高中数学人教A版必修四课时训练：3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3.1.3Word版含答案
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3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
课时目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.
能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．
1．倍角公式
(1)S2α：sin 2α＝2sin αcos α，sin α
2cos α
2＝1
2sin α；
(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1
＝1－2sin2α；
(3)T2α：tan 2α＝2tan α
1－tan2α.
2．倍角公式常用变形
(1)sin 2α
2sin α＝__________，sin 2α
2cos α＝__________；
(2)(sin α±cos α)2＝__________；
(3)sin2α＝______________，cos2α＝______________.
一、选择题
1．计算1－2sin222.5°的结果等于()
A.1
2B.2
2C.3
3D.3
2
2．函数y＝2cos2(x－π
4)－1是()
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π
2的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为π
2的偶函数
3．若sin(π
6－α)＝1
3，则cos(2π
3＋2α)的值为()
A．－1
3B．－7
9C.1
3D.7
9
4．若1－tan θ
2＋tan θ＝1，则cos 2θ
1＋sin 2θ的值为()
A．3 B．－3 C．－2 D．－1
2
5．如果|cos θ|＝1
5，5π
2
2的值是()
A．－10
5B.10
5C．－15
5D.15
5
6．已知角α在第一象限且cos α＝3
5，则1＋2cos2α－π
4
sinα＋π
2等于()
A.2
5B.7
5C.14
5D．－2
5
题号123456
答案
二、填空题
7.3－sin 70°
2－cos210°的值是________．
8．函数f(x)＝cos x－sin2x－cos 2x＋7
4的最大值是______．
9．已知tan θ
2＝3，则1－cos θ＋sin θ
1＋cos θ＋sin θ＝______.
10．已知sin22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π
2)，则α＝________.
三、解答题
11．求证：3－4cos 2A＋cos 4A
3＋4cos 2A＋cos 4A＝tan4A.
12．若cosπ
4－x＝－4
5，5π
4
4，求sin 2x－2sin2x
1＋tan x的值．
能力提升
13．求值：cos 20°cos 40°cos 80°.
14．求值：tan 70°·cos 10°·(3tan 20°－1)．
1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是3
2α的二倍；α
2是α
4的二倍；α
3是α
6的
二倍；α
2n＝2·α
2n＋1(n∈N*)．
2．二倍角余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛，二倍角的常用形式：①1
＋cos 2α＝2cos2α，②cos2α＝1＋cos 2α
2，③1－cos 2α＝2sin2α，④sin2α＝1－cos 2α
2.
3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
答案
知识梳理
2．(1)cos αsin α(2)1±sin 2α(3)1－cos 2α
21＋cos 2α
2
作业设计
1．B2.A
3．B[cos(2π
3＋2α)＝－cos(π
3－2α)＝－cos[2(π
6－α)]
＝－[1－2sin2(π
6－α)]＝2sin2(π
6－α)－1＝－7
9.]
4．A[∵1－tan θ
2＋tan θ＝1，∴tan θ＝－1
2.
∴cos 2θ
1＋sin 2θ＝cos2θ－sin2θ
sin θ＋cos θ2＝cos θ－sin θ
cos θ＋sin θ＝1－tan θ
1＋tan θ＝1－－1
2
1＋－1
2＝3.]
5．C[∵5π
2
5，
∴cos θ<0，cos θ＝－1
5.
∵5π
4
2<3
2π，∴sin θ
2<0.
由sin2θ
2＝1－cos θ
2＝3
5，
∴sin θ
2＝－15
5.]
6．C[∵cos α＝3
5且α在第一象限，∴sin α＝4
5.
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－7
25，
sin 2α＝2sin αcos α＝24
25，
原式＝1＋2cos 2αcos π
4＋sin 2αsin π
4
cos α＝1＋cos 2α＋sin 2α
cos α＝14
5.]
7．2
解析3－sin 70°
2－cos210°＝3－sin 70°
2－1＋cos 20°
2＝23－cos 20°
3－cos 20°＝2.
8．2
解析f(x)＝cos x－(1－cos2x)－(2cos2x－1)＋7
4＝－cos2x＋cos x＋7
4＝－cos x－1
22＋2.
∴当cos x＝1
2时，f(x)max＝2.
9．3
解析1－cos θ＋sin θ
1＋cos θ＋sin θ＝2sin2θ
2＋2sin θ
2cos θ
2
2cos2θ
2＋2sin θ
2cos θ
2＝2sin θ
2sin θ
2＋cos θ
2
2cos θ
2cos θ
2＋sin θ
2＝tan θ
2＝3.
10.π
6
解析∵sin22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0.
∴4sin2αcos2α＋2sin αcos2α－2cos2α＝0.
∵α∈(0，π
2)．∴2cos2α>0.
∴2sin2α＋sin α－1＝0.
∴sin α＝1
2(sin α＝－1舍)．
∴α＝π
6.
11．证明∵左边＝3－4cos 2A＋2cos2 2A－1
3＋4cos 2A＋2cos2 2A－1＝1－cos 2A
1＋cos 2A2＝2sin2A
2cos2A2＝(tan2A)2
＝tan4A＝右边．
∴3－4cos 2A＋cos 4A
3＋4cos 2A＋cos 4A＝tan4A.
12．解sin 2x－2sin2x
1＋tan x＝2sin xcos x－sin xcos x
cos x＋sin x＝sin 2xcos x－sin x
cos x＋sin x＝sin 2x1－tan x
1＋tan x＝sin
2xtanπ
4－x＝cosπ
2－2xtanπ
4－x＝2cos2π
4－x－1tanπ
4－x，
∵5π
4
4，
∴－3π
2
4－x<－π．
又∵cosπ
4－x＝－4
5，
∴sinπ
4－x＝3
5，tanπ
4－x＝－3
4.
∴原式＝2×16
25－1×－3
4＝－21
100.
13．解原式＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°
2sin 20°＝2sin 40°·cos 40°·cos 80°
4sin 20°＝2sin 80°·cos 80°
8sin 20°
＝sin 160°
8sin 20°＝1
8.
14．解原式＝sin 70°
cos 70°·cos 10°3sin 20°
cos 20°－1
＝sin 70°
cos 70°·cos 10°·3sin 20°－cos 20°
cos 20°
＝cos 20°
sin 20°·cos 10°·23
2sin 20°－1
2cos 20°
cos 20°
＝2cos 10°·sin－10°
sin 20°＝－sin 20°
sin 20°＝－1.
