高中数学绝对值不等式阶段测试高考专项训练B4

题目第一章集合与简易逻辑含绝对值的不等式及一元二次不等式高考要求1掌握c b ax <+与)0(>>+c c b ax 型不等式的解法，并能熟练地应用它解决问题；掌握分类讨论的方法解决含多个绝对值的不等式以及含参数的不等式；2．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法3．掌握用韦达定理解决含参二次方程的实根分布的基本方法知识点归纳1绝对值不等式a x <与)0(>>a a x 型不等式cb ax <+与)0(>>+c c b ax 型不等式的解法与解集：不等式)0(><a a x 的解集是{}a x a x <<-; 不等式)0(>>a a x 的解集是{}a x a x x -<>或,不等式)0(><+c c b ax 的解集为 {})0(|><+<-c c b ax c x ; 不等式)0(>>+c c b ax 的解集为 {})0(,|>>+-<+c c b ax c b ax x 或 2解一元一次不等式)0(≠>a b ax①⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>a b x x a ,0 ②⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a b x x a ,0 3韦达定理：方程02=++c bx ax （0≠a ）的二实根为1x 、2x ，则240b ac ∆=-≥且⎪⎩⎪⎨⎧=-=+a cx x a b x x 2121①两个正根，则需满足⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆0002121x x x x ，②两个负根，则需满足1212000x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪>⎩，③一正根和一负根，则需满足⎩⎨⎧<>∆0021x x4．一元二次不等式的解法步骤对于一元二次不等式()22000ax bx c ax bx c a ++>++<>或，设相应的一元二次方程()200ax bx c a ++=>的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：方程的根→函数草图→观察得解，对于0a <的情况可以化为0a >的情况解决注意：含参数的不等式ax 2＋bx ＋c>0恒成立问题⇔含参不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集是R ；其解答分a ＝0(验证bx ＋c>0是否恒成立)、a ≠0（a<0且△<0）两种情况 题型讲解例1 解不等式（1）923<-≤x ；（2）x x 2143+>-解：（1）原不等式化为：⎩⎨⎧<<-≥-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-117519232x x x x x 或}115,17{<≤-≤<-∴x x x 或原不等式的解为：（2）原不等式化为：⎩⎨⎧->-<-⎩⎨⎧->-≥-xx x x x x 21340432143043或 解得 535<>x x 或 }5,53{><∴x x x 或不等式的解集为：例2 解不等式46522-<+-x x x解：（1）当042≤-x 时，不等式的解集为∅（2）当042≤-x 即22>-<x x 或时，有⎪⎩⎪⎨⎧>><⇔⎩⎨⎧<+->+-⇔-<+-<--222101050252465)4(2222x x x x x x x x x x 或 综上所述，原不等式的解集为}2{>x x例3 解不等式：|x-3|-|x+1|<1分析：关键是去掉绝对值方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义）①当1-<x 时，01,03<+<-x x∴1)1()3(<++--x x ∴ 4<1 φ∈⇒x ②当31<≤-x 时∴1)1()3(<+---x x ⇒21>x ，∴}321|{<<x x ③当3≥x 时1)1()3(<+--x x ⇒-4<1R x ∈⇒ ∴}3|{≥x x综上，原不等式的解集为}21|{>x x也可以这样写： 解：原不等式等价于 ①⎩⎨⎧<++---<1)1()3(1x x x 或②⎩⎨⎧<+---<≤-1)1()3(31x x x或 ③⎩⎨⎧<+--≥1)1()3(3x x x ，解①的解集为φ，②的解集为{x|21<x<3}，③的解集为{x|x ≥3}, ∴原不等式的解集为{x|x>21} 方法2：数形结合从形的方面考虑，不等式|x-3|-|x+1|<1表示数轴上到3和-1两点的距离之差小于1的点∴原不等式的解集为{x|x>21} 例4 已知不等式210{51}ax bx x x ++≥-≤≤的解集为a b 求、的值解：由题意可知 0<a 且－5和1是方程012=++bx ax 的两根⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+-=-∴54515141)5(b a a a b故b a ,的值分别为54,51--例5解关于x 的不等式)(,)]1([)1(222b a x b ax x b x a ≠-+≥-+ 解：原不等式化为222222222()()2()()()0()0001a b x b a b x a b bx ba b x x a b a b x x x -+≥-+-+⇒--≤≠∴->∴-≤≤≤ 则{01}x x ≤≤故原不等式的解集为例6若不等式13642222<++++x x kkx x 对于x 取任何实数均成立，求k 的取值范围解：∵13642222<++++x x k kx x ⇔013642222<-++++x x k kx x ⇔03643)3(2222>++-+--x x kx k x ⇔ 03)3(222>-+--k x k x (∵4x2+6x+3恒正)，∴原不等式对x 取任何实数均成立，等价于不等式2x 2-2(k-3)x+3-k>0对x 取任何实数均成立∴∆=[-2(k-3)]2-8(3-k)<0⇔k2-4k+3<0⇔1<k<3∴k 的取值范围是（1，3）逆向思维题目，告诉解集反求参数范围，即确定原不等式，待定系数法的一部分例7已知方程2(k+1)2x +4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k 的取值范围解：要原方程有两个负实根，必须:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><+≥∆≠+0000)1(22121x x x x k ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<>-<>≤≤--≠⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+-<+-≤-+≠+132101210)1(2230)1(2402012k k k k k k k k k k k k k 或或 13212<<-<<-⇔k k 或∴实数k 的取值范围是{k|-2<k<-1或32<k<1} 小结：1含绝对值不等式的解法：解含绝对值不等式，既要明确不等式的基本性质，又要根据绝对值的代数及几何意义，去掉绝对值符号，将其转化为一般的不等式（组）来解2一元二次不等式的解法：将一元二次不等式与相应的一元二次方程和二次函数结合起来，主要是根据二次函数的图像来解二次方程如果不等式的系数含有字母，则应该根据情况予以讨论，如开口方向，两根的大小等等，这是数学中的分类讨论思想 学生练习1不等式038>-x 的解集是（ ）A ∅B RC 8{|}3x x ≠ D }38{2设}3{},2{<=>=x x N x x M ，则下列结论正确的是（ ）A M N M =B }32{<<=x x NC R N M =D }2{-<=x x N M3绝对值大于2且不大于5的最小整数是A 3B 2C －2D －54 不等式0412>+-x x 的解集是（ ） A R B 1{|}2x x < C 1{|}2x x > D 1{|}2x x ≠5设等于则B A x x B x x A },11{},32{>-=<-= （ ）A }5201<<<<-x x x 或B }51{<<-x xC }01<<-x xD }20{><x x x 或6 若0)1)((,10>--<<ax x a a 则不等式的解是（ ） A a x a <<1 B a x a 1<< C a x a x 1><或 D a x ax ><或17 不等式0)1)(2(>-+x x 的解集是（ ）A }12>-<x x x 或B }21{>-<x x x 或C }12<<-x xD }21{<<-x x8 >+-)1)(1(x x 0的解集为（ ）A }11<<-x xB }11{>-<x x x 或C }1{<x xD }11{-≠<x x x 且9 不等式32>x的解集是 10已知不等式02≤+-n mx x 的解集为}15{≤≤-x x ,则m ＝ ，n ＝11不等式9531≤-<x 的解集为12不等式02>++k x x 恒成立，则k 的取值范围是13方程0432242=-+-a a x x 有一正根，一负根，则实数a 的取值范围是14解不等式：221>-+-x x15解不等式：12217522>-+---x x x x 16解关于x 的不等式31<-mx17若a a ax x x 恒成立，求实数时，不等式02212<+-≤<的取值范围18解下列不等式:(1)7522≤-<x (2)1122+<-x x19．已知不等式a x ≤-2)0(>a 的解集为{}c x R x <<-∈1|，求c a 2+的值20解关于的不等式a x <-+13)(R a ∈参考答案：1C 2C 3D 4D 5A 6B 7C 8D 922,0)(0,)33-10 4,5m n =-=- 11414[,1)(2,]33- 1214>13 ( 14 15(,)(,)22-∞+∞ 153(,5)2-1624420;0;0m x R m x m x m m m m=⇒∈>⇒-<<<⇒<<- 1743a >18 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤-∈627231|x x R x 或(2) {}0|≠∈x R x19 3,5213a c a c ==⇒+=201a x ≤-⇒∈∅，421(,)22a a a x ++>-⇒∈-课前后备注1．不等式|x －4|＋1>0的解集是（ ） A {x | x >5或x <3} B {x | 3<x <4} C R D ο/答案：C2．不等式|1－2x |<3的解集是（ ）A {x | x <－1}B {x | －1<x <2}C {x | x >2}D {x | x <－1或x >2} 答案：B3．不等式1<|x |<2的解集是（ ）A {x | －2<x <2}B {x | x <－1或x >1}C {x | －2<x <－1或1<x <2}D {x | 1<x <2} 答案：C4．一元二次不等式x 2－7x ＋12<0, －2x 2＋x －5>0, x 2＋2>－2x 的解集分别是M 、N 、P ，则有（ ）A N ⊆M ⊆PB M ⊆N ⊆PC N ⊆P ⊆MD M ⊆P ⊆N 答案：A 提示：M ＝{x | 3<x <4}, N =ο/, P =R , ∴N ⊆M ⊆P5．抛物线y =ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点为(－2, 0), (2, 0)，则ax 2＋bx ＋c >0的解集是（ ）A －2<x <2B x >2或x <－2C x ≠±2D 不确定，与a 的符号有关答案：D 提示：当a >0时, x ∈{x | x >2或x <－2}, 当a <0时, x ∈{x | －2<x <2}, ∴选D6．若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x | －7<x <－1}，那么a 的值是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4答案：C 提示：a21=7, ∴a =3 7．不等式(2―a )x 2―2(a ―2)x ＋4>0对于一切实数x 都成立，则（ ） A {a | －2<a <2} B { a | －2<a ≤2} C {a | a <－2} D {a | a >2}答案：B 提示：当a =2时, 不等式成立，当2－a >0且△<0时,解得－2<a <0 8．若二次方程2(kx －4)x －x 2＋6＝0无实根，则k 的最小整数值是（ ） A －1 B 2 C 3 D 4答案：B 提示：二次方程2(kx －4)x －x 2＋6＝0无实根，则△<0, 解得k >611, ∴k 的最小整数值是29．不等式|x －a |>b (b <0)的解集是（ ）A {x | x ∈R 且x ≠a }B RC {x | x <b }D {x | x <a －b 或x >a ＋b } 答案：B10．不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于（ ） A －3 B 1 C －1 D 3答案：A 提示：A ={x | －1<x <3}, B ={x | －3<x <2}, ∴ A ∩B ={x | －1<x <2}, ∴a =－1, b =－2, a ＋b =－311．下列不等式中无解的一个是（ ）A 2x 2－3x ＋2>0B x 2＋4x ＋4≤0C 4－4x －x 2<0D －2＋3x －2x 2>0 答案：D12．不等式组⎩⎨⎧><+-520342x x x 的解集是（ ）A 1<x <3 B25x <3 C x <1或x >3 D x <1或x >25 答案：B13．若|3x －1|<3，化简41291624922++++-x x x x 的结果是（ ） A 6x －2 B －6 C 6 D 2－6x答案：C 提示：∵|3x －1|<3，∴ －32<x <34, 41291624922++++-x x x x =|3x －4|＋|3x ＋2|=4－3x ＋3x ＋2=614．若x =a 是不等式组⎪⎩⎪⎨⎧++<+->--1365)2(22)3)(12(x x x x 的解，则P (a ＋2, a －2)在（ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限答案：C 提示：不等式组⎪⎩⎪⎨⎧++<+->--1365)2(22)3)(12(x x x x 的解是x <－3, ∴a ＋2<0, a－2<0, P (a ＋2, a －2)在第三象限 15．使4123-+-x x 有意义的x 的取值范围是（ ）A －3≤x <23 B －25<x ≤3 C －3≤x <－25或23<x ≤3 D －3≤x ≤3 答案：C 提示：由3－|x |≥0, |2x ＋1|－4>0，解得－3≤x <－25或23<x ≤316．不等式4x 243-－1≥0的解集是 答案： {x | x ≤41或x ≥21} 17．若直角坐标系内的点P (2a －1, a 2－1)在第四象限，则a 的取值范围是答案：21<a <1 18．若不等式2x 2＋px ＋q <0的解集为－2<x <1，则p = ；q = 答案： p =2, q =－4 提示：－2p =－2＋1， 2q =(－2)·1 19．不等式3≤|2－x |<9的解集是答案： －7<x ≤－1或5≤x <120．不等式x 2＋5x ＋m <0的解集是{x | －7<x <2}，则m =答案： m =－1421．若方程组⎩⎨⎧=+=+b y x y x 2522有实数解，则b ∈答案： －52≤b ≤提示：将y =b －x 代入x 2＋y 2=25, 得2x 2－2bx ＋b 2－25=0, △≥0, 解得－52≤b ≤5222．解不等式：x 2＋3<4|x |答案： {x | 1<x <3或－3<x <－1}提示：x >0时，x 2＋3<4x , 解得1<x <3；x <0时，解得－3<x <－123．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x | x <α或x >β}, (α<β<0)，求不等式ax 2－bx ＋c >0的解集答案：{x | －β<x <－α}提示：∵不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为{x | x <α或x >β},∴a <0, 且方程ax 2＋bx ＋c =0的两根为x =α, x =β, α＋β=－a b , αβ=a c , 设方程ax 2－bx ＋c ＝0的两根为 m , n ，则m ＋n =a b , mn =ac , ∴m , n 分别为－α,－β,∴不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为{x | －β<x <－α}24．一元二次方程x 2＋4x －m =0的两个实根之积的平方不大于36，试求m 的取值范围答案： －4≤m ≤6提示：设方程x 2＋4x －m =0的两个实根为α,β, 则△≥0且(αβ)2≤36, ∴16＋4m ≥0, m 2≤36, 解得－4≤m ≤625．k 取何值时，不等式(k ＋1)x 2―2(k ―1)x ＋3(k －1)≥0对于任何x ∈R 都成立？答案： k ≥1提示：∵不等式(k ＋1)x 2―2(k ―1)x ＋3(k －1)≥0对于任何x ∈R 都成立，∴k ＋1>0且△≤0,∴ k >－1且k 2＋k －2≥0解得k ≥126．要使关于x 的二次方程x 2－2mx ＋m 2－1=0的两个实数根介于－2与4之间, 求m 的取值范围答案： －1<m <3 提示：令f (x )= x 2－2mx ＋m 2－1,由函数的图象知，f (－2)>0, f (4)>0,且－2<m <4, 整理得m 2＋4m ＋3>0, m 2－8m ＋15>0且－2<m <4,解得－1<m <327．解关于x 的不等式2＋a <a |x －1|答案： (I ) 当a =0时, 解集是ο/ (II ) 当a >0时，解集是x <－a 2或x >2＋a2 (III )当－2≤x <0时，解集为ο/ (I V) 当a <－2时，解集为－a 2<x <a 2＋2 提示：(I ) 当a =0时, 解集是ο/(II ) 当a >0时，|x －1|>1＋a 2, ∴x －1>1＋a 2或x －1<－1－a 2，解得x <－a 2或x >2＋a2 (III )当－2≤x <0时，解集为ο/ (I V) 当a <－2时，|x －1|<1＋a 2, ∴ －1－a 2<x －1<1＋a 2， 解得－a 2<x <a2＋2。

板块三 模拟演练·提能增分1.[2016·沈阳模拟]不等式x 2－|x |－2<0的解集是( )A ．{x |－2<x <2}B ．{x |x <－2或x >2}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |x <－1或x >1}答案 A解析 不等式x 2－|x |－2<0可化为|x |2－|x |－2<0，即(|x |＋1)(|x |－2)<0，因为|x |＋1>0，所以解得|x |<2，则－2<x <2.故选A.2．[2016·四川模拟]不等式|2x －1|－x <1的解集是________． 答案 (0,2)解析 |2x －1|－x <1⇒|2x －1|<x ＋1⇒－(x ＋1)<2x －1<x ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－(x ＋1)<2x －12x －1<x ＋1⇒0<x <2. 3．不等式|x －1|<4－|x ＋2|的解集是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32 解析 由|x －1|<4－|x ＋2|得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1x ＋2＋x －1<4或⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x <1x ＋2＋1－x <4或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－(x ＋2)＋1－x <4，解得1≤x <32或－2<x <1或－52<x ≤－2.所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32. 4．[2016·陕西模拟]若关于x 的不等式x 2－a |x |＋4≥0恒成立，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，4]解析 当|x |≠0时，不等式x 2－a |x |＋4≥0恒成立⇔a ≤x 2＋4|x |；∵x 2＋4|x |≥4|x ||x |＝4，∴a ≤4.当|x |＝0时，4≥0恒成立，所以，a ∈R .总之，a ≤4.5．已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|.(1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式：f (x )≥x 2－8x ＋15的解集．解 (1)证明：f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3， x ≤2，2x －7， 2<x <5，3， x ≥5.当2<x <5时，－3<2x －7<3，所以－3≤f (x )≤3.(2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集； 当2<x <5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}； 当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}．综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}．。

1、(长葛市第三实验高中2012届高三数学调研)已知函数()|2|,()|3|.f x x g x x m =-=-++（1）解关于x 的不等式()10()f x a a R +->∈；（2）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求m 的取值范围。

【解析】（1）不等式()10f x a +->，即210x a -+->。

当1a =时，不等式的解集是(,2)(2,)-∞+∞ ；当1a >时，不等式的解集为R ；当1a <时，即21x a ->-，即21x a -<-或者21x a ->-，即1x a <+或者3x a >-，解集为(,1)(3,)a a -∞+-+∞ 。

（5分）（2）函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，即23x x m ->-++对任意实数x 恒成立。

即23x x m -++>对任意实数x 恒成立。

由于23(2)(3)5x x x x -++≥--+=，故只要5m <。

所以m 的取值范围是(,5)-∞。

2、（濮阳市华龙区高级中学2012届高三数学上学期摸底）3、（哈尔滨市第六中学2011届高三数学第三次模拟）若关于x 的方程 243x x a a -++-=0有实根（1）求实数a 的取值集合A（2）若存在a A ∈，使得不等式22120t a t -+<成立，求实数t 的取值范围。

（1）0)3(416≥-+-=∆a a 即 2721≤≤-a所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=27,21A ---------5分（2）令212)(t t a a f ++-= 即 0)(m in <a f 即可 430127)27(2<<∴<+-=t t t f所以 4334<<-<<-t t 或----10分4、已知关于x 的不等式a a x x 2|||2|≥-+-.（I ）若1=a ，求不等式的解集；（II ）若不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围。

习题课 绝对值不等式1．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6≤0}，B ＝{x ||2x －1|>3}，则A ∩B 等于( )A ．{x |2≤x ≤3}B ．{x |2≤x <3}C ．{x |2<x ≤3}D ．{x |－1<x <3}答案：C2．不等式|x ＋3|－|x －3|>3的解集是( )A ．{x |x >32}B ．{x |32<x ≤3} C ．{x |x ≥3} D ．{x |－3<x ≤0}答案：A3．不等式|x ＋2|≥|x |的解集是________．答案：{x |x ≥－1}4．|x －1|＋|x ＋2|＋|x |>10的解集是________．答案：{x |x >3或x <－113}5．x 2－2|x |－15>0的解集是________．答案：(－∞，－5)∪(5，＋∞)6．若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|＜a 无解，则实数a 的取值范围是________解析：不等式|x －5|＋|x ＋3|＜a 无解，即a ≤|x －5|＋|x ＋3|因为|x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8，所以a ≤8.答案：(－∞，8]．7．解不等式|x ＋5|－|x －3|>10.解析：|x ＋5|＝0，|x －3|＝0的根为－5，3.(1)当x ≤－5时，|x ＋5|－|x －3|>10⇔－x －5＋x －3>10⇔－18>10.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－5，|x ＋5|－|x －3|>10的解集为∅. (2)当－5<x <3时，|x ＋5|－|x －3|>10⇔x ＋5＋x －3>10⇔2x ＋2>10⇔x >4.所以⎩⎪⎨⎪⎧－5<x <3，|x ＋5|－|x －3|>10的解集为∅. (3)当x ≥3时，|x ＋5|－|x －3|>10⇔x ＋5－x ＋3>10⇔8>10.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，|x ＋5|－|x －3|>0的解集为∅.综上所述，原不等式的解集为∅.8．解不等式x ＋|2x －1|<3.解析：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x ＋（2x －1）<3或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，x －（2x －1）<3. 解得12≤x <43或－2<x <12. 所以原不等式的解集是{x |－2<x <43}．9．解不等式|x 2＋x －2|>x .解析：当x <0时，原不等式恒成立；当x ≥0时，原不等式可化为x 2＋x －2>x 或x 2＋x －2<－x .即x 2>2或x 2＋2x －2<0. ∴x >2或x <－2或－1－3<x <－1＋ 3.又x ≥0，∴0≤x <3－1或x > 2.综上所述，原不等式的解集是{x |x <3－1或x >2}．10．解不等式|x 2－3x －4|＞x ＋2.解析：解法一 原不等式等价于x ＋2≤0①或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＞0，x 2－3x －4＞x ＋2或x 2－3x －4＜－（x ＋2）.② 由①⇔x ≤－2，由②⇔⎩⎨⎧x ＞－2，x ＞2＋10或x ＜2－10或1－3＜x ＜1＋3 ⇔－2＜x ＜2－10或x ＞2＋10或1－3＜x ＜1＋3，所以原不等式的解集为(－∞，2－10)∪(1－3，1＋3)∪(2＋10，＋∞)．解法二 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －4≥0，x 2－3x －4＞x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －4＜0，－（x 2－3x －4）＞x ＋2.即⎩⎨⎧（x ＋1）（x －4）≥0，（x －2－10）（x －2＋10）＞0① 或⎩⎨⎧（x ＋1）（x －4）＜0，（x －1－3）（x －1＋3）＜0，② ∴不等式组①的解集为(－∞，2－10)∪(2＋10，＋∞)，不等式组②的解集为(1－3，1＋3)．所以原不等式的解集为(－∞，2－10)∪(1－3，1＋3)∪(2＋10，＋∞)．解法三 原不等式等价于[(x 2－3x －4)＋(x ＋2)]·[(x 2－3x －4)－(x ＋2)]＞0即(x 2－2x －2)(x 2－4x －6)＞0，(x －1－3)(x －1＋3)(x －2－10)(x －2＋10)＞0，结合图形(如上图)可知原不等式的解集为(－∞，2－10)∪(1－3，1＋3)∪(2＋10，＋∞)．11．若x ∈R 不等式|x －1|＋|x －2|≤a 的解集为非空集合．求实数a 的取值范围．解析：要使|x －1|＋|x －2|≤a 的解集非空，只需a 不小于|x －1|＋|x －2|的最小值即可．由|x －1|，|x －2|可以看作数轴上的点到1，2两点的距离，可以看出|x －1|＋|x －2|的最小值为1.所以a ≥1.故a 的取值范围是[1，＋∞)．12．已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R)，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若|f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2|≤k 恒成立，求k 的取值范围．解析：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2，又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a >0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2. (2)记h (x )＝f (x )－2f (x 2)， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12. 所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.所以k 的取值范围是[1，＋∞)．13．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈[－a 2，12)时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 解析：(1)当a ＝－2时， 不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0，设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x <12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x >1.其图象如图所示，从图象可知，当且仅当x ∈(0，2)时，y <0，∴原不等式解集是{x |0<x <2}．(2)当x ∈[－a 2，12)时， f (x )＝1＋a ，不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3，∴x ≥a －2对x ∈[－a 2，12)都成立， 故－a 2≥a －2， 即a ≤43， ∴a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－1，43.14．已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．解析：(1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋6， x ≤2，2， 2＜x ＜4，2x －6， x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|⇒－2＋6≥4⇒x ≤1；当2＜x ＜4时，由f (x )≥4－|x －4|⇒2≥4，不成立；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|⇒2x －6≥4⇒x ≥5；综上，x ≤1，或x ≥5所以，当a ＝2时，不等式f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1，或x ≥5}．(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )＝|2x |－2|x －a |则h ＝(x )⎩⎪⎨⎪⎧－2a ， x ≤0，4x －2a ， 0＜x ＜a ，2a ， x ≥a .由|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2得|h (x )|≤2.即|4x ＝2a |≤2⇒－2≤4x －2a ≤2⇒a －12≤x ≤a ＋12由已知不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}亦即|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}所以⎩⎨⎧a －12＝1a ＋12＝2解得a ＝3.1．两实数大小比较的三种情况．设a ，b 为两个实数，它们在实轴上的点分别记为A ，B .如果A 落在B 的右边，则称a 大于b ，记为a ＞b ；如果A 落在B 的左边，则称a 小于b ，记作a ＜b ；如果A 与B 重合，则称a 与b 相等，记为a ＝b .2．不等式的基本性质．(1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a .(2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇔a ＞c .(3)加(减)：a ＞b ⇔a ＋c ＞b ＋c .(4)乘(除)：a ＞b ，c ＞0⇔ac ＞bc ；a ＞b ，c ＜0⇔ac ＜bc .(5)乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n ，其中n 为正整数，且n ≥2.(6)开方(取算术根)：a ＞b ＞0⇒n a ＞n b ，其中n 为正整数，且n ≥2.(7)a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d .本性质说明两个同向不等式相加，所得的不等式和原不等式同向．(8)a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd .本性质说明两边都是正数的同时不等式两边分别相乘，所得的不等式和原不等式同向．3．基本不等式．定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 我们称a ＋b 2为正数a ，b 的算术平均数，ab 为正数a ，b 的几何平均数，因而这一定理可用语言叙述为：两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 我们称a ＋b ＋c 3为正数a ，b ，c 的算术平均数，3abc 为正数a ，b ，c 的几何平均数，定理3中的不等式为三个正数的算术—几何平均不等式，或简称为平均不等式．定理4(一般形式的算术—几何平均不等式)：如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥n a 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 4．绝对值的三角不等式．定理1：若a ，b 为实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．定理2：设a ，b ，c 为实数，则|a －c |≤|a －b |＋|b －c |.等号成立⇔(a －b )(b －c )≥0，即b 落在a ，c 之间，推论1：||a |－|b ||≤|a ＋b |；推论2：||a |－|b ||≤|a －b |.5．绝对值不等式的解法．(1)|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 型不等式的解法．①c ＞0，则|ax ＋b |≤c 的解为－c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c 的解为ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，然后根据a ，b 的值解出即可．②c ＜0，则|ax ＋b |≤c 的解集为∅，|ax ＋b |≥c 的解集为R.(2)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法．解这类含绝对值的不等式的一般步骤是：①令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根；②把这些根由小到大顺序，它们把实数轴分为若干个区间；③在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集；④这些解集的并集就是原不等式的解集．6．解不等式常用技巧．解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上(或减去)一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以(或除以)一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价．这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧．。