5.2_线性微分方程组的一般理论

(t )是(5.15)的解, 由定理2知, x
(t0 ) x(t0 ) x0 (t )满足初始条件 x 由(5.20)知, 该解x (t ) x(t ) 因此,由解的存在唯一性定理,应有 x
即 x(t ) c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t )
线性微分方程组的一般理论
首先有: 一组(n-1)次可微的纯量函数x1 (t ), x2 (t ), xn (t )
线性相关的充要条件是,向量函数 xn (t ) x1 (t ) x2 (t ) ' ' ' x1 (t ) , x2 (t ) , , xn (t ) ; () x ( n 1) (t ) x ( n 1) (t ) x ( n 1) (t ) 1 2 n
则需
et 0 et
0 e 0 e 3t 1
3t
1
e2t c1 0 3t e c2 0 , t 0 c3 0 e 2t e3t 2e4t 0, 0
t
t e 因为 0
故W (t0 ) 0,
即常向量组x1 (t0 ), x2 (t0 ), xn (t0 )线性相关,
由t0的任意性 有W (t ) 0, a t b.
线性微分方程组的一般理论
(3)定理4 如果(5.15)的解x1 (t ), x2 (t ), xn (t )线性无关,
则它们Wronsky的行列式W (t ) 0, a t b.
线性微分方程组的一般理论
即它们构成n维线性空间的基, 故对向量x(t0 ) x0 ,
一定存在唯一确定常数c1,c2 , cn , 满足
x(t0 ) c1x1 (t0 ) c2 x2 (t0 ) cn xn (t0 ), (5.20)
现在考虑函数向量
(t ) c1x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) x
c1x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) 0, a t b
故对任一确定的t0 [a, b], 有
从而存在不全为零的常数c1 , c2 ,, cn ,使
c1 x1 (t0 ) c2 x2 (t0 ) cn xn (t0 ) 0,
证明: 由于xi (t )(i 1, 2,m)是方程组(5.15)的m个解
dxi (t ) 则有 A(t ) xi (t ), i 1, 2, , m dt m m m dx ( t ) i 所以 d c x ( t ) c ci A(t ) xi (t ) i i i dt i 1 dt m i 1 i 1
若f (t ) 0, 则称(5.14)为 非齐线性微分方程组.
线性微分方程组的一般理论
5.2.1齐次线性微分方程组
a. 叠加原理 定理2 如果x1 (t ), x2 (t ) , xm (t )是方程组(5.15)的m个解,
dx A(t ) x, (5.15) dt
则它们的线性组合c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cm xm (t )也是 方程组(5.15)的解, 这里c1 , c2 , cm是任常数.
W (t ) 0, a t b. 注2: (5.15)n个解x1 (t ), x2 (t ), xn (t )线性无关 W (t ) 0, a t b. 即(5.15)n个解x1 (t ), x2 (t ), xn (t )所构成的
Wronsky行列式,或者恒等于零,或者恒不等于零.
c1x1 (t ) c2 x2 (t ) cm xm (t ) 0
则称 x1 (t ) , x2 (t ) , ..., xm (t ) 在区间 [a, b] 上线性相关;
否则就称这组向量函数在区间 [a, b] 上线性无关.
线性微分方程组的一般理论
例1 证明:函数向量组
cos 2 t 1 sin 2 t x1 (t ) 1 , x2 (t ) 1 , t t
在任何区间都是线性相关的. 证明: 取c1 1, c2 1, 则 cos 2 t (1 sin 2 t ) 0 0 , c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) 1 1 0 t t
t
故x1 (t ), x2 (t )在任何区间线性相关
证明:
若有t0 [a, b], 使得W (t0 ) 0, “反证法” 则 数值向量组x1 (t0 ), x2 (t0 ), xn (t0 )线性相关,
1 , c 2 ,, c n ,使得 从而存在不全为零的常数c
1x1 (t0 ) c 2 x2 (t0 ) c n xn (t0 ) 0, (5.17) c
2t et 0 e 3t 0 3t c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) c3 x3 (t ) c1 0 c2 e c3 e et 0 1
证明: 要使
线性微分方程组的一般理论
即有
1x1 (t ) c 2 x2 (t ) c n xn (t ) 0, a t b c
故解组x1 (t ), x2 (t ), xn (t )在a t b上线性相关, 矛盾
注1: (5.15)n个解x1 (t ), x2 (t ), xn (t )线性相关
e
所以
t
c1 c2 c3 0,
故 x1 (t ), x2 (t ), x3 (t ) 线性无关.
线性微分方程组的一般理论
c. 函数向量组线性相关与无关的判别准则 (1) Wronsky行列式 设有n个定义在a t b上的向量函数
x11 (t ) x12 (t ) x1n (t ) x (t ) x (t ) x (t ) x1 (t ) 21 , x2 (t ) 22 , , xn (t ) 2 n xn1 (t ) xn 2 (t ) xnn (t )
§5.2 线性微分方程组的一般理论
线性微分方程组的一般理论
一阶线性微分方程组:
dx A(t ) x f (t ), (5.14) dt 这里A(t )和f (t )在a t b上连续,
若f (t ) 0则(5.14)变为
dx A(t ) x, dt
(5.15)
称(5.15)为一阶齐线性微分方程组.
称为这n个向量函数所构成的Wronsky行列式
(2)定理3 如果向量函数x1 (t ), x2 (t ), xn (t )在a t b上
线性相关, 则它们的Wronsky行列式W (t ) 0, a t b.
证明: 因x1 (t ), x2 (t ), xn (t )在a t b上线性相关,
由这n个向量函数所构成的行列式
x11 (t ) W [ x1 (t ), x2 (t ), xn (t )] W (t ) x21 (t ) xn1 (t )
线性微分方程组的一般理论
x12 (t ) x1n (t ) x22 (t ) x2 n (t ) xn 2 (t ) xnn (t ) ,
现在考虑函数向量
(t ) c 1x1 (t ) c 2 x2 (t ) c n xn (t ) x
(t )是(5.15)的解, 由定理2知, x
线性微分方程组的一般理论
由(5.17)知, 该解x (t )满足初始条件 x (t0 ) 0
(t ) 0 因此,由解的存在唯一性定理知, x
定理6 如果x1 (t ), x2 (t ), xn (t )是(5.15)n个线性无关的
解,则 (1) x(t)= ci xi (t )是(5.15)的通解,
i 1
n
其中c1 ,c2 , cn是任常数.
(2) (5.15)的任一解x(t )均可表为 x1 (t ), x2 (t ), xn (t )的线性组合.
线性微分方程组的一般理论
(4)定理5 (5.15)一定存在n个线性无关的解. 证明: 任取t0 [a, b], 由解的存在唯一性定理知,
(5.15)一定存在满足初始条件
1 0 0 0 1 0 x1 (t0 ) , x2 (t0 ) ,, xn (t0 ) 0 0 1
线性微分方程组的一般理论
例2 证明:函数向量组 2t et e 0 3t x1 (t ) 0 , x2 (t ) e3t , x3 (t ) e , t e 0 1
在(-,+)上线性无关.
证明: 由已知条件,
x(t)= ci xi (t )是(5.15)的解,它含n个任常数,
i 1
n
线性微分方程组的一般理论
又因为
x11 (t )
x12 (t ) x1n (t )
x21 (t ) x22 (t ) x2 n (t ) ( x1 , x2 ,, xn ) W (t ) 0 (c1 , c2 ,, cn ) xn1 (t ) xn 2 (t ) xnn (t )
A(t ) ci xi (t )
i 1
线性微分方程组的一般理论
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b. 函数向量组线性相关与无关
定义 设 x1 (t ), x2 (t ),, xm (t ) 是一组定义在区间 [a, b] 上的函数列向量，如果存在一组不全为零的常数 C1,
C 2 , ..., Cm , 使得对所有 a t b ，有恒等式
线性微分方程组的一般理论
推论1 (5.15)的线性无关解的最大个数等于n. 基本解组: (5.15)n个线性无关解x1 (t ), x2 (t ), xn (t );
为(5.15)的一个基本解组. 注1: (5.15)的基本解组不唯一.
注2: (5.15)所有解的集合构成一个n维线性空间.
注3: 由n阶线性微分方程的初值问题(5.6)与线性微 分方组的初值问题(5.7)的等价性描述,本节所 有定理都可平行推论到n阶线性微分方程去.
故c1,c2 , cn彼此独立,
于是x(t)= ci xi (t )是(5.15)的通解.
(2) 设x(t )是(5.15)的任一解, 且x(t0 ) x0 ,
i 1
n
因x1 (t ), x2 (t ), xn (t )是(5.15)n个线性无关的解,
从而可知 数值向量组x1 (t0 ), x2 (t0 ), xn (t0 )线性无关,
的解x1 (t ), x2 (t ), xn (t ); t [a, b]
且
W (t0 ) W[ x1 (t0 ), x2 (t0 ), xn (t0 )] 1 0
故x1 (t ), x2 (t ), xn (t )在a t b上线性无关.
线性微分方程组的一般理论
d. 通解结构及基本解组