第一节 导数的概念

第一节：导数的概念与几何意义

课时1.导数的概念

一．知识梳理

1.平均变化率

一般地，函数fx在区间12,xx上的平均变化率为：2121()()fxfxxx,如果函数的自变量的“增量”为x，且21xxx，相应的函数值的“增量”为y，21()()yfxfx，则函数()fx从1x到2x的平均变化率为2121()()fxfxyxxx

函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势．即递增或递减幅度的大小．

2. 导数的概念（瞬时变化率）

（1）函数()fx在0xx处瞬时变化率是0000limlimxxfxxfxyxx，我们称它为函数yfx在0xx处的导数，记作0fx或0|xxy，00000limlimxxfxxfxyfxxx＝

导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．

（2）求导数值的一般步骤：

①求函数的增量：00()()yfxxfx；

②求平均变化率：00()()fxxfxyxx；

③求极限，得导数：00000()()'()limlimxxfxxfxyfxxx．

二．典例分析

例1．函数31fxx在区间1,2上的平均变化率为（ ）

A．3 B．2 C．2 D．3

【解析】由题，函数31fxx在区间1,2上的平均变化率为332111213213ff，故选：D

例2．某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数21sttt表示，则该物体在1ts时的瞬时速度为（ ） A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s

高数第二章导数与微分知识点总结

第一节 导数

1．基本概念

（1）定义

0000000000()()()()()|(|)'()limlimlimxxxxxxxfxxfxfxfxdydfxyfxdxdxxxxx或

注：可导必连续，连续不一定可导.

注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求.

（2）左、右导数

0'000000()()()()()limlimxxxfxxfxfxfxfxxxx.

0'000000()()()()()limlimxxxfxxfxfxfxfxxxx.

0'()fx存在''00()()fxfx.

（3）导数的几何应用

曲线()yfx在点00(,())xfx处的切线方程：000()'()()yfxfxxx.

法线方程：0001()()'()yfxxxfx.

2．基本公式

（1）'0C （2）'1()aaxax

（3）()'lnxxaaa（特例()'xxee）（4）1(log)'(0,1)lnaxaaxa

（5）(sin)'cosxx （6）(cos)'sinxx

（7）2(tan)'secxx （8）2(cot)'cscxx

（9）(sec)'sectanxxx （10）(csc)'csccotxxx

（11）21(arcsin)'1xx （12）21(arccos)'1xx

（13）21(arctan)'1xx （14）21(arccot)'1xx

第一节 导数的概念及运算 定积分 考试要求

1．了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.4.能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．

5．了解定积分的实际背景；了解定积分的基本思想，定积分的概念，微积分基本定理的含义．

[知识排查·微点淘金]

知识点1 导数的概念

一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处导数的定义，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limx→0_f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝limx→0 ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limx→0ΔyΔx＝limx→0_f（x0＋Δx）－f（x0）Δx．

[微思考]

f′(x)与f′(x0)有什么．

提示：f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)，所以[f′(x0)]′＝0.

知识点2 导数的几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是：在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．

[微思考]

直线与曲线只有一个公共点，则该直线一定与曲线相切吗？为什么？

提示：不一定．因为直线与曲线的公共点个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线有一个公共点，但切点一定是直线与曲线的公共点．

[微提醒] 1．“过”与“在”：曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．

2．“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．

第一节 导数的概念及其运算

【课标要求】

了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达， 体会导数的内涵与思想。体会极限思想。通过函数图象直观理解导数的几何意义,能根据导数定义求函数y=c,y=x ,xyxyxy,,32的导数,能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数(f(ax+b)

的导数。会使用导数公式表.

教学目标：

1.了解导数的概念,理解导数的几何意义；

2.掌握基本初等函数的导数，能够用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，理解简单的复合函数的导数。

教学重点：导数的运算及导数的几何意义。

教学难点：正确求导及曲线切线的理解

教学过程：

环节1：知识检测

2.已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是( )

A．0

B．0

C．0

环节2：知识梳理

1.函数的平均变化率及其意义

（1）函数y=f(x)在区间21xx的平均变化率：

平均变化率为xfxyxxfxxfxxxfxf)()()()(111212

（2）函数y＝f(x)的平均变化率反映了函数f(x)在区间21xx上的变化快慢，

（3）函数y＝f(x)的图象在点A(2211,,,xfxBxfxA割线的斜率，是曲线倾斜程度的“数量化”。

2.瞬时变化率与导数

（1）函数在某点处的导数

如果当xyx,0无限趋近于一个确定的值，即xy有极限，则称函数y=f(x)在0xx可导，并把这个确定的值叫做数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 fx0＋Δx－fx0Δx..f′(x0)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，

（2）导数的几何意义

f′(x0)是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．