九年级上册数学练习题二十二

第二十二章《二次函数》单元测试卷一、选择题（每小题只有一个正确答案） 1．下列函数中，是二次函数的为（ ）A ． y =2x +1B ． y =(x −2)2−x 2C ． y =2x 2 D ． y =2x(x +1) 2．二次函数y=2（x ﹣1）2+3的图象的对称轴是（ ） A ． x=1 B ． x=﹣1 C ． x=3 D ． x=﹣33．将抛物线y=x 2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（ ） A ． y=（x +2）2﹣5 B ． y=（x +2）2+5 C ． y=（x ﹣2）2﹣5 D ． y=（x ﹣2）2+5 4．（已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a +b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a ﹣b +c ＞0，其中正确的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 45．已知二次函数y =ax 2−bx −2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a ﹣b 为整数时，ab 的值为（ ）A ． 34或1 B ． 14或1 C ． 34或12 D ． 14或34 6．下列具有二次函数关系的是( )A ． 正方形的周长y 与边长xB ． 速度一定时，路程s 与时间tC ． 三角形的高一定时，面积y 与底边长xD ． 正方形的面积y 与边长x7．给出下列四个函数：y=，2x，y=2x，1，y=3x ，x，0，，y=，x 2+3，x，0），其中y 随x 的增大而减小的函数有（ ）A ． 3个B ． 2个C ． 1个D ． 0个8．在直角坐标系xOy 中，二次函数C 1，C 2图象上部分点的横坐标、纵坐标间的对应值如下表： x … ，1 0 1 2 2.5 3 4 … y 1 … 0 m 1 ，8 n 1 ，8.75 ，8 ，5 … y 2…5m 2，11n 2，12.5，11，5…则关于它们图象的结论正确的是（）A．图象C1，C2均开口向下B．图象C1的顶点坐标为（2.5，，8.75，C．当x，4时，y1，y2D．图象C1，C2必经过定点（0，，5，9．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x=1，给出以下结论：①abc ＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c≥ax2+bx+c；④若M（x2+1，y1）、N（x2+2，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④10．已知二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y=ax+b的图象是（）A．B．C．D．11．如图，抛物线y=−23x2+103x+4分别交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，动点P从D(0,2)出发，先到达x轴上的某点E，再到达抛物线对称轴上的某点F，最后运动到点C，求点P运动的最短路径长为()A．√61B．8C．7D．912．二维码已经给我们的生活带来了很大方便，它是由大小相同的黑白两色的小正方形（如图1中C）按某种规律组成的一个大正方形，现有25×25格式的正方形如图1，角上是三个7×7的A型大黑白相间正方形，中间右下一个5×5的B型黑白相间正方形，除这4个正方形外，若其他的小正方形白色块数y与黑色块数x正好满足如图2所示的函数图象，则该25×25格式的二维码共有多少块黑色的C型小正方形（）A．153B．218C．100D．216二、填空题13．二次函数y，kx2，x，2经过点(1，5)，则k，_________.14．若函数y，(m，3)x m2＋2m－13是二次函数，则m，______.15．若抛物线y=x2−6x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是______，16．已知抛物线y=ax2+bx+c，a，0）的顶点为（2，4），若点（﹣2，m，，，3，n）在抛物线上，则m_____n（填“，”，“=”或“，”，，17．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长20m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是_____m2．三、解答题18．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣2hx+h的图象的顶点为点D．（1）当h=﹣1时，求点D的坐标；（2）当﹣1≤x≤1时，求函数的最小值m．（用含h的代数式表示m）19．二次函数y=，m+1，x2，2，m+1，x，m+3，，1）求该二次函数的对称轴；，2）过动点C，0，n）作直线l，y轴，当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n关于m的函数表达式；，3）若对于每一个给定的x值，它所对应的函数值都不大于6，求整数m，20．某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元.经调查发现，每天的销售量y(个）与每个商品的售价x(元）满足一次函数关系，其部分数据如下表所示：，1，求y与x之间的函数关系式；，2，设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数关系式；，3，不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？21．已知二次函数y=kx2+（k+1）x+1（k≠0）．（1）求证：无论k取任何实数时，该函数图象与x轴总有交点；（2）如果该函数的图象与x轴交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k值．22．如图，抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．(1)求这条抛物线对应的函数解析式；(2)求直线AB对应的函数解析式．23．如图所示，二次函数y=﹣2x2+4x+m的图象与x轴的一个交点为A（3，0），另一个交点为B．且与y轴交于点C．（1）求m的值及点B的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）该二次函数图象上有一点D（x，y），使S△ABD=S△ABC，请求出D点的坐标．参考答案1．D【解析】【分析】先把它们整理成一般形式，再根据二次函数的定义解答．【详解】A选项：一次函数，错误；B选项：原函数可化为：y=-4x+4，一次函数，错误；C选项：不是整式，错误；D选项：原函数可化为：y=2x2+2x，正确．故选：D．【点睛】考查二次函数的定义，一般地，把形如y=ax2+bx+c(a≠0)（a、b、c是常数）的函数叫做二次函数. 2．A【解析】【分析】由抛物线解析式可求得其顶点坐标及对称轴．【详解】∵y，2，x−1，2，3，∴抛物线顶点坐标为（1，3），对称轴为x，1，故选：A，【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y，a，x−h，2，k中，对称轴为x，h，顶点坐标为（h，k，，3．A【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣5．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答本题的关键．4．D【解析】【分析】由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①∵抛物线对称轴是y轴的右侧，∴ab＜0，∵与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵a＞0，x=﹣b＜1，2a∴﹣b＜2a，∴2a+b＞0，故②正确；③∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③正确；④当x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．5．A【解析】【分析】首先根据题意确定a，b的符号，然后进一步确定a的取值范围，根据a，b为整数确定a，b的值，从而确定答案．【详解】，0，a+b，2=0，依题意知a，0，b2a故b，0，且b=2，a，a，b=a，，2，a，=2a，2，于是0，a，2，∴，2，2a，2，2，又a，b为整数，∴2a，2=，1，0，1， 故a=12，1，32，b=32，1，12，∴ab=34或1，故选A， 【点睛】根据开口和对称轴可以得到b 的范围。

初中数学《九上》第二十二章二次函数-二次函数的图象和性质考试练习题姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分评卷人得分1、如图，已知二次函数y＝ax2 +bx +c（a ≠0 ）的图象与x轴交于点A ( ﹣ 1 ， 0) ，与y轴的交点B 在(0 ，﹣ 2) 和 (0 ，﹣ 1) 之间（不包含这两点），对称轴为直线x＝1 ．在下列结论中：①abc＞0 ；②16a +4b +c＜0 ；③4ac﹣b2＜8a；④＜a＜；⑤b＜c．正结论的个数为（）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4知识点：二次函数的图象和性质【答案】C【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标、顶点坐标等知识，逐个判断即可．【详解】抛物线开口向上，因此a＞0 ，对称轴为x =1 ＞ 0 ，a、b异号，故b＜0 ，与y轴的交点B在（0 ，﹣ 2 ）和（0 ，﹣ 1 ）之间，即﹣ 2 ＜c＜﹣1 ，所以abc＞0 ，故① 正确；抛物线x轴交于点A（﹣1 ， 0 ），对称轴为x =1 ，因此与x轴的另一个交点为（3 ， 0 ），当x =4 时，y =16a +4b +c＞0 ，所以② 不正确；由对称轴为x =1 ，与y轴交点在（0 ，﹣ 2 ）和（0 ，﹣ 1 ）之间，因此顶点的纵坐标小于﹣ 1 ，即＜﹣1 ，也就是 4ac﹣b2＜﹣4a，又a＞0 ，所以 4ac﹣b2＜8a是正确的，故③ 是正确的；由题意可得，方程ax2 +bx +c =0 的两个根为x1 = ﹣ 1 ，x2 =3 ，又x1 •x2 =，即c = ﹣ 3a，而﹣2 ＜c＜﹣1 ，也就是﹣ 2 ＜﹣ 3a＜﹣1 ，因此＜a＜，故④ 正确；抛物线过（﹣1 ， 0 ）点，所以a﹣b +c =0 ，即a =b﹣c，又a＞0 ，即b﹣c＞0 ，得b＞c，所以⑤ 不正确，综上所述，正确的结论有三个：①③④ ，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提，本题综合性较强，考查了学生对概念的理解以及知识应用的能力．2、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线(k为常数）．（1 ）若抛物线经过点 (1,k2 ) ，求 k 的值；（2 ）若抛物线经过点 (2k,y1 ) 和点 (2,y2 ) ，且 y1 >y2，求k 的取值范围；（3 ）若将抛物线向右平移 1 个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2 时，新抛物线对应的函数有最小值，求k 的值．知识点：二次函数的图象和性质【答案】(1);(2)k>1 ；（3 ） 1 或 3.【分析】（1 ）把（1 ， k2）代入抛物线解析式中并求解即可；（2 ）将点分别代入抛物线解析式中，由 y1 ＞ y2 列出关于 k 的不等式，求解即可；（3 ）先求出新抛物线的解析式，然后分1≤k≤2 ， k ＞ 2 以及 k ＜ 1 三种情况讨论，根据二次函数的顶点及增减性，分别确定三种情况下各自对应的最小值，然后列出方程并求出满足题意的 k 值即可．【详解】解：（1 ）把点代入抛物线，得解得（2 ）把点代入抛物线，得把点代入抛物线，得解得（3 ）抛物线解析式配方得将抛物线向右平移1 个单位长度得到新解析式为当时，对应的抛物线部分位于对称轴右侧，随的增大而增大，时，，，解得，都不合题意，舍去；当时，，解得；当时，对应的抛物线部分位于对称轴左侧，随的增大而减小，时，，解得，（舍去）综上，或3 ．【点睛】本题考查的知识点是二次函数的代入点求值、二次函数的最值、二次函数与一元二次不等式、方程的关系以及函数平移的问题，解题关键是熟练掌握二次函数的相关知识．3、如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的顶点为（2 ，﹣），抛物线与轴的一个交点为A（4 ，0 ），点B（2 ，），点C与点B关于y轴对称．（1 ）判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；（2 ）顺次连接AB，BC，CO，判断四边形的形状并证明；（3 ）设点P是抛物线上的动点，连接PA、PC、AC，△PAC的面积S随点P的运动而变化；请探究的大小变化并填写表格①④ 处的内容；在当S的值为② 时，求点P的横坐标的值．知识点：二次函数的图象和性质【答案】（1 ）点在该抛物线上；证明见解答；（2 ）四边形是菱形；（3 ）①；②；③；④．当=时，点P的横坐标为或1 或．【分析】（1 ）运用待定系数法，设抛物线解析式为，将代入，即可求得抛物线解析式，当时，，故点在该抛物线上；（2 ）根据，，，的纵坐标相等可判断轴，再由，可判断四边形是平行四边形，再运用两点间距离公式求出，运用菱形的判定定理即可．（3 ）① 设，将，坐标代入即可求出直线的函数表达式；② 当点在直线下方的抛物线上时，如图2 ，设，过点作轴交直线于点，则，根据满足条件的点有3 个，可得在直线下方的抛物线上只有1 个点，即的值最大，再利用二次函数最值性质即可得出答案；③ 由满足条件的点有3 个，结合② 即可得出答案；④ 满足条件的点只有2 个，而在直线上方的抛物线上一定有2 个点，满足，故在直线下方的抛物线上没有点，满足，结合② 即可得出答案．【详解】解：（1 ）设抛物线解析式为，将代入，得：，解得：，抛物线解析式为，点，与点关于轴对称，，，当时，，点在该抛物线上；（2 ）四边形是菱形．证明：，，，，轴，，，，，四边形是平行四边形，，，四边形是菱形．（3 ）① 设直线的函数表达式为，，，，，解得：，直线的函数表达式为；故答案为：；② 当点在直线下方的抛物线上时，如图2 ，设，过点作轴交直线于点，则，，满足条件的点有3 个，在直线下方的抛物线上只有1 个点，即的值最大，，当时，取得最大值，此时点，故答案为：；当P点在直线AC上方时，∴，当=时，即：，解得：，综上所述：当=时，点P的横坐标为或1 或．③ 由② 知，当时，在直线下方的抛物线上有2 个点，满足，在直线上方的抛物线上一定有2 个点，满足，满足条件的点有4 个，符合题意．故答案为：；④满足条件的点只有2 个，而在直线上方的抛物线上一定有2 个点，满足，在直线下方的抛物线上没有点，满足，由② 知，当时，在直线下方的抛物线上没有点，满足，符合题意．故答案为：．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象和性质，菱形的判定，利用二次函数求最值等，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，表达出三角形面积是解题关键．4、在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）A ．B ．C ．D ．知识点：二次函数的图象和性质【答案】B【分析】先求出平移后抛物线的顶点坐标，进而即可得到答案．【详解】解：∵的顶点坐标为（0 ， 0 ）∴ 将二次函数的图像向左平移2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2 ， 1 ），∴ 所得抛物线对应的函数表达式为，故选B【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律，找出平移后二次函数图像的顶点坐标或掌握“ 左加右减，上加下减” ，是解题的关键．5、如图，点在函数的图像上．已知的横坐标分别为－2 、 4 ，直线与轴交于点，连接．（1 ）求直线的函数表达式；（2 ）求的面积；（3 ）若函数的图像上存在点，使得的面积等于的面积的一半，则这样的点共有___________ 个．知识点：二次函数的图象和性质【答案】（1 ）直线AB的解析式为：；（2 ） 6 ；（3 ） 4 【分析】（1 ）将的横坐标分别代入求出生意人y的值，得到A，B点坐标，再运用待定系数法求出直线AB的解析式即可；（2 ）求出OC的长，根据“” 求解即可；（3 ）分点P在直线AB的上方和下方两种情况根据分割法求解即可．【详解】解：（1 ）∵A，B是抛物线上的两点，∴ 当时，；当时，∴ 点A的坐标为（-2 ， 1 ），点B的坐标为（4 ， 4 ）设直线AB的l ∴整理，得，解得，，∴ 在直线AB的下方有两个点P，使得的面积等于的面积的一半；② 当点P在直线AB的上方时，过点A作AD ⊥x轴，过点P作PF ⊥x轴，过点B作BE ⊥x轴，垂足分别为D，F，E，连接PA，PB，如图，∵∴整理，得，解得，，∴ 在直线AB的上方有两个点P，使得的面积等于的面积的一半；综上，函数的图像上存在点，使得的面积等于的面积的一半，则这样的点共有4 个，故答案为：4 ．【点睛】此题主要考查了运用待定系数法示直线解析式，二次函数与图形面积，注意在解决（3 ）问时要注意分类讨论．6、将抛物线y＝2x2平移，得到抛物线y =2(x +4)2 +1 ，下列平移正确的是（）A ．先向左平移个单位，再向上平移个单位B ．先向左平移个单位，再向下平移个单位C ．先向右平移个单位，再向上平移个单位D ．先向右平移个单位，再向下平移个单位知识点：二次函数的图象和性质【答案】A【分析】先利用顶点式得到两抛物线的顶点式，然后通过点平移的规律得到抛物线平移的情况．【详解】解：抛物线y =2x2的顶点坐标为（0 ， 0 ），抛物线y =2(x +4)2 +1 的顶点坐标为（-4 ， 1 ），而点（0 ， 0 ）先向左平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位可得到点（-4 ， 1 ），所以抛物线y =2x2先向左平移4 个单位，再向上平移 1 个单位得到抛物线y =2(x +4)2 +1 ．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．7、二次函数的图象如图所示，若点A和B在此函数图象上，则与的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．无法确定知识点：二次函数的图象和性质【答案】A【分析】由图象可知抛物线的对称轴为直线，所以设点A关于对称轴对称的点为点C，如图，此时点C坐标为（－4 ，y1），点B与点C都在对称轴左边，从而利用二次函数的增减性判断即可．【详解】解：∵ 抛物线的对称轴为直线，∴ 设点A关于对称轴对称的点为点C，∴ 点C坐标为（－4 ，y1），此时点A、B、C的大体位置如图所示，∵ 当时，y随着x的增大而减小，，∴．故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，属于基本题型，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．8、抛物线y=ax²＋ bx ＋ c(a>0) 与直线 y=bx ＋ c 在同一坐标系中的大致图像可能为 ( )A ．B ．C ．D ．知识点：二次函数的图象和性质【答案】B【分析】根据a 、 b 、 c 的符号，根据二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，逐一讨论即可得答案．【详解】A.∵a ＞ 0 ，∴ 二次函数的图象开口向上，故该选项错误，B.∵ 二次函数图象与 y 轴交于 y 轴正半轴，对称轴在 y 轴右侧，∴c ＞ 0 ，＞0 ，∴b ＜ 0 ，∴ 对于一次函数 y=bx ＋ c=0 时， x=＞0 ，∴ 一次函数与 x 轴交于 x 轴正半轴，故该选项正确，C. 由 B 选项可知该选项错误，D.∵ 二次函数图象与 y 轴交于 y 轴负半轴，对称轴在 y 轴右侧，∴c ＜ 0 ，＞0 ，∴b ＜ 0 ，∴ 对于一次函数 y=bx ＋ c=0 时， x=＜0 ，∴ 一次函数与 x 轴交于 x 轴负半轴，故该选项错误，故选：B ．【点睛】此题主要考查了一次函数与二次函数图象，关键是熟练掌握一次函数y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．9、若抛物线y =ax2 +bx +c与x轴的交点为A (4 ， 0) 与B (2 ， 0) ，则抛物线的对称轴为直线x =______ ．知识点：二次函数的图象和性质【答案】3【分析】利用点A和点B为对称点确定抛物线的对称轴．【详解】解：∵抛物线y =ax2 +bx +c与x轴的两个交点坐标是A (4 ， 0) 和B (2 ， 0) ，∴ 抛物线的对称轴为直线x =(4+2)=3 ．故答案为：3 ．【点睛】本题考查的是二次函数与x轴的交点，函数的对称轴为函数和x轴交点的中点，利用中点公式即可求解．10、已知抛物线的顶点坐标为(4 ，−1) ，与y轴交于点(0 ， 3) ，则这条抛物线的解析式是 ______ ．知识点：二次函数的图象和性质【答案】y =（x -4 ）2 -1【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则设抛物线的顶点式为y =a（x -4 ）2 -1 （a ≠0 ），再把（0 ， 3 ）代入可计算出a的值即可．【详解】解：∵ 抛物线的顶点坐标为（4 ， -1 ），∴ 设抛物线的解析式为y =a（x -4 ）2 -1 （a ≠0 ），把（0 ， 3 ）代入上式得： 16a -1=3 ，解得，a =．∴ 这条抛物线的解析式为：y =（x -4 ）2 -1 ，故答案为：y =（x -4 ）2 -1 ．【点睛】本题考查了待定系数法法求二次函数解析式：先设二次函数的解析式（一般式、顶点式或交点式），然后把二次函数上的点的坐标代入得到方程组，再解方程组，从而确定二次函数的解析式．11、已知二次函数y＝x2＋bx＋c（a ≠0 ）的图象与x轴交于A，B（1 ， 0 ）两点，与y轴交于点C（0 ，－ 3 ）．（1 ）求二次函数的表达式及点A的坐标；（2 ）点D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；（3 ）点M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N．使以M，N，B，O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．知识点：二次函数的图象和性质【答案】（1 ）y＝x2＋2x－3 ，A ( － 3 ， 0) ；（2 ）; （3 ）存在，点N的坐标为( － 2 ，－ 3) 或 (0 ，－ 3) 或 (2 ， 5)【分析】（1 ）利用待定系数法解决问题即可．（2 ）如图 1 中连接AD，CD．由题意点D到直线AC的距离取得最大，推出此时△DAC的面积最大．过点D 作 x 轴的垂线交AC于点G，设点D的坐标为（x，x2 +2x -3 ），则G（x，-x -3 ），推出DG =-x -3- （x2 +2x -3 ） =-x -3-x2 -2x +3=-x2 -3x，利用二次函数的性质求解即可．（3 ）分两种情形：OB是平行四边形的边或对角线分别求解即可．【详解】(1) 把B (1 ， 0) ，C (0 ，－ 3) 代入y＝x2＋bx＋c，得，解得，∴ 二次函数的表达式为y＝x2＋2x－3 ，令y＝0 ，则x2＋2x－3 ＝ 0 ，解得x＝－3 或 1.∴A ( － 3 ， 0) ；(2) 如图 1 ，连接AD，CD .∵ 点D到直线AC的距离取得最大，∴ 此时△DAC的面积最大．由A ( － 3 ， 0) ，C (0 ，－ 3) ，得直线AC的解析式为y＝－x－3.过点D作x轴的垂线交AC于点G，设D (x，x2＋2x－3) ，则G (x，－x－3).∵ 点D在第三象限，∴ － 3 ＜x＜0 ，DG＝－x－3 － (x2＋2x－3) ＝－x2－3x，∴S△ ACD＝DG ·OA＝( －x2－3x )×3 ＝－x2－x＝－＋，∴ 当x＝－时，S△ ACD最大，此时D，∴ 点D到直线AC的距离取得最大值时，D；(3) 点N的坐标为( － 2 ，－ 3) 或 (0 ，－ 3) 或 (2 ， 5) ，如图2 ，当OB是平行四边形的边时，OB＝MN＝1 ，OB ∥MN，可得N ( － 2 ，－ 3) 或N ′(0 ，－ 3) ；当OB为对角线时，点N ″ 的横坐标为 2 ，当x＝2 时，y＝4 ＋ 4 － 3 ＝ 5 ，∴N ″(2 ， 5).综上所述，满足条件的点N的坐标为( － 2 ，－ 3) 或 (0 ，－ 3) 或 (2 ， 5).【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．12、某超市经销一种商品，每件成本为50 元．经市场调研，当该商品每件的销售价为 60 元时，每个月可销售 300 件，若每件的销售价每增加 1 元，则每个月的销售量将减少 10 件．设该商品每件的销售价为x 元，每个月的销售量为y件．（1 ）求y与x的函数表达式；（2 ）当该商品每件的销售价为多少元时，每个月的销售利润最大？最大利润是多少？知识点：二次函数的图象和性质【答案】（1 ） y ＝ -10x+900 ；（2 ）每件销售价为 70 元时，获得最大利润；最大利润为 4000 元【分析】（1 ）根据等量关系“ 利润＝（售价﹣进价）× 销量” 列出函数表达式即可．（2 ）根据（1 ）中列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值．【详解】解：（1 ）根据题意，y＝300 ﹣ 10 （x﹣60 ） =-10x+900 ，∴y与x的函数表达式为：y＝-10x+900 ；（2 ）设利润为 w ，由（1 ）知：w＝（x ﹣ 50 ）（-10x+900 ） = ﹣ 10x2＋1400x﹣45000 ，∴w＝﹣10 （x﹣70 ）2＋4000 ，∴ 每件销售价为 70 元时，获得最大利润；最大利润为 4000 元．【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用．此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式．13、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（﹣3 ， 0 ）和点B（5 ，0 ），顶点为点D，动点M、Q在x轴上（点M在点Q的左侧），在x轴下方作矩形MNPQ，其中MQ＝3 ，MN ＝2 ．矩形MNPQ沿x轴以每秒1 个单位长度的速度向右匀速运动，运动开始时，点M的坐标为（﹣6 ， 0 ），当点M与点B重合时停止运动，设运动的时间为t秒（t＞0 ）．（1 ）b＝，c＝．（2 ）连接BD，求直线BD的函数表达式．（3 ）在矩形MNPQ运动的过程中，MN所在直线与该二次函数的图象交于点G，PQ所在直线与直线BD 交于点H，是否存在某一时刻，使得以G、M、H、Q为顶点的四边形是面积小于10 的平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（4 ）连接PD，过点P作PD的垂线交y轴于点R，直接写出在矩形MNPQ整个运动过程中点R运动的路径长．知识点：二次函数的图象和性质【答案】（1 ），；（2 ）y＝x﹣5 ；（3 ）存在，t＝5 或t＝5 ＋；（4 ）【分析】（1 ）把代入，列方程组求出b，c的值；（2 ）将抛物线的函数表达式由一般式配成顶点式，求出顶点D的坐标，再用待定系数法求直线BD的函数表达式；（3 ）先由，且，确定t的取值范围，再用含t的代数式分别表示点G、点H的坐标，由列方程求出t 的值；（4 ）过点P作直线的垂线，垂足为点F，交y轴于点G，由，确定点R的最低点和最高点的坐标，再求出点R运动的路径长．【详解】解：（1 ）把代入，得，解得，故答案为：，．（2 ）∵，∴ 该抛物线的顶点坐标为；设直线BD的函数表达式为，则，解得，∴．（3 ）存在，如图 1 、图 2 ．由题意得，，∴，；∵，且，∴，解得＜t＜，且；∵，∴ 当时，以为顶点的四边形是平行四边形，∴；由，解得，（不符合题意，舍去）；由，解得，（不符合题意，舍去），综上所述，或．（4 ）由（2 ）得，抛物线的对称轴为直线，过点P作直线的垂线，垂足为点F，交y轴于点G，如图3 ，点Q在y轴左侧，此时点R在点G的上方，当点M的坐标为（﹣6 ， 0 ）时，点R的位置最高，此时点Q与点A重合，∵，∴，∴，∴＝＝6 ，∴R（0 ， 4 ）；如图4 ，为原图象的局部入大图，当点Q在y轴右侧且在直线左侧，此时点R的最低位置在点G下方，由，得，，∴GR＝；设点Q的坐标为（r，0 ）（0 ＜r＜1 ），则P（r，﹣2 ），∴GR＝＝r2＋r＝，∴ 当r＝时，GR的最小值为，∴R（0 ，）；如图5 ，为原图象的缩小图，当点Q在直线右侧，则点R在点G的上方，当点M与点B重合时，点R的位置最高，由，得，，∴GR＝＝＝28 ，∴R（0 ， 26 ），∴，∴ 点R运动路径的长为．【点睛】本题重点考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质、待定系数法求函数解析式、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、解一元二次方程以及动点问题的求解等知识与方法，还涉及数形结合、分类讨论等数学思想的运用，综合性强、难度大，属于考试压轴题．14、二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④，其中错误结论的个数是（）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4知识点：二次函数的图象和性质【答案】A【分析】① 对称轴为，得；② 函数图象与 x 轴有两个不同的交点，得；③ 当时，，当时，，得；④ 由对称性可知时对应的y 值与时对应的y 值相等，当时【详解】解：由图象可知，对称轴为，，，① 正确；∵ 函数图象与 x 轴有两个不同的交点，，② 正确；当时，，当时，，③ 正确；由对称性可知时对应的y 值与时对应的y 值相等，∴ 当时，④ 错误；故选A ．【点睛】考查二次函数的图象及性质；熟练掌握从函数图象获取信息，将信息与函数解析式相结合解题是关键．15、如图，抛物线y＝ax2 +bx +c（a ≠0 ）的图象经过A（1 ， 0 ），B（3 ， 0 ），C（0 ， 6 ）三点．（1 ）求抛物线的解析式．（2 ）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1 ： 2 两部分，求点E的坐标．（3 ）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．知识点：二次函数的图象和性质【答案】（1 ）y =2x2﹣8x +6 ；（2 ）点E (2 ， 2) 或 (3 ， 4) ；（3 ）存在，当点P坐标为(5 ， 16) 或 ( ﹣ 1 ， 16) 或 (3 ， 0) 时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形【分析】（1 ）设抛物线解析式为：y＝a (x﹣1)(x﹣3) ，把点C坐标代入解析式，可求解；（2 ）先求出点M，点N坐标，利用待定系数法可求AD解析式，联立方程组可求点D坐标，可求S△ ABD ＝×2×6 ＝ 6 ，设点E(m，2m﹣2) ，分两种情况讨论，利用三角形面积公式可求解；（3 ）分两种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解．【详解】解：（1 ）∵ 抛物线y＝ax2 +bx +c（a ≠0 ）的图象经过A (1 ， 0) ，B (3 ， 0) ，∴ 设抛物线解析式为：y＝a (x﹣1)(x﹣3) ，∵ 抛物线y＝a (x﹣1)(x﹣3)(a ≠0) 的图象经过点C (0 ， 6) ，∴6 ＝a (0 ﹣ 1)(0 ﹣ 3) ，∴a＝2 ，∴ 抛物线解析式为：y＝2(x﹣1)(x﹣3) ＝ 2x2﹣8x +6 ；（2 ）∵y＝2x2﹣8x +6 ＝ 2(x﹣2)2﹣2 ，∴ 顶点M的坐标为(2 ，﹣ 2) ，∵ 抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，∴ 点N (2 ， 2) ，设直线AN解析式为：y＝kx +b，由题意可得：，解得：，∴ 直线AN解析式为：y＝2x﹣2 ，联立方程组得：，解得：，，∴ 点D（4 ， 6 ），∴S△ ABD＝×2×6 ＝ 6 ，设点E (m，2m﹣2) ，∵ 直线BE将△ABD的面积分为1 ： 2 两部分，∴S△ ABE＝S△ ABD＝2 或S△ ABE＝S△ ABD＝4 ，∴×2×(2m﹣2) ＝ 2 或×2l 若AD为平行四边形的对角线，∵ 以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，∴AD与PQ互相平分，∴，∴x P＝3 ，∴ 点P坐标为(3 ， 0) ，综上所述：当点P坐标为(5 ， 16) 或 ( ﹣ 1 ， 16) 或 (3 ， 0) 时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．16、已知二次函数c和一次函数的图象都经过点A（-3 ， 0 ），且二次函数的图象经过点B（0 ， 3 ），一次函数的图象经过点C（0 ， -1 ）．（1 ）分别求m、n和b、c的值；（2 ）点P是二次函数的图象上一动点，且点P在x轴上方，写出△ACP的面积S关于点P的横坐标x 的函数表达式，并求S的最大值．知识点：二次函数的图象和性质【答案】（1 ），，，；（2 ）．【分析】（1 ）将将A（-3 ， 0 ），B（0 ， 3 ），代入二次函数，将A（-3 ， 0 ），C（0 ， -1 ）代入一次函数，分别求解即可；（2 ）分两种情况：当时，过点P作轴交轴于点，根据点P在x轴上方，设点P的坐标是（，）得到△ACP的面积S关于点P的横坐标x的函数表达式是；当时，过点C作轴，过点P作交于点，过点A作交于点，根据点P在x轴上方，设点P的坐标是（，）得到△ACP的面积S关于点P的横坐标x的函数表达式是；则可知△ACP的面积S关于点P的横坐标x的函数表达式，在利用配方法得到，可以得出面积的最大值．【详解】解：（1 ）∵ 二次函数和一次函数的图象都经过点A（-3 ， 0 ），且二次函数的图象经过点B（0 ，3 ），一次函数的图象经过点C（0 ， -1 ）．∴ 将A（-3 ， 0 ），B（0 ， 3 ），代入二次函数得：，解之得：，将A（-3 ， 0 ），C（0 ， -1 ）代入一次函数得：，解之得：，（2 ）由（1 ）可知，二次函数的关系式是，当时，有，则有：，∴ 二次函数与x轴的交点坐标是：（-3 ， 0 ），（1 ， 0 ），∴ 当时，图像如下图所示，过点P作轴交轴于点，∵ 点P在x轴上方，设点P的坐标是（，）则由图像可知，，，，∴∵ 点P是二次函数的图象上，∴∴ 当时，图像如下图所示，过点C作轴，过点P作交于点，过点A作交于点，∵ 点P在x轴上方，设点P的坐标是（，）则由图像可知，，，，∴∵ 点P是二次函数的图象上，∴综上所述，△ACP的面积S关于点P的横坐标x的函数表达式是，∵∴△ACP的面积最大值是．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、三角形的面积，最值等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．17、已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点．当的值最小时，的面积为__________ ．知识点：二次函数的图象和性质【答案】4【分析】根据题意画出函数图像，要使的值最小，需运用对称相关知识求出点E的坐标，然后求的面积即可．【详解】解：根据题意可求出，抛物线的对称轴为：，根据函数对称关系，点B关于的对称点为点A ，连接AD 与交于点E，此时的值最小，过D 点作x轴垂线，垂足为F，设抛物线对称轴与x轴交点为G，∵，∴，∴，∴，过点C作的垂线，垂足为H，所以四边形ACHE的面积等于与梯形ACHG 的面积和，即，则S 四边形 ACHE -，故答案为：4 ．【点睛】本题主要考查二次函数的交点坐标、对称轴、相似三角形、对称等知识点，根据题意画出图形，可以根据对称求出点E 的坐标是解决本题的关键．18、如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，点在轴上，点在轴上，点的坐标为，抛物线经过点．（1 ）求抛物线的解析式；（2 ）根据图象写出不等式的解集；（3 ）点是抛物线上的一动点，过点作直线的垂线段，垂足为点, 当时，求P点的坐标．知识点：二次函数的图象和性质【答案】（1 ）；（2 ）；（3 ）坐标有或或【分析】(1) 先求出A、B两点坐标，再代入抛物线中即可求出解析式；(2) 将不等式变形为, 进而得到二次函数图像在一次函数图像上方即可求解；(3) 先证明△PDQ为等腰直角三角形，进而求出，再分类讨论P点在直线AB上方或下方进而求解．【详解】解：(1) 当时，，解得，当时，，则点，点，把，，，分别代入得解得：，，，∴ 该抛物线的解析式为．(2) 由不等式，得，由图像可知，二次函数图像在一次函数图像上方，则不等式的解集为；(3) 如图，作轴于点，交于点，在中，∵，∴，∴，在中，，∴，∴，设点，则点，当点在直线上方时，，即，解得，则，∴点的坐标为：．当点在直线下方时，，即解得，∴，∴或，综上所述，符合条件的点坐标有或或．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，图像法解不等式及等腰直角三角形的性质等，第(3) 问中需要分类讨论P点位于直线AB上方或下方的情况．19、已知抛物线y＝ax2 +3x + （a﹣2 ），a是常数且a＜0 ，下列选项中可能是它大致图像的是（）A ．B ．C ．D ．知识点：二次函数的图象和性质【答案】B【分析】根据a＜0 ，可以确定抛物线开口以及（a﹣2 ）的正负，进而得出正确答案．【详解】解：∵a＜0 ，∴a﹣2 ＜ 0 ，对称轴直线∴ 抛物线开口向下，与y轴交点在负半轴，对称轴在y轴右侧，故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是确定l 故答案为：3 ．【点睛】本题考查了二次函数的平移，解题关键是确定抛物线的对称轴，利用平移规律求解．。

人教版九年级上册数学第二十二章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，点（1，0）在函数图象上，那么abc、2a+b、a+b+c、a﹣b+c这四个代数式中，值大于或等于零的数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2、将二次函数y=x2-1的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为（）A.y=（x﹣1）2-4B.y=（x+1）2﹣4C.y=（x-1）2+2D.y=（x+1）2+23、函数y＝x2+1与y＝x2图象不同之处是（）A.对称轴B.开口方向C.顶点D.形状4、已知二次函数有最大值0，则a,b的大小关系为（）A. ＜B.C. ＞D.大小不能确定5、根据表中的自变量x与函数y的对应值，可判断此函数解析式为（）x …﹣1 0 1 2 …y …﹣1 2 …A.y=x B.y=﹣ C.y= （x﹣1）2+2 D.y=﹣（x﹣1）2+26、如图，双曲线y= 经过抛物线y=ax2+bx（a≠0）的顶点（﹣1，m）（m＞0），则下列结论中，正确的是（）A.a+b=kB.2a+b=0C.b＜k＜0D.k＜a＜07、把抛物线y=（x﹣1）2+2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线是（）A.y=x 2B.y=（x﹣2）2C.y=（x﹣2）2+4D.y=x 2+48、如图,菱形的边长是4厘米, ,动点以1厘米/秒的速度自点出发沿方向运动至点停止,动点以2厘米/秒的速度自点出发沿折线运动至点停止若点同时出发运动了秒,记的面积为,下面图象中能表示与之间的函数关系的是( )A. B. C.D.9、将二次函数的图象向左平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（）A. B. C. D.10、对抛物线：y=﹣x2+2x﹣3而言，下列结论正确的是（）A.与x轴有两个交点B.开口向上C.与y轴的交点坐标是（0，3） D.顶点坐标是（1，﹣2）11、在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（）A. B. C. D.12、对于二次函数y=2（x+1）（x﹣3），下列说法正确的是（）A.图象的开口向下B.当x＞1时，y随x的增大而减小C.当x＜1时，y随x的增大而减小D.图象的对称轴是直线x=﹣113、二次函数的顶点和对称轴分别是（）A. ，直线x=1B. ，直线x=4C. ，直线D. ，直线14、下列函数解析式中,一定为二次函数的是( )A.y=3x−1B.y=ax 2+bx+cC.s=2t 2+2t+1D.y=x 2+15、已知二次函数图象的一部分如图所示，给出以下结论：；当时，函数有最大值；方程的解是，；，其中结论错误的个数是A.1B.2C.3D.4二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，抛物线y1=a（x+2）2﹣3与y2= （x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2﹣y1=4④2AB=3AC．其中正确结论是________．17、将二次函数y=ax2+bx+c利用配方法化为顶点式________．18、将抛物线y=2 向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为________.19、二次函数y=﹣3x2+1的图象如图所示，将其沿x轴翻折后得到的抛物线的解析式为________20、已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a(a≠0)的图象与x轴的一个交点为(m，0)，若2＜m＜4，则a的范围________.21、将抛物线y=x2+2x向右平移1个单位后的解析式为________ 。

人教版九年级上册数学第二十二章测试卷一、单选题1．把二次函数y=x 2-4x+1化成y=a （x-h ）2+k 的形式是（ ）A ．y=（x-2）2+1B ．y=（x-2）2-1C ．y=（x-2）2-3D ．y=（x-2）2+3 2．抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（ ）A ．（﹣1，2）B ．（﹣1，﹣2）C ．（1，﹣2）D ．（1，2） 3．将抛物线y=x 2﹣4x ﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ）A ．y=（x+1）2﹣13B ．y=（x ﹣5）2﹣3C ．y=（x ﹣5）2﹣13D ．y=（x+1）2﹣34．已知二次函数y ＝a (x －1)2＋3，当x ＜1时，y 随x 的增大而增大，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥0 B ．a ≤0 C ．a ＞0 D ．a ＜05．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为1x =．给出以下结论：①0abc >；②24b ac >；③420a b c ++>；④30a c +>．其中，正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x 2+a 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 7．对于下列结论：①二次函数y=6x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大；②关于x 的方程a （x+m ）2+b=0的解是x 1=﹣2，x 2=1（a 、m 、b 均为常数，a≠0），则方程a （x+m+2）2+b=0的解是x 1=﹣4，x 2=﹣1；③设二次函数y=x 2+bx+c ，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是c≥3．其中，正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个8．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来100 元降到81 元。