函数，且f(2)=，那么p= ，q= .

函数奇偶性与单调性的综合应用

例3 已知函数f(x)是定义在R上的单调函数，且对任意的实数a∈R，f(-a)+f(a)=0恒成立，若f(-3)=2.

(1)试判断函数f(x)在R上的单调性，并说明理由；

(2)解关于x的不等式：f+f(m)<0，其中m∈R且m>0.

变式1.(2014·江苏压题卷)若奇函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，且f(2)=0，则不等式≤0的解集为 .

变式2.(2015·全国卷)设函数f(x)=ln(1+|x|)-，则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是 .

223pxxq53-mxx3(-)-2()5fxfxx211x

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变式3.已知偶函数f(x)在[0，+∞)上是增函数，如果f(ax+1)≤f(x-2)在x∈上恒成立，求实数a的取值范围.

变式4.已知奇函数f(x)是定义在(-3，3)上的减函数，且满足不等式f(x-3)+f(x2-3)<0，求x的取值范围.

作函数的图象

例1 分别画出下列函数的图象.

(1)y=； (2)y=； (3)y=|log2x-1|.

变式 分别画出下列函数的图象.

(1)y=|lg x|；

(2)y=x2-2|x|-1.

112，2-1xx||12x

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利用函数图象解题

例2 (2014·中华中学)已知函数y=的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点，那么实数k的取值范围是 .

变式 (2014·湖北卷)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若对任意的x∈R，f(x-1)≤f(x)，则实数a的取值范围为 .

函数的周期性

例3 (2014·泸州模拟)设f(x)是定义在(-∞，+∞)上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x.

(1)求f(π)的值；

(2)当-4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积.

单调性

1.(2014·南通中学)已知函数f(x)为R上的减函数，那么满足f(|x|)

2.(2015·海安中学)已知函数f(x)=在(-∞，+∞)上是减函数，则实数a的取值范围是 .

3.(2014·苏锡常镇调研)已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y=f(x2)+f(k-x)只有一个零点，则实数k的值为 .

2|-1|-1xx12(3-1)41log1aaxaxxx，，，

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4.(2015·盐城中学)已知函数f(x)是定义在(-2，2)上的减函数，并且f(m-1)-f(1-2m)>0，求实数m的取值范围.

奇偶性

1.(2015·北京卷改编)已知下列函数：①y=x2sin x；②y=x2cos x；③y=|ln x|；④y=2-x.其中为偶函数的是 .(填序号)

2.(2015·南通模拟)已知函数f(x)=(x∈R)是奇函数，那么实数a= .

3.(2016·苏州期中)已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)=2x-x2，则f(-1)+f(0)+f(3)= .

4.(2015·天津卷)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1 (m为实数)为偶函数，记a=f(log0.53)，b=f(log25)，c=f(2m)，则a，b，c的大小关系为 .

5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞)上为增函数，若f(1-a)+f(-2a)<0，求实数a的取值范围.

6.已知函数f(x)的定义域D={x|x≠0}，且满足对于任意的x1，x2∈D，有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；

(3)如果f(4)=1，f(3x+1)+f(2x-6)≤3，且f(x)在(0，+∞)上是增函数，求x的取值范围.

·2-221xxaa

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图像和周期性

1.(2015·平潮中学)函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是 .(填序号)

① ②

③ ④

2.(2015·全国卷)已知函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1，4)，则实数a= .

3.已知f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，f(x)=lo(1-x)，则f= .

4.(2014·天津卷)已知函数f(x)=|x2+3x|，x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为 .

1.函数单调性的定义

(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2))，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数).

(2)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫作f(x)的单调区间；若函数是增函数，则称该区间为增区间；若函数为减函数，则称该区间为减区间.

2.复合函数的单调性

对于函数y=f(u)和u=g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u=g(x)在区间(a，b)上和y=f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，那么复合函数y=f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减.

3.求函数单调区间或证明函数单调性的方法 12g2015-4