第十三章 气体动理论
13-1 真空设备内部的压强可达到1.013×10-10 Pa ，若系统温度为300K ，在此压强下，气体分子数密度为多少？
解： 1023
10102.45300
101.38101.013⨯=⨯⨯⨯==--kT p n m -3
13-2 2.0×10-2 kg 氢气装在2.0×10-3 m 3的容器内，当容器内的压强为3.90×105 Pa 时，氢气分子的平均平动动能为多大？
解: 根据公式p =
k εn 3
2,可得
5
22223
33
33 3.9010 1.94102.010 6.021022 2.010 2.010k p n
ε----⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯
⨯⨯⨯J
13-3 体积为1.0×10-3 m 3的容器中含有1.01×1023个氢气分子，如果其中压强为1.01×105Pa ，求该氢气的温度和分子的方均根速率。
解: 由理想气体物态方程可得氢气温度为：
T =p / (nk )=p V / (Nk )=72.5K
氢气分子的方均根速率为：
29.5110m ==⨯s -1
13-4 一容器内贮有氧气，其压强为1.01×105 Pa ，温度为27.0℃，求：（1）气体分子的数密度；（2）氧气的密度；（3）分子的平均平动动能；（4）分子间的平均距离（设分子间均匀等距排列）。
解： （1）气体分子的数密度
n =p / (kT )=2.44⨯1025 m -3 （2）氧气的密度
ρ=m / v =p M / R T =1.30 kg ⋅m -3 （3）氧气分子的平均平动动能
k ε=3kT / 2=6.21⨯10-21J
（4）氧气分子的平均距离
d
⨯10-9 m
（本题给出了通常状态下气体的分子数密度、平均平动动能、分子间平均距离等物理量。）
13-5 某些恒星的温度可达到1.0×108 K ，这也是发生核聚变反应（也称热核反应）所
需要的温度，在此温度下的恒星可视为由质子组成。问：（1）质子的平均动能是多少？（2）质子的方均根速率是多大？
解： (1) 质子的平均动能
215/23/2 2.0710J k
mv kT ε-===⨯
（2）质子的方均根速率为
162s m 101.583-⨯==
m
kT
v
13-6
质点在地球引力作用下所需的逃逸速率为v r 为地球半径，（1）若使氢气分子和氧气分子的最概然速率与逃逸速率相等，它们各自应有多高的温度；（2）说明大气层中为什么氢气比氧气要少（取r =6.40×106 m ）。
解： 分子的最概然速率为m
M RT v 2 p =
依题意有： T =
R
grM m
22 对氢气： T =
K 101.518.312102106.409.8243
6⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯- 对氧气： T =
K 102.418.31
21032106.49.8253
6⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯-
13-7 图中I 、Ⅱ两条曲线是两种不同气体（氢气和氧气）在同一温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线，试由图中数据求出：（1）氢气分子和氧气分子的最概然速率；（2）气体的温度。
分析： 由v p =m 2RT/M 可知，在相同温度下摩尔质量较大的气体。其最概然速率较小。由此可断定图中曲线所标v p =2.0⨯10-3m ⋅s -1对应于氢气分子的最概然速率，从而可求出
该曲线所对应的温度，氧气的最概然速率即可求得。
解： （1）氢气分子和氧气分子的最概然速率
氢气分子的最概然速率为
v p =3102.02⨯=2H RT/M m ⋅s -1
氧气分子最概然速率
v p =m 105.04v 22
H P 22⨯==O RT/M ⋅s -1
（2）气体的温度
由v p =m 2RT/M 可得气体温度 T =v 2
p ⨯ M m / 2R = 4.81⨯102 K
13-8 声波在理想气体中的传播的速率正比于气体分子的方均根速率，问声波通过氢气的速率与通过氧气的速率之比为多少？设这两种气体都为理想气体并具有相同的温度。
解: 声波速率u 与气体分子的方均根速率成正比，而在温度一定的条件下，气体分子的方均根速率与m 1/M 成正比。设声速u=A m 1/M ，式中A 为比例常量，则声波通过氧气与氢气的速率之比为
22
H O 41
u u =
=
13-9 在容积为2.0×10-3 m 3的容器中，有内能为6.75×102 J 的刚性双原子分子理想气体，（1）求气体的压强；（2）若容器中分子总数为5.4×1022个，求分子的平均平动动能及气体的温度。
解： （1）气体压强
由E =
m R 2m i T M ⨯和pV = m
m R M T 可得气体压强 p = 2E /（iV ）= 1.35⨯105p a
（2）气体分子的平均平动动能为
3
5
k E N ε=
⨯=7.50⨯10-21J 气体的温度
T = p /nk = pV (Nk ) = 3.62⨯102 K
13-10 某气体系统速率分布规律为：
⎩⎨⎧>≤≤=)
(0
)(02F F v v v v dv
Av N dN 式中A 为常量。（1）画出速率分布曲线；（2）用v F 表出常量A ；（3）求气体的最概然速率、平均速率和方均根速率。
解： （1）速率分布曲线如图所示。
（2）根据归一化条件应有
133
F
2
===⎰⎰∞v A dv Av Ndv dN
F
v 0
则 A =
3F
3v （3）
2v A Ndv
dN
=的最大值所对应的速率为v F 。则 v p = v F 而 F F 2v v A dv vAv v 4
3
44===
⎰F
v 0
