机器人的鲁棒轨迹跟踪控制系统

第１９卷　第２期　２０１０年６月　河南教育学院学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｅｎａｎ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖ０１．１９　ＮＯ．２　Ｊｕｎ．２０１０　

ｄｏｉ　１　１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００７—０８３４．２０１０．０２．０ｌ　１　

机器人的鲁棒轨迹跟踪控制系统　

田　露　，柴　晶　

（１．河南大学基础实验教学中心，河南开封４７５００４；２．郑东新区管理委员会土地规划局，河南郑州４５００１６）　

摘要：用拉格朗日运动学建立机器人的动态模型采用鲁棒控制法对两关节机械手的轨迹跟踪进行控制，仿真实验结果证明　鲁棒控制法对模型不精确或外部干扰对机器人产生的影响有很好的抑制作用，对机器人轨迹跟踪控制是有效的．　关键词：鲁棒控制；拉格朗日法；动力学模型；仿真；机器人　中图分类号：ＴＰ２４２．２　文献标识码：Ａ　文章编号：ｌ００７—０８３４（２０１０）０２—００３３—０３　

１　引言　实现机械手高精度、高速、大范围的轨迹跟踪，是研究现代机器人动力学控制的主要方向．早期机器人的控制系统，一般　采用传统的ＰＩＤ控制器，ＰＩＤ控制器具有原理简单、适用范围广、操作较为方便、容易选定参数等特点，因此，人们早期对机器　人的轨迹跟精度的要求都不是很精确，从而可以忽略动力学的影响，采用ＰＩＤ控制器．但是，随着科学技术的高速发展，现代　工业的发展变得日新月异，人类对机器人的要求变得越来越高，在高精度和快速运动等问题上，机器人控制的精度和工作效　率已发生实质性的变化，机器人完成任务变得更加困难和复杂．传统的控制方法已经满足不了机器人发展的需求，因此对机　

器人的动力学特征的分析变得越来越深入．　机器人的动力学控制有两个主要的目的，分别是：①使系统稳定并采用前沿的控制方法，使得机器人的轨迹跟踪误差尽　量小；②抑制干扰，使得干扰信号对跟踪精度的影响趋于零．但是实际情况中由于工作状况的变化以及测量和建模的不精确　性，使人们无法得到机器人完整和精确的运动模型．这些不确定的因素可能会引起系统的不稳定，鉴于以上的情况，在建立机　器人数学模型时，人们需要忽略观测噪声、未建模动态、参数误差、外部干扰等不确定的因素”．　鲁棒控制的概念源于２Ｏ世纪中期，并且在过去的几十年中，一直是国际科学界研究的热点　“　，现代鲁棒控制是用来保　

证系统的性能即使受到参数和测量的不精确性也能够满足设计的要求．现代鲁棒控制在自适应控制器对系统不确定性来不　及辨识时显得不可缺少．　２动力学模型　图１中Ｘ２、Ｘ３为带两个旋转关节的机械手　，我们设连杆的质量都集中－ｊ：连杆　

的末端．图中ｔ。和ｔ　为作用在两关节上的力矩，０。和０　为两连杆在力矩作用下转过的　角度，且两杆的质量分别为ｍ。和ｍ　，两杆的长度分别为１。和ｚ：．则两关节机械手的拉　格朗目动力学模型为　

Ｍ（ｑ）　＋Ｖ（ｑ，　）　＋Ｇ（ｑ）＝Ｔ，　（１）　

其中，ｑ为关节位置，　为关节速度，　为关节加速度，Ｔ为驱动力矩向量．　惯性矩阵　

Ｍ　ｃ　＝［　ｎｌ　二　。　＋　。２：／ｌ　ｃ２　ｍ２　：＋　ｍ　２　ｃ　］，　ｃ　

离心力和哥氏力矩阵　

＝　］’　

重力矩阵　

ｍ２ｌｚｇＣｎ　＋　］．　

如果考虑摩擦力和干扰的影响，则动力学模型可改为　

收稿日期：２０１０—０３～１８　作者简介：田　露（１９８３一），女，河南开封人，河南大学基础实验教学中心教师　图１两关节机械手　

（４）

　河南教育学院学报（自然科学版）　２０１０生　

Ｔ＝Ｍ（ｑ）　＋Ｖ（ｑ，　）＋Ｇ（ｑ）＋Ｆ（　）＋　（ｑ，　），　（５）　

Ｆ（　）为摩擦力矩阵，　（ｑ，　）为由负载变化或建模误差所引起的扰动．　３机器人的鲁棒控制器设计　我们根据机器人的轨迹跟踪控制要求来设计反馈控制器，使得机器人的运动渐近地趋近于期望估计．设机器人的期望运　

动轨迹由时间函数ｑ　和　描述．即　

ｌｉｒａ｛ｑ（ｔ）一ｑ　（ｔ）｝＝０，ｌｉｍ｛　（　）一　ｄ（ｔ）｝：０．　（６）　

考虑了模型误差和外部干扰的机器人动态模型为　

Ｔ＝Ｍ（ｑ）　＋Ｖ（ｑ，　）　＋Ｇ（ｑ）＋△（ｑ，　）＋ｄ，　其中ｄ表示外界干扰信号，△（ｑ，　）表示模型误差．　定义跟踪误差ｅ＝ｑ—ｑ　．首先进行非线性补偿，令　

Ｔ：ｕ＋肘（ｑ）　ｄ＋　（ｑ，　）　＋Ｖ（ｐ），　其中“为控制器的输出．　式（８）减去式（７）可得系统的误差动态方程为　（７）　

（８）　

肘（ｑ）　Ｖ（ｑ，　）　＋△（ｑ，　）＋ｄ＝“，　（９）　图２机器人的鲁棒控制系统　则机器人的鲁棒跟踪控制问题可以描述为设计反馈控制器　

Ｕ＝ａ（ｑ　，　，ｅ，　）．　（１０）　当我们设定存在正定函数ｐ（ｅ，　）使得对于任意△（ｑ，　），ｌｌ△（ｑ，０）ｌｌ≤ｐ（ｅ，　）ｌＩ　＋ｅ　ｌｌ，　

则控制器为　

ｕ一【　＋Ｍ（ｑ）＋ｐ（　），＋　，＋专，］（ｅ，ｅ）一（，　２１－肘（ｇ）＋　（　．　（１１）　

４仿真与分析　为了验证方法的正确性，用两关节机械臂为控制对象进行仿真实验．用于仿真的机械臂的参数为ｍ　＝４　ｋｇ，ｍ　＝２　ｋｇ和　

ｚ。＝１　ＩＴＩ，ｌ：＝０．５　Ｉｌ１．初始条件为ｇ（０）＝［０．５　０．５］　ｒａｄ，　（Ｏ）＝［０　０］　ｒａｄ／ｓ，　（０）＝［０　０］　ｒａｄ／ｓ　．期望轨迹为ｑ　（￡）＝　

［ｓｉｎ（２－ｔｒｔ）ｃｏｓ（２，ｎ－ｔ）］　ｒａｄ，　ｄ（￡）＝［２￣ＣＯＳ（２　）　一２，ｒｒｓｉｎ（２订￡）］　ｒａｄ／ｓ，　ｄ（ｔ）＝［一４ａｒｓｉｎ（２＂ｔｒｔ）　一４￣ｃｏｓ（２，ｔｒｔ）］　ｒａｄ／　

ｓ　．模型误差为△＝０．５ｓｉｎ（５ｔ）（　＋ｅ）Ｎ・ｍ，外部干扰为幅值１０　Ｎ・ｍ的随机干扰．系统的采样周期为０．０００　５　ｓ．我们取Ｐ（ｅ，　）　＝０．５，则有Ｉｌ△ｌＩ≤Ｐ（ｅ，÷）ｌｌ　＋ｅ　ＩＩ成立．另外，取　＝０．００１，Ｐ：＝０．５，ｙ：０．０３５．图３～图６为仿真实验结果，其中，图３、图４　

为两关节的轨迹跟踪曲线，图５、图６为两关节的跟踪误差曲线．　由以上仿真结果可以看出，鲁棒轨迹跟踪控制系统能够很好地克服外部干扰、模型误差等因素的影响，具有很强的鲁棒　稳定性和较好的动态特性、静态特性．　４．１外部干扰抑制分析　对存在外界干扰的系统，可描述为　

∑　：　．（１２）　

对于给定的干扰信号ｄ（ｆ），引入评价信号　（￡）的　：范数，用ＩＩ　ｄ（￡）ＩＩ　＝ｆ　ｆ　ｄＴ（ｆ）ｄ（　）ｄｔ１“‘来表示系统受干扰的影响，Ｌ　范　

Ｉｌ　ＩＩ　数越小则对外界干扰的抑制能力越强．系统的￡　增益，即Ｊ：．．ｓ　Ｐ　，那么令控制器的己　增益小于给定的值即可抑制其　ｌｌ≠０　１ｌ　ｄ　ｌＩ，　干扰问题．在仿真实验里，我们令其小于ｙ，即满足　ＩＩ　≤　ｌＩ　ｄ　ｌ『：．　

０　０，５　Ｊ　１．５　２　２．５　３　３．５　４　４　５　

图３关节１的跟踪轨迹曲线　０　０　５　ｌ　ｉ　５　２　２．５　３　３．５　４　４．５　

图４

关节２的跟踪轨迹曲线　第２期　田　露等：机器人的鲁棒轨迹跟踪控制系统　３５　

图５关节１的跟踪误差曲线　图６关节２的跟踪误差曲线　

４．２消除模型误差　在仿真实验里，我们定义存在正定函数ｐ（ｅ，　）使得对于任意△（ｑ，　）满足ＩＩ△（ｑ，　）ｌｌ≤ｐ（ｅ，　）ＩＩ　＋ｅ　Ｉ．从而限定了在　

此条件下模型误差消除了．　

５　结论　通过仿真分析，我们验证了鲁棒控制运用于机器人轨迹跟踪控制系统的可行性．但是，所设计系统的前提是模型误差必　

须满足Ｉｆ△（ｑ，　）ｆＩ≤ｐ（ｅ，　）ｆｆ　＋ｅ　ｆＩ，而这个假设不具有一般性．因为满足此式表明当　＝０、ｅ＝０时必须满足△＝０．但是一　

般的模型误差只与机器人的状态（ｑ，　）有关，而与机器人的跟踪误差无关．　

在机器人系统中，最常见的模型误差是由机器人的摩擦引起的，造成机器人伺服系统控制性能恶化的重要原因之一就是　

机器人的摩擦特性．因为由摩擦力引起的模型误差不满足上述前提，所以无法用此法来设计控制系统，需要我们对系统进行　

进一步改进．这也是我们下一步要解决的问题．　

参考文献　

［１］　王耀南．机器人智能控制工程［Ｍ］．北京：科学出版社，２００４．　［２］王洪斌．不确定性机器人轨迹跟踪鲁棒控制方法研究［Ｄ］．秦皇岛：燕山大学，２００５．　［３］　周云龙，徐心和．双足机器人的鲁棒控制［Ｊ］．机器人，２００４，２６（４）：３５７—３６０．　［４］宋佐时，易建强，赵冬斌．移动机械手控制研究进展［Ｊ］．机器人，２００３，２５（５）：４６５—４６９　［５］陈安军．双臂机器人抓持工件的力分解［Ｊ］．机械科学与技术，２００２，２１（２）：２５８—２６０．　

Ｒｏｂｕｓｔ　ＬＯＣＡ　Ｔｒａｃｋｉｎｇ　Ｃｏｎｔｒｏｌ　Ｓｙｓｔｅｍ　ｏｆ　Ｒｏｂｏｔ　

ＴＩＡＮ　Ｌｕ‘，ＣＨＡＩ　Ｊｉｎｇ　

（１．Ｂａｓｉｃ　Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ　Ｔｅａｃｈｉｎｇ　Ｃｅｎｔｒｅ，Ｈｅｎａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｋａｉｆｅｎｇ　４７５００４，Ｃｈｉｎａ；　

２．Ｌａｎｄ　Ｐｌａｎｎｉｎｇ　Ｂｕｒｅａｕ，Ｚｈｅｎｇｄｏｎｇ　Ｎｅｗ　Ｄｉｓｔｒｉｃｔ　Ａｄｍｉｎｉｓｔｒａｔｉｖｅ　Ｃｏｍｍｉｓｓｉｏｎ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ　４５００１６，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｕｓｅｓ　Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ　ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｔｏ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ｒｏｂｏｔ．Ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙ　ｔｒａｃｋｉｎｇ　ｏｆ　ｂｉｐｅｄ　ｒｏｂｏｔ　ｉｓ　

ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄ　ｂｙ　ｒｏｂｕｓｔ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｍｅｔｈｏｄ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔ　ｐｒｏｖｅｓ　ｔｈａｔ　ｒｏｂｕｓｔ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｍｅｔｈｏｄ　ｃａｎ　ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ　ｒｅｓｔｒａｉｎ　ｔｈｅ　

ｅｆｆｅｃｔ　ｏｆ　ｉｍｐｒｅｃｉｓｅ　ｍｏｄｅｌ　ｏｒ　ｅｘｔｅｒｎａｌ　ｄｉｓｔｕｒｂａｎｃｅ　ａｃｔｉｎｇ　ｏｎ　ｒｏｂｏｔ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙ　ｔｒａｃｋｉｎｇ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｏｎ　ｒｏｂｏｔ　ｉｓ　ｅｆ－　

ｆｅｃｔｉｖｅ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｒｏｂｕｓｔ　ｃｏｎｔｒｏｌ；Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ　ｍｅｔｈｏｄ；ｄｙｎａｍｉｃ　ｍｏｄｅｌ；ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ；ｒｏｂｏｔ　５　５　４　５　３　５　２　５　

５　Ｏ