九年级二次函数培优竞赛试题及答案
⑴求点C的坐标；
仏(2)若抛物线y= —x + ax + 4经过点C. _ 4①求抛物线的解析式；
②在抛物线上是否存在点P(点C除外)使厶ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.
2+bx+c，抛物线y=-x，与y轴交于点BA如图2. 1,已知直线y=x+3与x轴交于
a
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A E、F为顶点的三角形面积为3, 求点F的坐标；
（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值.
1.【解析】
试题分析：（1）过点C作CD垂直于x轴，由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC,根据旋转的旋转得到AB=AC且/ BAC为直角，可得/ OAB与/ CAD 互余，由/ AOB为直角，可得/ OAB与Z ABO互余，根据同角的余角相等可得一对角相等，再加上一对直角相等，利用ASA可证明三角形ACD^三角形AOB全等，根据全等三角形的对应边相等可得AD=OB CD=OA由A和B的坐标及位置特点求出OA及OB的长，可得出OD及CD的长，根据C在第四象限得出C的坐标；
（2）①由已知的抛物线经过点C,把第一问求出C的坐标代入抛物线解析式，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出抛物线的解析式；②假设存在点P 使厶ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，分三种情况考虑：
（i ）A为直角顶点，过A作AP垂直于AB,且AP=AB过P作PM垂直于x轴，仆如图所示，根据一对对顶角相等，一对直角相等，AB=AP利用AAS可证明三角
i形APM与三角形ACD全等，得出AP与PM的长，再由P为第二象限的点，得出mi 此时P的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（ii ）当B为直角顶点，过B 作i BP 垂直于BA且BP=BA过P作PN垂直于y轴，如图所示，同理证明三角形2222BPN与三角形AOB全等，得出PN与BN的长，由P为第三象限的点，写出P 的2222坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（iii ）当B为直角顶点，过B作BP 垂直3于BA且BP=BA如图所示，过P作PH垂直于y轴，同理可证明三角形PB*全等于三角形AOB可得出PH与BH的长，由P为第四象限的点，写出P 的坐333标，代入抛物线解析式检验，不满足，综上，得到所有满足题意的P的坐标.
°
试题解析：（1）过C作CDLx轴，垂足为D,r
••• BA!AC, •••/ OAB Z CAD=90，
又Z AOB=90 ,•••/ OAB Z OBA=90，
Z ADC=90 , AOB =Z AB=AC 又OB& CAD=Z.
•••△ AOB^A CDA 又A （1, 0） , B （0,- 2）,
••• OA=CD=1 OB=AD=2
••• OD=OA+AD=3^ C为第四象限的点，
••• C的坐标为（3,- 1）；
12+ax+2经过点C,且C （ 3,-［①，••抛物线y=- x1）,（茲291 A把C的坐标代入得：-1 = - +3a+2,解得：a=, 22112+x+2; y= - x则抛物线的解析式
为22②存在点P,A ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，
（i ）若以AB为直角边，点A为直角顶点，
则延长CA至点P使得PA=CA得到等腰直角三角形ABP过点P作PMLx轴，mu
••• AP=CA Z MAP H CAD Z PMA M CDA=90 , 心山 AMP^ADC AM=AD=2
PM=CD=1 1U +X+2 上；在抛物线 y=- xP.・.(- 1,1),经检验点 P H 22( ii ) 若以AB 为直角边,点B 为直角顶点,则过点B 作BP 丄BA 且使得BP=AB 22得
到等腰直角三角形ABP 过点P 作PNLy 轴,如图,
222 ' 同理可证厶 BPN^A ABO 2二 NP=OB=2 BN=OA=1 2H X +X +2 上; 二 P (- 2,-
1),经检验P (- 2, - 1)也在抛物线y=r 22 BAL 作则过点B 为直角边, 若以iii () AB 点为直角顶点,BBP =ABBP 且使得33
轴,如图,P,过点ABP 得到等腰直角三角形y 作P L H-•
同理可证厶 BPH^^ BAO 3二 HP=OB=2BH=OA=1 3112
X+X+2 上;二 P(2 , - 3), 经检验P (2, - 3)不在抛物线y=-33
22则符合条件的点有P (- 1 , 1), P )两点•，- 1 (-221
等腰直角三角形•点的坐标3.考点：1.二次函数综合题 21 33 21 42 , ) (32.【答案】(1) y=-x )当-2x+3 ; (2) (t 为秒
22314秒时,以P 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形或 2秒或3秒 或 3
【解析】
试题分析：(1)先由直线AB 的解析式为y=x+3 ,求出它与x 轴的交点A 、与
y 2
+bx+cy=-x ,运用待定系数法即、B 两点的坐标代入轴的交点B 的坐标，再将A 可求出抛物线的解析式； 2. 厂厂
如图所示,
2-2m+3) , -m ,运用配方法求出抛物线的(2)设第三象限内的点F的坐标为(m
对称轴及顶点D 的坐标，再设抛物线的对称轴与x 轴交于点G 连接FG 根据 S=S+S-S=3列出关于m 的方程，解方程求出m 的值，进而得出点F EFQXAEFSAEG ^AFG 的 坐标； 2=10，两点坐标，运用勾股定理求出 BC 先由B 、C3（）设P 点坐标为（-1，n ） 222，据此再分三种情况进行讨论：①/ PBC=90，先由勾股定理得出PB=PC+BC 列出关于n 的方程，求出n 的值，再计算出PD 的长度，然后根据时间=路程十速 度，即可求出此时对应的t 值；②/ BPC=90，同①可求出对应的t 值；③/ BCP=90，同①可求出对应的t 值.
试题解析：（1）V y=x+3与x 轴交于点A,与y 轴交于点B,
•••当y=0时，x=-3，即A 点坐标为（-3，0），
当x=0时，y=3，即B 点坐标为（0，3），
2
+bx+c ，得）代入 y=-x 30），B （0,,将 A （-3 9 3b c 0b 2 ，解得，
22设第三象限内的点F 的坐标为（m, -m-2m+3），则m<0，-m-2m+3< 0.
22
+4， （x+1）v y=-x-2x+3=- •对称轴为直线x=-1，顶点D 的坐标为（-1，4）， 设抛物线的对称轴与x 轴交于点G,连接FG 则G （-1，0），AG=2
•••直线AB 的解析式为y=x+3，
•••当 x=-1 时，y=-1+3=2，
• E 点坐标为（-1，2）. 11122+3m =m- x 2x （ -1-m ） =S°・° S+S-S=x 2 x 2+ x 2X （ m+2m-3 EFGAEFXAFGAAEG ^—— -2222+3m=3为顶点的三角形面积为3时，m ••以A 、E 、 F 厂— 3 21213 ，
21 21 3 3 22-3m+m+3=-3+m+3=m=n.°.点-2m+3=-m 当 F 的坐标为时,
21 33 21 ,); ( 22 (3)设 P 点坐标为(-1 , n ).
•- B (0, 3), C (1, 0),
222=1 0..・. BC=1+3- , =PC+BCPB 如果/ PBC=90，那么2
分三种情况：①如图
解得：（舍去）， m m --------------
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