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上海市虹口区2019届高三一模数学试卷
2018.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 计算：153lim 54n n
n n
n +→∞-=+ 2. 不等式21
x x >-的解集为 3. 设全集U =R ，若{2,1,0,1,2}A =--，3{|log (1)}B x y x ==-，则()U A B =ð
4. 设常数a ∈R ，若函数3()log ()f x x a =+的反函数的图像经过点(2,1)，则a =
5. 若一个球的表面积为4π，则它的体积为
6. 函数8()f x x x
=+，[2,8)x ∈的值域为
7. 二项式62
)x
的展开式的常数项为 8. 双曲线22
143
x y -=的焦点到其渐近线的距离为 9. 若复数sin i 1cos i
z θ
θ-=（i 为虚数单位），则||z 的最大值为 10. 已知7个实数1、2-、4、a 、b 、c 、d 依次构成等比数列，若成这7个数中任取2 个，则它们的和为正数的概率为
11. 如图，已知半圆O 的直径4AB =，OAC 是等边
三角形，若点P 是边AC （包含端点A 、C ）上的动点，
点Q 在弧BC 上，且满足OQ OP ⊥，则OP BQ ⋅的最
小值为
12. 若直线y kx =与曲线恰2|log (2)|2|1|x y x +=--有两个公共点，则实数k 取值范围为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 已知x ∈R ，则“12||33
x -<”是“1x <”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
14. 关于三个不同平面α、β、γ与直线l ，下来命题中的假命题是（ ）
A. 若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于β
B. 若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于β
C. 若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥
D. 若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β
15. 已知函数2()1f x ax x =-+，1,1(),111,1x g x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩
，若函数()()y f x g x =-恰有两个
零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A. (0,)+∞
B. (,0)(0,1)-∞
C. 1(,)(1,)2
-∞-+∞ D. (,0)(0,2)-∞ 16. 已知点E 是抛物线2:2C y px =(0)p >的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线C 上，在EFP 中，若sin sin EFP FEP μ∠=⋅，则μ的最大值为（ ）
A.
B.
C.
D.
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C 是底面直径AB 所对弧的中点， 点D 是母线PA 的中点.
（1）求该圆锥的侧面积与体积；
（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小.
18. 已知函数16()1x f x a a
+=-+(0a >且1)a ≠是定义在R 上的奇函数. （1）求实数a 的值及函数()f x 的值域；
（2）若不等式()33x t f x ⋅≥-在[1,2]x ∈上恒成立，求实数t 的取值范围.
19. 某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经过调研、规划确定，棚改规划用 地区域近似为圆面，该圆的内接四边形ABCD 区域是原棚户区建筑用地，测量可知边界 2()AB AD km ==，3()BC km =，1()CD km =.
（1）求的AC 长度及原棚户区建筑用地ABCD 的面积；
（2）因地理条件限制，边界AD 、DC 不能变更，而边界AB 、BC 可以调整，为了增加 棚户区建筑用地面积，请在弧ABC 上设计一点P ，使得棚户区改造后的新建筑用地（四边 形APCD ）的面积最大，并求出这个面积的最大值.
20. 设椭圆2
2:12
x y Γ+=，点F 为其右焦点，过点F 的直线与椭圆Γ相交于点P 、Q . （1）当点P 在椭圆Γ上运动时，求线段FP 的中点M 的轨迹方程；
（2）如图1，点R 的坐标为(2,0)，若点S 是点P 关于x 轴的对称点，
求证：点Q 、R 、S 共线；
（3）如图2，点T 是直线:2l x =上任意一点，设直线PT 、FT 、QT 的斜率分别为PT k 、FT k 、QT k ，求证：PT k 、FT k 、QT k 成等差数列.
21. 对于n ()n ∈*N 个实数构成的集合12{,,}n E e e e =，记12E n S e e e =+++. 已知由 n ()n ∈*N 个正整数构成的集合12{,,,}n A a a a =12(,3)n a a a n <<<≥满足：对于任意 不大于A S 的正整数m ，均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m .
（1）试求1a 、2a 的值；
（2）求证：“1a 、2a 、、n a 成等差数列”的充要条件是“1(1)2
A S n n =+”； （3）若2018A S =，求证：n 的最小值为11；并求n 取得最小值时，n a 的最大值.
参考答案
一. 填空题
1. 5
2. (1,2)
3. {1,2}
4. 8
5. 43
π 6. 7. 60 8.
9. 10. 4
7 11. 2
12. (,0]{1}-∞
二. 选择题
13. A 14. D 15. B 16. C
三. 解答题
17.（1）8π；（2）.
18.（1）3a =，值域(1,1)-；（2）15
2t ≥.
19.（1）AC =2.
20.（1）22(21)82x y -+=；（2）略；（3）略.
21.（1）11a =，22a =；（2）略；（3）略.
