直角三角形单元测试题

《第1章解直角三角形》2009年单元测试卷（A）一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）．C D．C D．3．（4分）下列说法中，正确的有（）个．①α为锐角，则sinα+cosα＞1；②cos31°+cos41°=cos72°；③在直角三角形中，只要已知除直角外的两个元素，就可以解这个三角形；④坡度越大，则坡角越大，坡越陡；⑤sinA==30°；⑥当Rt△ABC的三边长扩大为2倍时，则sinA的．C D．D．8．（4分）（2010•日照）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长是（）．9．（4分）（2003•广州）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=4，则BD的长为（）．C D10．（4分）若tanа=2，则的值为（）．C D二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．（5分）用计算器求：cos63°54′=_________，已知tanA=1.5941，则∠A=_________度．12．（5分）（2003•厦门）计算：2sin30°﹣tan60°+tan45°=_________．13．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90゜，AB=5，AC=3，则cosA=_________，sinB=_________，tanB=_________．14．（5分）设锐角三角形中，若|sinA﹣|+=0，则∠C=_________度．15．（5分）（2003•陕西）在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinA=_________．16．（5分）（2003•海淀区）如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若AH：AE=4：3，四边形EFGH的周长是40cm，则矩形ABCD的面积是_________cm2．三、解答题（共8小题，满分0分）1．计算sin225°+2sin60°+tan45°﹣tan60°+cos225°的值．2．已知a=sin60°，b=cos45°，求的值．3．在△ABC中，∠C=90°，（1）若已知a=3，∠A=30°，求∠B和b、c；（2）若已知∠B=60°，，求a、c与∠A．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=12．（1）求AB的长；（2）求sinA、cosA的值；（3）求sin2A+cos2A的值；（4）比较sinA、cosB的大小．5．（2003•天津）如图，湖泊的中央有一个建筑物AB，某人在地面C处测得其顶部A的仰角为60°，然后，自C处沿BC方向行100m到D点，又测得其顶部A的仰角为30°，求建筑物AB的高（精确到0.01m，≈1.732）．6．如图是一个水坝的横断面，坝顶宽CD=3O米，坝高DE=4米，迎水坡BC的坡度i1=1：2，背水坡的坡度i2=1：1．①求角A的度数；②求坝底的宽AB．7．如图所示，在小山顶上有一电视发射塔，在塔顶B处测地面上一点A的俯角α=60°，在塔底C处测得A点的俯角β=45°，已知塔高BC=72米，求山高CD．（答案保留根号）8．如图，一船在A处看见灯塔B在它的南偏西30°的方向，这时船和灯塔的距离为40海里，然后船向西南方向船行到C处，这时望见灯塔B在它的正东方向，问船航行了多少海里？（不取近似值）《第1章解直角三角形》2009年单元测试卷（A）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）．C D．cosA==．C D．=3．（4分）下列说法中，正确的有（）个．①α为锐角，则sinα+cosα＞1；②cos31°+cos41°=cos72°；③在直角三角形中，只要已知除直角外的两个元素，就可以解这个三角形；④坡度越大，则坡角越大，坡越陡；⑤sinA==30°；⑥当Rt△ABC的三边长扩大为2倍时，则sinA的=sinA==30．C D．．BD=DC=3C==，D．cosB==×=8．（4分）（2010•日照）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长是（）．DBA==，AB=6AE+BE=5AE+AE=6，AE=AE=29．（4分）（2003•广州）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=4，则BD的长为（）．C DAC=2．10．（4分）若tanа=2，则的值为（）．C D=2==．来进行化简．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11．（5分）用计算器求：cos63°54′=0.4399，已知tanA=1.5941，则∠A=57.8994度．12．（5分）（2003•厦门）计算：2sin30°﹣tan60°+tan45°=2﹣．×﹣．13．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90゜，AB=5，AC=3，则cosA=，sinB=，tanB=．BC==4cosA==，=，=．14．（5分）设锐角三角形中，若|sinA﹣|+=0，则∠C=90度．sinA=cosB=．15．（5分）（2003•陕西）在△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinA=．tanA=tanA==，=sinA==16．（5分）（2003•海淀区）如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若AH：AE=4：3，四边形EFGH的周长是40cm，则矩形ABCD的面积是192cm2．AH=DH=AD AE=DG=三、解答题（共8小题，满分0分）1．计算sin225°+2sin60°+tan45°﹣tan60°+cos225°的值．×﹣，，，，，，．2．已知a=sin60°，b=cos45°，求的值．．=3．在△ABC中，∠C=90°，（1）若已知a=3，∠A=30°，求∠B和b、c；（2）若已知∠B=60°，，求a、c与∠A．sinA===3；a=c=4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=12．（1）求AB的长；（2）求sinA、cosA的值；（3）求sin2A+cos2A的值；（4）比较sinA、cosB的大小．===3==（5．（2003•天津）如图，湖泊的中央有一个建筑物AB，某人在地面C处测得其顶部A的仰角为60°，然后，自C处沿BC方向行100m到D点，又测得其顶部A的仰角为30°，求建筑物AB的高（精确到0.01m，≈1.732）．xx=506．如图是一个水坝的横断面，坝顶宽CD=3O米，坝高DE=4米，迎水坡BC的坡度i1=1：2，背水坡的坡度i2=1：1．①求角A的度数；②求坝底的宽AB．=1tanB==7．如图所示，在小山顶上有一电视发射塔，在塔顶B处测地面上一点A的俯角α=60°，在塔底C处测得A点的俯角β=45°，已知塔高BC=72米，求山高CD．（答案保留根号）x（（（（8．如图，一船在A处看见灯塔B在它的南偏西30°的方向，这时船和灯塔的距离为40海里，然后船向西南方向船行到C处，这时望见灯塔B在它的正东方向，问船航行了多少海里？（不取近似值）=20，AD=2020。

九年级数学解直角三角形单元综合测试题直角三角形常用到一个非常重要的三角形定理，勾股定理。

下面是小编给大家带来的九年级数学解直角三角形单元综合测试题，希望能够帮助到大家!九年级上册数学单元综合测试卷(第23章解直角三角形)注意事项：本卷共8大题23小题，满分150分，考试时间120分钟.一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分)1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是( )A. B.3 C. D.22.在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA的值是( )A. B. C. D.3.如果∠ 为锐角，且sin =0.6，那么的取值范围是( )A.0°< ≤30°B.30°< <45°C.45°< <60°D.60°< ≤90°4.若为锐角，且sin = ，则tan 的值为( )A. B. C. D.5.如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标为(3，m)，且OP与x轴正半轴的夹角的正切值是，则sin 的值为( )A. B. C. D.第5题图第8题图第9题图第10题图6. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= ，则cosA的值为( )A. B. C. D.7.在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是( )A. B. C. D.8.如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D为BC的中点，DE⊥AC于点E，则tan∠CDE的值等于( )A. B. C. D.9.如图，两条宽度均为40 m的公路相交成角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图中阴影部分)的路面面积是( )A. (m2)B. (m2)C.1600sin (m2)D.1600cos (m2)10.如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为( )A.5mB. mC.4 mD.2二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)11.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=30°，∠C=90°，∠ADB=105°，sin∠BDC= ，AD=4.则DC=___________.第11题图第12题图第13题图第14题图12.如图，在A处看建筑物CD的顶端D的仰角为，且tan =0.7，向前行进3米到达B处，从B处看D的仰角为45°(图中各点均在同一平面内，A、B、C三点在同一条直线上，CD⊥AC)，则建筑物CD的高度为___________米.13.如图，已知点A(5 ，0)，直线y=x+b(b>0)与x轴、y轴分别相交于点C、B，连接AB，∠ =75°，则b=________.14.如图，正方形ABCD中，E是CD中点，FC= BC，则tan∠EAF=________.三、(本题共2小题，每小题8分，满分16分)15.计算：(1) +2sin45°- ;(2)sin30° tan60°-(-tan45)2016+ .16.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AB=6，AC=5 ，∠A=30°.(1)求BD和AD的长;(2)求tanC的值.四、(本题共2小题，每小题8分，满分16分)17.如图，某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量某河段的宽度.小明同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°，请你根据这些数据计算出河宽.(精确到0.01米，参考数据：≈1.414，≈1.732)18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN=3，AM=4，求tanB的值.五、(本题共2小题，每小题10分，满分20分)19.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH.(1)求sinB的值;(2)如果CD= ，求BE的值.20.已知，△ABC中，D是BC上的一点，且∠DAC=30°，过点D 作ED⊥AD交AC于点E，AE=4，EC=2.(1)求证：AD=CD;(2)若tanB=3，求线段AB的长﹒六、(本题满分12分)21.如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个码头，A在B的正东方向，一艘小船从A码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处，此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向.求此时小船到B码头的距离(即BP的长)和A、B两个码头间的距离(结果都保留根号)﹒七、(本题满分12分)22.如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA=100米，山坡坡度(竖直高度与水平宽度的比)i=1：2，且O、A、B在同一条直线上.求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度.(测角器高度忽略不计，结果保留根号形式)八、(本题满分14分)23.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，AD=3，BC=5，点M是边CD的中点，连接AM、BM.(1)求△ABM的面积;(2)求sin∠MBC的值.第23章《解直角三角形》单元综合测试题参考答案一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D D B D A C B C A D二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)11. . 12. 7 . 13. 5 . 14. .三、(本题共2小题，每小题8分，满分16分)15. 解答：(1) +2sin45°- ;= +2× - ，= + -= + -2 +2=3 - ;(2)sin30° tan60°-(-tan45)2016+ .= × -(-1)2016+= -1+1-= .16.解答：(1)∵BD⊥AC，AB=6，∠A=30°，∴BD= AB=3，在Rt△ABD中，AD=AB cosA=6× =3 ;(2)∵AC=5 ，AD=3 ，∴CD=AC-AD=2 ，在Rt△BCD中，tanC= = = .四、(本题共2小题，每小题8分，满分16分)17.解答：过C作CE⊥AB于E，设CE=x米，在Rt△AEC中：∠CAE=45°，∴AE=CE=x在Rt△BCE中，∠CBE=30°，BE= CE= x，∵BE=AE+AB，∴ x=x+50，解得：x=25 +25≈68.30.答：河宽为68.30米.18.解答：∵∠C=90°，MN⊥AB，∴∠C=∠ANM=90°，又∵∠MAN=∠BAC，∴△AMN∽△ABC，∴ = = ，设AC=3x，AB=4x，由勾股定理得：BC= = ，在Rt△ABC中，tanB= = = .五、(本题共2小题，每小题10分，满分20分)19.解答：(1)∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH=90°，又∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACH=90°，∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH，∵AH=2CH，∴由勾股定理得AC= CH，∴CH：AC=1：，∴sinB= ;(2)∵sinB= ，∴AC：AB=1：，∴AC=2，∵∠CAH=∠B，∴sin∠CAH=sinB= ，设CE=x(x>0)，则AE= x，则x2+22=( x)2，∴CE=x=1，AC=2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∵AB=2CD=2 ，∴BC=4，∴BE=BC-CE=3.20.解答：(1)证明：∵ED⊥AD，∴∠ADE=90°.在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AE=4，∴∠DEA=60°，DE= AE=2，∵EC=2，∴DE=EC，∴∠EDC=∠C.又∵∠EDC+∠C=∠DEA=60°，∴∠C=30°=∠DAE，∴AD=CD;(2)解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，则∠AFC=∠AFB=90°，∵AE=4，EC=2，∴AC=6.在Rt△AFC中，∠AFC=90°，∠C=30°，∴AF= AC=3.在Rt△AFB中，∠AFB=90°，tanB=3，∴BF= =1，∴AB= = .六、(本题满分12分)21.解答：过P作PM⊥AB于M，则∠PMB=∠PMA=90°，∵∠PBM=90°﹣45°=45°，∠PAM=90°﹣60°=30°，AP=20海里，∴PM= AP=10海里，AM=AP cos30°=10 海里，∴∠BPM=∠PBM=45°，∴PM=BM=10海里，∴AB=AM+BM=(10+10 )海里，∴BP= =10 海里，即小船到B码头的距离是10 海里，A、B两个码头间的距离是(10+10 )海里.七、(本题满分12分)22.解答：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，在Rt△AOC中，AO=100，∠CAO=60°，∴CO=AO tan60°=100 (米).设PE=x米，∵tan∠PAB= = ，∴AE=2x.在Rt△PCF中，∠CPF=45°，CF=100 ﹣x，PF=OA+AE=100+2x，∵PF=CF，∴100+2x=100 ﹣x，解得x= (米)，答：电视塔OC高为100 米，点P的铅直高度为 (米).八、(本题满分14分)23.解答：(1)延长AM交BC的延长线于点N，∵AD∥BC，∴∠DAM=∠N，∠D=∠MCN，∵点M是边CD的中点，∴DM=CM，∴△ADM≌△NCM(AAS)，∴CN=AD=3，AM=MN= AN，∴BN=BC+CN=5+3=8，∵∠ABC=90°，∴S△ABN= ×AB BN= ×4×8=16，∴S△ABM= S△ABN=8;∴△ABM的面积为8;(2)过点M作MK⊥BC，∵∠ABC=90°，∴MK∥AB，∴△NMK∽△NAB，∴ = = ，∴MK= AB=2，在Rt△ABN中，AN= = =4 ，∴BM= AN=2 ，在Rt△BKM中，sin∠MBC= = = ，∴∠MBC的正弦值为 .。

秋八年级上学期第十一章三角形单元测试卷数学试卷考试时间：120分钟；满分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）如图，图中直角三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（4分）如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（）A．线段DE B．线段BE C．线段EF D．线段FG3．（4分）下列物品不是利用三角形稳定性的是（）A．自行车的三角形车架B．三角形房架C．照相机的三脚架 D．放缩尺4．（4分）边长为1、2、3、4、5、6的木棍各一根．随意组成三角形，共有（）种取法．A．20 B．15 C．10 D．75．（4分）在△ABC中，6∠A=3∠B=2∠C，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定6．（4分）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．85°7．（4分）如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是（）A．9°B．18°C．27°D．36°8．（4分）如图所示，设M表示平行四边形，N表示矩形，P表示菱形，Q表示正方形，则下列四个图形中，能表示它们之间关系的是（）A B C D9．（4分）如图为二环四边形，它的内角和∠A+∠B+∠C+∠D+∠A1+∠B1+∠C1+∠D1度数为（）A．360°B．540°C．720°D．900°10．（4分）如图，已知四边形ABCD中，AB∥DC，连接BD，BE平分∠ABD，BE⊥AD，∠EBC和∠DCB的角平分线相交于点F，若∠ADC=110°，则∠F的度数为（）A．115°B．110°C．105°D．100°评卷人得分二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）11．（5分）三角形三边长分别为3，2a﹣1，4．则a的取值范围是．12．（5分）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边AB=5，则它的周长等于．13．（5分）如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=．14．（5分）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC=度．评卷人得分三．解答题（共9小题，满分90分）15．（8分）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．16．（8分）如图，BG∥EF，△ABC的顶点C在EF上，AD=BD，∠A=23°，∠BCE=44°，求∠ACB的度数．17．（8分）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠EAD=5°，∠B=50°，求∠C的度数．18．（8分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC=60°，∠ABE=25°．求∠DAC的度数．19．（10分）已知三角形的两边a=3，b=7，第三边是c．（1）第三边c的取值范围是．（2）若第三边c的长为偶数，则c的值为．（3）若a＜b＜c，则c的取值范围是．20．（10分）如图，已知△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AB边上任意一点，EF⊥BC于点F，∠1=∠2．求证：DG∥AB．请把证明的过程填写完整．证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（），∴∠EFB=∠ADB=90°（垂直的定义）∴EF∥（）∴∠1=（）又∵∠1=∠2（已知）∴（）∴DG∥AB（）21．（12分）已知a，b，c是△ABC的三边长，a=4，b=6，设三角形的周长是x．（1）直接写出c及x的取值范围；（2）若x是小于18的偶数①求c的长；②判断△ABC的形状．22．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC．（1）求∠BAE的度数；（2）求∠DAE的度数．23．（14分）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题．（1）将下面的表格补充完整：正多边形的边数3456 (18)∠α的度数……（2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α=20°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．（3）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α=21°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．秋八年级上学期第十一章三角形单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．【分析】根据直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形，可作判断．【解答】解：如图，图中直角三角形有Rt△ABD、Rt△BDC、Rt△ABC，共有3个，故选：C．【点评】本题考查了直角三角形的定义，比较简单，掌握直角三角形的定义是关键，要做到不重不漏．2．【分析】根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判断即可得．【解答】解：根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线，故选：B．【点评】本题主要考查三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．3．【分析】当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，利用三角形的稳定性进行解答．【解答】解：放缩尺是利用了四边形的不稳定性，而A、B、C选项都是利用了三角形的稳定性，故选：D．【点评】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，关键是分析能否在同一平面内组成三角形． 4．【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．【解答】解：从长为1、2、3、4、5、6的木棍中，任意取3根，则有20种取法， 其中能组成三角形的有7种： 2、3、4； 2、4、5； 2、5、6； 3、4、5； 3、5、6； 3、4、6； 4、5、6； 故选：D ．【点评】本题主要考查了三角形三边关系的运用，正确利用三边关系：两条较短的边的和大于最长的边是解决本题的关键． 5．【分析】设∠C=x ，则∠B=32x ，∠A=31x ，再根据三角形内角和定理列方程求出x 的值即可．【解答】解：∵在△ABC 中，6∠A=3∠B=2∠C ， ∴设∠C=x ，则∠B=32x ，∠A=31x ， ∵∠A +∠B +∠C=180°，即x +32x +31x=180°，解得x=90°，∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°． ∴△ABC 是直角三角形， 故选：B ．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．6．【分析】先根据三角形的内角和得出∠CGF=∠DGB=45°，再利用∠α=∠D+∠DGB可得答案．【解答】解：如图，∵∠ACD=90°、∠F=45°，∴∠CGF=∠DGB=45°，则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°，故选：C．【点评】本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质．7．【分析】根据直角三角形的两个角互余即可求解．【解答】解：设较小的锐角是x度，则另一角是4x度．则x+4x=90，解得：x=18°．故选：B．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，两锐角互余．8．【分析】根据正方形、平行四边形、菱形和矩形的定义进行解答即可．【解答】解：∵四个边都相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形，∴正方形应是N 的一部分，也是P 的一部分， ∵矩形形、正方形、菱形都属于平行四边形，∴它们之间的关系是：．故选：A ．【点评】本题考查的是正方形、平行四边形、菱形和矩形的定义，熟练掌握这些多边形的定义与性质是解答此题的关键． 9．【分析】AA 1之间添加两条边，可得B 1+∠C 1+∠D 1=∠EAD +∠AEA 1+∠EA 1B 1，再根据边形的内角和公式即可求解．【解答】解：如图，AA 1之间添加两条边，可得B 1+∠C 1+∠D 1=∠EAD +∠AEA 1+∠EA 1B 1则∠A +∠B +∠C +∠D +∠A 1+∠B 1+∠C 1+∠D 1=∠EAB +∠B +∠C +∠D +∠DA 1E +∠E=720°； 故选：C ．【点评】考查了多边形内角和定理：（n ﹣2）•180° （n ≥3）且n 为整数）． 10．【分析】依据四边形BCDE 的内角和，可得∠BCD +∠CBE=160°，再根据∠EBC 和∠DCB 的角平分线相交于点F ，可得∠BCF +∠CBF=21×160°=80°，进而得出△BCF 中，∠F=180°﹣80°=100°．【解答】解：∵BE ⊥AD ， ∴∠BED=90°， 又∵∠ADC=110°，∴四边形BCDE 中，∠BCD +∠CBE=360°﹣90°﹣110°=160°，又∵∠EBC 和∠DCB 的角平分线相交于点F ，∴∠BCF +∠CBF=21×160°=80°， ∴△BCF 中，∠F=180°﹣80°=100°，故选：D ．【点评】本题主要考查了四边形内角和以及三角形内角和定理的运用，解决问题的关键是掌握四边形内角和为360°．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）11．【分析】根据三角形的三边关系为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式即可求出a 的取值范围．【解答】解：∵三角形的三边长分别为3，2a ﹣1，4，∴4﹣3＜2a ﹣1＜4+3，即1＜a ＜4．故答案为：1＜a ＜4．【点评】考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系的性质．12．【分析】分两种情况讨论：①Rt △ABC 中，CD ⊥AB ，CD=21AB=25；②Rt △ABC 中，AC=21BC ，分别依据勾股定理和三角形的面积公式，即可得到该三角形的周长为5+358或5+52．【解答】解：如图所示，Rt △ABC 中，CD ⊥AB ，CD=21AB=25，设BC=a ，AC=b ，则，解得a +b=52，或a +b=﹣52（舍去），∴△AB 长度周长为52+5；如图所示，Rt △ABC 中，AC=21BC ，设BC=a ，AC=b ，则解得∴△AB 长度周长为35+5；综上所述，该三角形的周长为5+35或5+52．故答案为：5+35或5+52．【点评】本题主要考查了三角形的高线以及勾股定理的运用，解决问题给的关键是利用勾股定理进行推算．13．【分析】先根据角平分线的定义得到∠OBC=21∠ABC ，∠OCB=21∠ACB ，再根据三角形内角和定理得∠BOC +∠OBC +∠OCB=180°，则∠BOC=180°﹣21（∠ABC +∠ACB ），由于∠ABC +∠ACB=180°﹣∠A ，所以∠BOC=90°+21∠A ，然后把∠BOC=110°代入计算可得到∠A 的度数．【解答】解：∵BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ，∴∠OBC=21∠ABC ，∠OCB=21∠ACB ， 而∠BOC +∠OBC +∠OCB=180°， ∴∠BOC=180°﹣（∠OBC +∠OCB ）=180°﹣21（∠ABC +∠ACB ）， ∵∠A +∠ABC +∠ACB=180°，∴∠ABC +∠ACB=180°﹣∠A ，∴∠BOC=180°﹣21（180°﹣∠A ）=90°+21∠A ， 而∠BOC=110°， ∴90°+21∠A=110° ∴∠A=40°．故答案为40°．【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．14．【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题．【解答】解：∵∠ABC=()518025⨯-=108°，△ABC 是等腰三角形， ∴∠BAC=∠BCA=36度．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质．n 边形的内角和为：180°（n ﹣2）．三．解答题（共9小题，满分90分）15．【分析】过点A 作EF ∥BC ，利用EF ∥BC ，可得∠1=∠B ，∠2=∠C ，而∠1+∠2+∠BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC +∠B +∠C=180°．【解答】证明：过点A 作EF ∥BC ，∵EF ∥BC ，∴∠1=∠B ，∠2=∠C ，∵∠1+∠2+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°，即∠A+∠B+∠C=180°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理的证明，作辅助线把三角形的三个内角转化到一个平角上是解题的关键．16．【分析】根据等角对等边得出∠ABD=∠A，再利用平行线的性质得出∠DBC=∠BCE，进而利用三角形的内角和解答即可．【解答】解：∵AD=BD，∠A=23°，∴∠ABD=∠A=23°，∵BG∥EF，∠BCE=44°，∴∠DBC=∠BCE=44°，∴∠ABC=44°+23°=67°，∴∠ACB=180°﹣67°﹣23°=90°．【点评】此题考查三角形的内角和问题，关键是根据等角对等边得出∠ABD=∠A．17．【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠AED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAE，然后根据角平分线的定义求出∠BAC，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠EAD=5°，∴∠AED=85°，∵∠B=50°，∴∠BAE=∠AED﹣∠B=85°﹣50°=35°，∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAC=2∠BAE=70°，∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣50°﹣70°=60°．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，主要利用了直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．18．【分析】根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠ABE，再根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后根据∠DAC=∠BAC﹣∠BAD计算即可得解．【解答】解：∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABE=2×25°=50°，∵AD是BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣∠ABC=90°﹣50°=40°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=60°﹣40°=20°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．19．【分析】（1）根据第三边的取值范围是大于两边之差，而小于两边之和求解；（2）首先根据三角形的三边关系：第三边＞两边之差4，而＜两边之和10，再根据c 为偶数解答即可．；（3）首先根据三角形的三边关系：第三边＞两边之差4，而＜两边之和10，根据a＜b ＜c即可得c的取值范围．【解答】解：（1）根据三角形三边关系可得4＜c＜10，（2）根据三角形三边关系可得4＜c＜10，因为第三边c的长为偶数，所以c取6或8；（3）根据三角形三边关系可得4＜c＜10，∵a＜b＜c，∴7＜c＜10．，故答案为：4＜c＜10；6或8；7＜c＜10．【点评】此题考查了三角形的三边关系，注意第三边的条件．20．【分析】根据三角形内角和定理以及平行线的性质即可求出答案．【解答】解：证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），∴∠EFB=∠ADB=90°（垂直的定义）∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行）∴∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）又∵∠1=∠2（已知）∴∠2=∠3（等量代换）∴DG∥AB（内错角相等，两直线平行）故答案为：已知；AD；同位角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，同位角相等；∠2=∠3；等量代换；内错角相等，两直线平行；【点评】本题考查三角形的综合问题，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理以及平行线的性质与判定，本题属于基础题型．21．【分析】（1）利用三角形三边关系进而得出c的取值范围，进而得出答案；（2）①根据偶数的定义，以及x的取值范围即可求解；②利用等腰三角形的判定方法得出即可．【解答】解：（1）因为a=4，b=6，所以2＜c＜10．故周长x的范围为12＜x＜20．（2）①因为周长为小于18的偶数，所以x=16或x=14．当x为16时，c=6；当x为14时，c=4．②当c=6时，b=c，△ABC为等腰三角形；当c=4时，a=c，△ABC为等腰三角形．综上，△ABC是等腰三角形．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和三角形三边关系，得出c 的取值范围是解题关键．22．【分析】（1）由∠ABC 、∠ACB 的度数结合三角形内角和定理，可求出∠BAC 的度数，再根据角平分线的性质可求出∠BAE 的度数；（2）利用三角形的外角性质可求出∠AEB 的度数，结合∠ADE=90°即可求出∠DAE 的度数．【解答】解：（1）∵∠ABC=40°，∠ACB=80°，∴∠BAC=180°﹣∠ABC ﹣∠ACB=60°．∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE=21∠BAC=30°． （2）∵∠CAE=∠BAE=30°，∠ACB=80°，∴∠AEB=∠CAE +∠ACB=110°，∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADE=90°，∴∠DAE=∠AEB ﹣∠ADE=20°．【点评】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是：（1）利用三角形内角和定理求出∠BAC 的度数；（2）牢记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．23．【分析】（1）根据多边形内角和公式求出多边形的内角和，再根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据表中的结果得出规律，根据规律得出方程，求出方程的解即可；（3）根据表中的结果得出规律，根据规律得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）填表如下： 正多边形的边数3 4 5 6 …… 18 ∠α的度数 60° 45° 36° 30° …… 10°故答案为：60°，45°，36°，30°，10°；（2）存在一个正n 边形，使其中的∠α=20°， 理由是：根据题意得：⎪⎭⎫ ⎝⎛n 180=20°， 解得：n=9，即当多边形是正九边形，能使其中的∠α=20°；（3）不存在，理由如下：假设存在正 n 边形使得∠α=21°，得⎪⎭⎫ ⎝⎛==∠n 18021α， 解得：748=n ，又 n 是正整数， 所以不存在正 n 边形使得∠α=21°．【点评】本题考查了多边形的内角与外角和等腰三角形的性质，能求出多边形的一个内角的度数是解此题的关键，注意：多边形的内角和=（n ﹣2）×180°．。

第1章解直角三角形单元测试（B卷提升篇）【浙教版】学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________满分：120分考试时间：100分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2019•海淀区校级模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则下列结论正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．sin A＝D．tan A＝2．（3分）（2018秋•昭平县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝，则∠A的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°3．（3分）（2019春•江岸区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列各组线段的比不能表示sin∠BCD的（）A．B．C．D．4．（3分）（2019•南关区二模）数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度的示意国科如图所示，在D处没得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，D蹑旗杆的距离DE为6米，测角仪CD的高度为1米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（）A．B．C．D．5．（3分）（2019•新华区校级模拟）一人沿坡比为1：的斜边AB滑下，滑下的距离S米与时间t秒的关系式S＝10t+2t2，如果滑到坡底的时间为4秒，则此人水平移动的距离为（）A．36 米B．18米C．72 米D．36米6．（3分）（2019•秦淮区一模）已知Rt△ABC，∠C＝90°，若∠A＞∠B，则下列选项正确的是（）A．sin A＜sin B B．cos A＜cos B C．tan A＜tan B D．sin A＜cos A7．（3分）（2018秋•苏州期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，CD平分∠ACB，则∠BDC的度数是（）A．45°B．60°C．70°D．75°8．（3分）（2019•镇江模拟）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝2，∠B＝30°，S△ABC＝10，则tan C 的值为（）A．B．C．D．9．（3分）（2019•海港区校级自主招生）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝（）A．B．C．2 D．310．（3分）（2019•柯桥区模拟）将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2019•黔东南州一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝，则tan B＝．12．（4分）（2019•富顺县一模）在△ABC中，若，则△ABC是三角形．13．（4分）（2019•柳州）如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝3，则AC的长为．14．（4分）如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD 的值．15．（4分）（2019春•海淀区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，AE⊥BC，垂足为点E，交BD于F，cos∠ABC＝，AB＝13．则tan∠DBC的值为．16．（4分）（2019•铜山区二模）在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则cos∠AOD＝．三．解答题（共7小题，共66分）17．（6分）（2009秋•祁阳县校级期中）（1）已知，求tanα的值．（2）已知α为锐角，且tanα＝4，求的值．18．（8分）如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sinB=，tanA=，AC=3（1）求∠B的度数与AB的值；（2）求tan∠CDB．19．（8分）如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足分别为A、D．从D 点测到B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB=30米．（1）求甲、乙两建筑物之间的距离AD．（2）求乙建筑物的高CD．20. （10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，过点B作BE⊥CD，BE分别与CD、AC相交于点F、E，FB=2CF．（1）求sinA的值；（2）如果CD=5，求AE的值．21．（10分）（2019•锦州）如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM 的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，＝1.73）22．（12分）（2019•嘉兴二模）如图1是某品牌订书机，其截面示意图如图2所示．订书钉放置在轨槽CD 内的MD处，由连接弹簧的推动器MN推紧，连杆EP一端固定在压柄CF上的点E处，另一端P在DM上移动．当点P与点M重合后，拉动压柄CF会带动推动器MN向点C移动．使用时，压柄CF的端点F与出钉口D重合，纸张放置在底座AB的合适位置下压完成装订（即点D与点H重合）．已知CA⊥AB，CA＝2cm，AH＝12cm，CE＝5cm，EP＝6cm，MN＝2cm．（1）求轨槽CD的长（结果精确到0.1）；（2）装入订书钉需打开压柄FC，拉动推动器MN向点C移动，当∠FCD＝53°时，能否在ND处装入一段长为2.5cm的订书钉？（参考数据：≈2.24，≈6.08，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60）23．（12分）如图1，正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与CD相交于点G．（1）求证：△BCG≌△DCE；（2）如图2，连接BD，若BE=4，DG=2，求tan∠DBG的值．第1章解直角三角形单元测试（B卷提升篇）【浙教版】参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）（2019•海淀区校级模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则下列结论正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．sin A＝D．tan A＝【思路点拨】先根据勾股定理求出AC的长，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可．【答案】解：∵△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，∴AC＝＝＝．sin A＝，cos A＝，tan A＝＝，只有选项D正确．故选：D．【点睛】本题可以考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．2．（3分）（2018秋•昭平县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝1，c＝，则∠A的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°【思路点拨】先判断出A的取值范围，再根据sin45°＝解答即可．【答案】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A为锐角．∵sin A＝，∴A＝45°．故选：B．【点睛】此题比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可．3．（3分）（2019春•江岸区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列各组线段的比不能表示sin∠BCD的（）A．B．C．D．【思路点拨】根据三角形内角和定理求出∠BCD＝∠A，再解直角三角形得出即可．【答案】解：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A，∴sin∠BCD＝sin A＝＝＝，即只有选项C错误，选项A、B、D都正确，故选：C．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠C＝90°，则sin A＝，cos A＝，tan A＝，cot A＝．4．（3分）（2019•南关区二模）数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度的示意国科如图所示，在D处没得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，D蹑旗杆的距离DE为6米，测角仪CD的高度为1米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（）A．B．C．D．【思路点拨】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．【答案】解：∵在Rt△ADE中，DE＝6，AE＝AB﹣BE＝AB﹣CD＝x﹣1，∠ADE＝55°，∴tan55°＝＝，故选：B．【点睛】此题考查了考查仰角的定义，三角函数的定义，注意数形结合思想的应用．5．（3分）（2019•新华区校级模拟）一人沿坡比为1：的斜边AB滑下，滑下的距离S米与时间t秒的关系式S＝10t+2t2，如果滑到坡底的时间为4秒，则此人水平移动的距离为（）A．36 米B．18米C．72 米D．36米【思路点拨】求滑下的距离；设出下降的高度，表示出水平宽度，利用勾股定理即可求解．【答案】解：如图，当t＝4时，s＝10t+2t2＝72．设此人下降的高度为x米，过斜坡顶点向地面作垂线．在直角三角形中，由勾股定理得：x2+（x）2＝722．解得x＝36．即此人水平移动的距离为36米，故选：D．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解坡比的意义，使用勾股定理，设未知数，列方程求解．6．（3分）（2019•秦淮区一模）已知Rt△ABC，∠C＝90°，若∠A＞∠B，则下列选项正确的是（）A．sin A＜sin B B．cos A＜cos B C．tan A＜tan B D．sin A＜cos A【思路点拨】根据大角对大边定理以及三角函数的定义即可求出答案．【答案】解：设∠A，∠B，∠C对应的边为a，b，c∵∠A＞∠B，∴a＞b，∵sin A＝，sin B＝，cos A＝，cos B＝，∴sin A＞sin B，cos A＜cos B，故选：B．【点睛】本题考查三角函数，解题的关键是熟练运用大角对大边定理，本题属于基础题型．7．（3分）（2018秋•苏州期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，CD平分∠ACB，则∠BDC的度数是（）A．45°B．60°C．70°D．75°【思路点拨】根据在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，CD平分∠ACB，可以得到∠A和∠ACD的度数，从而可以求得∠BDC的度数．【答案】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，CD平分∠ACB，∴∠A＝30°，∠ACD＝45°，∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∴∠BDC＝75°，故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和角平分性的性质解答．8．（3分）（2019•镇江模拟）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝2，∠B＝30°，S△ABC＝10，则tan C 的值为（）A．B．C．D．【思路点拨】首先解直角△ABD，求得BD，再根据S△ABC＝10，求出BC，那么CD＝BC﹣BD，然后在直角△ACD中利用正切函数定义即可求得tan C的值．【答案】解：∵在△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝2，∠B＝30°，∴BD＝＝＝6．∵S△ABC＝BC•AD＝10，∴BC•2＝10，∴BC＝10，∴CD＝BC﹣BD＝10﹣6＝4，∴tan C＝＝＝．故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的面积，锐角三角函数定义，解题的关键是求出CD的长. 9．（3分）（2019•海港区校级自主招生）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝（）A．B．C．2 D．3【思路点拨】如图，作BH⊥AC于H．解直角三角形分别求出AH，CH即可．【答案】解：如图，作BH⊥AC于H．在Rt△ABH中，∵∠BHA＝90°，∴cos A＝＝＝，∴AH＝，BH＝＝，在Rt△CBH中，CH＝＝，∴AC＝AH+CH＝+＝3，故选：D．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会解题常用辅助线，构造直角三角形解决问题．10．（3分）（2019•柯桥区模拟）将一副三角板如图摆放在一起，组成四边形ABCD，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝45°，连接BD，则tan∠CBD的值等于（）A．B．C．D．【思路点拨】如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E，构造直角三角形，将∠CBD 置于直角三角形中，设CE为1，根据特殊直角三角形分别求得线段CD、AC、BC，从而按正切函数的定义可解．【答案】解：如图所示，连接BD，过点D作DE垂直于BC的延长线于点E∵在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°∴∠DCE＝45°，∵DE⊥CE∴∠CED＝90°，∠CDE＝45°∴设DE＝CE＝1，则CD＝在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴tan∠CAD＝，则AC＝，在Rt△ABC中，∠BAC＝∠BCA＝45°∴BC＝，∴在Rt△BED中，tan∠CBD＝＝＝故选：D．【点睛】本题考查了用定义求三角函数，同时考查了特殊角的三角函数值，如何作辅助线，是解题的关键．二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）（2019•黔东南州一模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝，则tan B＝．【思路点拨】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝，设BC＝4x，AB＝5x，根据勾股定理得到AC＝＝3x，根据正切函数的定义即可得到结论．【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝，∴设BC＝4x，AB＝5x，勾股定理得AC＝＝3x，由正切等于对边比邻边，得tan B＝＝，故答案为：．【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，勾股定理，正切函数的定义．12．（4分）（2019•富顺县一模）在△ABC中，若，则△ABC是等边三角形．【思路点拨】直接绝对值的性质以及偶次方的性质得出sin A＝，cos B＝，再利用特殊角的三角函数值求出答案．【答案】解：∵|sin A﹣|+（cos B﹣）2＝0，∴sin A＝，cos B＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．13．（4分）（2019•柳州）如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝3，则AC的长为．【思路点拨】过A作AD垂直于BC，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出CD的长，再利用勾股定理求出AC的长即可．【答案】解：过A作AD⊥BC，在Rt△ABD中，sin B＝，AB＝3，∴AD＝AB•sin B＝1，在Rt△ACD中，tan C＝，∴＝，即CD＝，根据勾股定理得：AC＝＝＝，故答案为：【点睛】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．14．（4分）如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值．【思路点拨】延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，由tanB=，即=，设AD=5x，则AB=3x，然后可证明△CDE∽△BDA，然后相似三角形的对应边成比例可得：===，进而可得CE=x，DE=x，从而可求tan∠CAD==．【答案】解：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tanB=，即=，∴设AD=5x，则AB=3x，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴===，∴CE=x，DE=x，∴AE=，∴tan∠CAD==，故答案为．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD放在直角三角形中．15．（4分）（2019春•海淀区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，AE⊥BC，垂足为点E，交BD于F，cos∠ABC＝，AB＝13．则tan∠DBC的值为．【思路点拨】过点D作DG⊥BC于点G，易求得AB＝AC＝13，AE＝6，BE＝CE＝5，然后利用中位线的性质即可求出DG＝6，最后利用锐角三角函数的定义即可求出答案．【答案】解：过点D作DG⊥BC于点G，∵AB＝AC＝13，cos∠ABC＝，∴BE＝5，由勾股定理可知：AE＝12，∵AE⊥BC，∴BE＝EC＝5，∵D是AC的中点，DG∥AE，∴DG是△AEC的中位线，∴DG＝AE＝6，EG＝CE＝，∴BG＝，在Rt△BDG中，tan∠DBC＝＝，故答案为：【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．16．（4分）（2019•铜山区二模）在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则cos∠AOD＝．【思路点拨】设右下角顶点为点F，取DF的中点E，连接BE，AE，由点B为CF的中点、点E为DF的中点可得出BE∥CD，进而可得出∠AOD＝∠ABE，在△ABE中，由AB2＝AE2+BE2可得出∠AEB＝90°，再利用余弦的定义即可求出cos∠ABE的值，此题得解．【答案】解：设右下角顶点为点F，取DF的中点E，连接BE，AE，如图所示．∵点B为CF的中点，点E为DF的中点，∴BE∥CD，∴∠AOD＝∠ABE．在△ABE中，AB＝，AE＝2，BE＝，∵AB2＝AE2+BE2，∴∠AEB＝90°，∴cos∠ABE＝＝＝，∴cos∠AOD＝．故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理逆定理、余弦的定义、中位线以及平行线的性质，构造出含有一个锐角等于∠AOD的直角三角形是解题的关键．三．解答题（共7小题，共66分）17．（6分）（2009秋•祁阳县校级期中）（1）已知，求tanα的值．（2）已知α为锐角，且tanα＝4，求的值．【思路点拨】（1）对已知条件分子分母同除以cosα即可求解；（2）根据已知条件可得sinα＝4cosα，代入式子求解即可．【答案】解：（1）分子分母同除以cosα，得＝2，去分母，得3tanα+3＝4tanα+2，解得tanα＝1；（2）∵tanα＝4，＝tanα，∴sinα＝4cosα，∴＝＝﹣13．【点睛】本题利用正弦、余弦与正切之间的关系tanα＝求解．18．（8分）如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sinB=，tanA=，AC=3（1）求∠B的度数与AB的值；（2）求tan∠CDB．【思路点拨】（1）作CE⊥AB于E，设CE=x，利用∠A的正切可得到AE=2x，则根据勾股定理得到AC=x，所以x=3，解得x=3，于是得到CE=3，AE=6，接着利用sinB=得到∠B=45°，则BE=CE=3，最后计算AE+BE得到AB的长，（2）利用CD为中线得到BD=AB=4.5，则DE=BD﹣BE=1.5，然后根据正切的定义求解．【答案】解：（1）作CE⊥AB于E，设CE=x，在Rt△ACE中，∵tanA==，∴AE=2x，∴AC==x，∴x=3，解得x=3，∴CE=3，AE=6，在Rt△BCE中，∵sinB=，∴∠B=45°，∴△BCE为等腰直角三角形，∴BE=CE=3，∴AB=AE+BE=9，答：∠B的度数为45°，AB的值为9；（2）∵CD为中线，∴BD=AB=4.5，∴DE=BD﹣BE=4.5﹣3=1.5，∴tan∠CDE===2，即tan∠CDB的值为2．【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决此类题目的关键是熟练应用勾股定理和锐角三角函数的定义．19．（8分）如图，线段AB、CD分别表示甲、乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足分别为A、D．从D 点测到B点的仰角α为60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB=30米．（1）求甲、乙两建筑物之间的距离AD．（2）求乙建筑物的高CD．【思路点拨】（1）在Rt△ABD中利用三角函数即可求解；（2）作CE⊥AB于点E，在Rt△BCE中利用三角函数求得BE的长，然后根据CD=AE=AB﹣BE求解．【答案】解：（1）作CE⊥AB于点E，在Rt△ABD中，AD===10（米）；（2）在Rt△BCE中，CE=AD=10米，BE=CE•tanβ=10×=10（米），则CD=AE=AB﹣BE=30﹣10=20（米）答：乙建筑物的高度DC为20m．【点睛】本题考查了直角三角形中三角函数的应用，考查了特殊角的三角函数值，本题中求的AD的长是解题的关键．20. （10分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，过点B作BE⊥CD，BE分别与CD、AC相交于点F、E，FB=2CF．（1）求sinA的值；（2）如果CD=5，求AE的值．【思路点拨】（1）根据直角三角形的性质得到CD=AD，得到∠A=∠ACD，证明△EFC∽△CFB，根据相似三角形的性质、勾股定理计算即可；（2）根据直角三角形的性质求出AB，根据正弦的定义求出BC，根据勾股定理计算即可．【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，∴CD=AD，∴∠A=∠ACD，∵∠ACB=90°，BE⊥CD，∴△EFC∽△CFB，∴===，∴CF=2EF，由勾股定理得，CE==EF，∴sin∠ACD==，∴sinA=；（2）∵CD=5，∴AB=10，∵sinA=，∴BC=2，由勾股定理得，AC=4，又EC=BC=，∴AE=3．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、锐角三角函数的概念，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半、锐角三角函数的定义是解题的关键．21．（10分）（2019•锦州）如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM 的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，＝1.73）【思路点拨】过点C作CE⊥AB于点E，设BM＝x，根据矩形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．【答案】解：过点C作CE⊥AB于点E，∵CD＝2，tan∠CMD＝，∴MD＝6，设BM＝x，∴BD＝x+6，∵∠AMB＝60°，∴∠BAM＝30°，∴AB＝x，已知四边形CDBE是矩形，∴BE＝CD＝2，CE＝BD＝x+6，∴AE＝x﹣2，在Rt△ACE中，∵tan30°＝，∴＝，解得：x＝3+，∴AB＝x＝3+3≈8.2m【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义以及矩形的性质，本题属于中等题型．22．（12分）（2019•嘉兴二模）如图1是某品牌订书机，其截面示意图如图2所示．订书钉放置在轨槽CD 内的MD处，由连接弹簧的推动器MN推紧，连杆EP一端固定在压柄CF上的点E处，另一端P在DM上移动．当点P与点M重合后，拉动压柄CF会带动推动器MN向点C移动．使用时，压柄CF的端点F与出钉口D重合，纸张放置在底座AB的合适位置下压完成装订（即点D与点H重合）．已知CA⊥AB，CA＝2cm，AH＝12cm，CE＝5cm，EP＝6cm，MN＝2cm．（1）求轨槽CD的长（结果精确到0.1）；（2）装入订书钉需打开压柄FC，拉动推动器MN向点C移动，当∠FCD＝53°时，能否在ND处装入一段长为2.5cm的订书钉？（参考数据：≈2.24，≈6.08，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60）【思路点拨】（1）由题意CD＝CH，利用勾股定理求出CH即可．（2）如图2中，作EK⊥PC于K．解直角三角形求出CK，PK，DN即可判断．【答案】解：（1）由题意CD＝CH，在Rt△ACH中，CH＝＝2≈12.2（cm）．∴CD＝CH＝12.6（cm）．（2）如图2中，作EK⊥PC于K．在Rt△ECK中，EK＝EC•sin53°≈4（cm），CK＝EC•cos53°≈3（cm），在Rt△EPK中，PK＝＝＝2≈4.48（cm），∴DP＝CD﹣CK﹣PK﹣MN＝12.6﹣3﹣4.48﹣2＝3.12＞2.5，∴能在ND处装入一段长为2.5cm的订书钉．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．23．（12分）如图1，正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与CD相交于点G．（1）求证：△BCG≌△DCE；（2）如图2，连接BD，若BE=4，DG=2，求tan∠DBG的值．【思路点拨】（1）只要证明∠CBG=∠CDE，即可用ASA证明△BCG≌△DCE．（2）利用勾股定理分别在RT△DHG，RT△BHG中，求出BH，HG即可解决．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCG=∠DCE=90°，BC=CD，∵BF⊥DE，∴∠DFG=∠BCG=90°，∵∠BGC=∠DGF，∴∠CBG=∠CDE．在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE，（2）解：∵△BCG≌△DCE，∴CG=CE，∵BE=BC+CE=4，DG=CD﹣CG=2，∴BC=CD=3，CG=CE=，在RT△BDC中，∵∠BCD=90°，∴BD===6，过点G作GH⊥BD垂足为H，∵∠DHG=45°，∠DHG=90°，DG=2，∴=，∴DH=2，∴GH=DH=2，∵BD=BH﹣DH，∴BH=6﹣2=4，在RT△BHG中，∵∠BHG=90°，∴tan∠DBG=，∴tan∠DBG=．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，利用线段和差关系求出线段BC，CG是解题的关键．。