地震波形反演的稀疏约束正则化方法_王薇

１ １］ １ ２］ 其中包括模拟退 火 法 ［ 与 遗 传 算 法［ 等统计学方
ｘ）＝ Φ α（
ｐ
来自百度文库，（ ） １
当 ｐ＝２ 时即为经典的 Ｔ ｉ ｋ ｈ ｏ ｎ ｏ ｖ 正则化方法 ．若 Ｘ 为Ｈ 适当地引入框架理论 ，任意 ｘ ∈ Ｘ ｉ ｌ ｂ ｅ ｒ ｔ空间 ， 存在序列 ｛ 使ｘ ＝ ｃ 稀疏约束泛函可写为 ｉ｝ ｉ， ∑ｉ
２ ９ ０
） 地 球 物 理 学 报（ Ｃ ｈ ｉ ｎ ｅ ｓ ｅ Ｊ ． Ｇ ｅ ｏ ｈ ｓ ． ｐ ｙ
５ ６卷
成了所接收的地震 观 测 数 据 ． 地震勘探的主要工作 就是基于波动方程 ， 从这些观测数据中 ， 反演出地层 剖面及介质的物性参数 ， 进而确定地下构造 ， 以此作 从位移响应的理论 为油气勘探或工程 物 探 的 基 础 ． 合成数据应与实际 测 量 数 据 相 吻 合 的 观 点 出 发 ， 应 用中把波动方程速度反演问题转化为非线性函数的 极小值问题 ．
域
［ ］ ６ ７ －
及Ｌ ａ ｌ ａ ｃ ｅ域 ｐ
［ ８］
， 从叠后反演到叠前反演
［ ］ ９ １ ０ －
，
波形反演获得了广泛研究 ． 在实际应用中 ， 相比较线 非线 性 地 震 波 形 反 演 更 接 近 实 际 情 性地震波反演 ， 况， 并且 Ｍ 只有 ｏ ｒ ａ也证明了在正常的 勘 探 条 件 下 ， 采用完全非线性地震波形反演方法才能观测到地震 速度波场的所 有 波 长 分 量 ．Ｔ ａ ｒ ａ ｎ ｔ ｏ ｌ ａ 、 Ｍ ｏ ｒ ａ 等 对完全非线性波形 反 演 进 行 了 详 细 研 究 ， 力求通过
１ 引 言
采用弹性动力学中的波动方程来描述地震波在 地下介质中的传播 过 程 ， 具有能够利用完全的波场
如在定位地下分布 的 油 气 资 源 时 ， 一般的做法是在 地面上人工激发地震波 ． 由于介质的非均匀性 ， 当地 震波在地层介质中 向 各 方 向 传 播 时 会 产 生 反 射 、 衍 射、 散射和透射等现象 ， 部分地震波返回到地面就构
［ ３］ ［ ４］
随 演参数 且 具 有 稀 疏 性 的 线 性 反 问 题 的 有 效 性 ．
［４］ 后， 将稀疏约束正则化方法推广到非 Ｒ ａ ｍ ｌ ａ ｕ等 ２
线性问 题 ． 对 非 线 性 不 适 定 算 子 方 程 Ｆ（ ｘ）＝ ｙ， ， 若 Ｘ， 相 Ｆ： Ｘ →Ｙ， Ｙ 为序列空间 （ Ｘ ＝ｌ Ｙ ＝ｌ ２） ｐ， 应的稀疏约束泛函可表示为 １ α ２ δ ｘ） ‖Ｆ（ ‖＋ ∑ ｘ －ｙ ｉ ２ ｐ ｉ
ｉ
法， 将多尺度思想、 同伦思想与各类优化算法相结合的
］ ］ １ ３ １ ５ １ ６ － ，以及小波变换的多尺度方法［ 多种方法［ 等．
α δ ２ ）＝ １ ‖Ｆ（ ｃ ｃ ｃ －ｙ Φ ｉ ｉ） ｉ α（ ‖ ＋ｐ ∑ ∑ ２ ｉ ｉ
ｐ
，（ ） ２
由于 波 形 反 演 是 不 适 定 的 ， 即数值结果对数据 比较敏感 ， 而观测数据不可避免地存在噪声 ， 所以必 解决这一问题首选 须采用正则化方法 求 其 近 似 解 ， 方法是 Ｔ 传统的 Ｔ ｉ ｋ ｈ ｏ ｎ ｏ ｖ 正则化方法 ． ｉ ｋ ｈ ｏ ｎ ｏ ｖ正 则化方法选取二次 罚 项 ， 其作用在于减弱原不适定 问题近似解的震荡 性 ， 使得近似解具有一定的光滑 从而给出稳定的近似解 ． 但同时也会导致解的过 性， 度光滑 ， 而偏离实际 ． 然而 ， 在实际应用中 ， 常常会遇 此时经典的正 到解为不连续函数 或 含 尖 点 的 函 数 ， 则化方法因 其 过 度 光 滑 的 特 点 已 不 再 适 用 ， 而 ＴＶ ［ １ ７］ ） 正则化 （ 与稀疏正 Ｔ ｏ ｔ ａ ｌ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｒ ｅ ｕ ｌ ａ ｒ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｇ ） 则化方法 （ Ｒ ｅ ｕ ｌ ａ ｒ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｗ ｉ ｔ ｈ ｓ ａ ｒ ｓ ｉ ｔ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｔ ｓ ｇ ｐ ｙ （ ） 又称ｌ 则能很好地 １≤ ｐ ＜２ ） ｐ 约束正则化方法 （ 反演出跳跃性较大的参数部分 ．为了更好地刻画参 数的性态 ， 本文引入稀疏约束正则化方法 ．
） 基金项目 国家自然科学基金项目 （ 资助 ． ４ １ ０ ７ ４ ０ ８ ８ 作者简介 王薇 ， 女， 哈尔滨工业大学 ， 博士 ， 现复旦大学博士后 ， 从事稀疏约束正则化方法的理论和数值方法研究 ． ：ｗ ＿ Ｅ－ｍ ａ ｉ ｌ ｅ ｉ ｗ ａ ｎ ｍ ａ ｔ ｈ ２ ６． ｃ ｏ ｍ ＠１ ｇ ： 男， 博士生导师 ， 从事数学物理反问题正反演理论及应用研究 ． Ｅ－ｍ ａ ｉ ｌ ｂ ｏ ｈ ａ ｎ ｉ ｔ ． ｅ ｄ ｕ． ｃ ｎ ＊ 通讯作者 韩波 ， ＠ｈ
第５ ６卷 第１期 ２ ０ １ ３年１月
地 球 物 理 学 报
ＣＨ Ｉ Ｎ Ｅ Ｓ Ｅ Ｊ ＯＵＲ ＮＡ Ｌ Ｏ Ｆ Ｇ Ｅ Ｏ Ｐ ＨＹ Ｓ Ｉ Ｃ Ｓ
Ｖ ｏ ｌ ． ５ ６，Ｎ ｏ ． １ ， Ｊ ａ ｎ ． ２ ０ １ ３
（ ） ： ， ： ／ 王薇 ，韩波 ，唐锦萍 ． 地震波形反演的稀疏约束正则化方法 ． 地球物理学报 ， ２ ０ １ ３， ５ ６ １ ２ ８ ９ ２ ９ ７ ｄ ｏ ｉ １ ０． ６ ０ ３ ８ ｃ ２ ０ １ ３ ０ １ ３ ０． － ｊ ｇ Ｗ，Ｈ ａ ｎ Ｂ，Ｔ ａ ｎ Ｊ Ｐ．Ｒ ｅ ｕ ｌ ａ ｒ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｗ ｉ ｔ ｈ ｓ ａ ｒ ｓ ｉ ｔ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｔ ｓ ｆ ｏ ｒ ｓ ｅ ｉ ｓ ｍ ｉ ｃ ｗ ａ ｖ ｅ ｆ ｏ ｒ ｍ ｉ ｎ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｏ ｎ ．Ｃ ｈ ｉ ｎ ｅ ｓ ｅ Ｊ． Ｗ ａ ｎ ｇ ｇ ｐ ｙ ｇ ） ， （ ） ： ， ： ／ Ｇ ｅ ｏ ｈ ｓ ．（ ｉ ｎ Ｃ ｈ ｉ ｎ ｅ ｓ ｅ ２ ０ １ ３， ５ ６ １ ２ ８ ９ ２ ９ ７ ｄ ｏ ｉ １ ０． ６ ０ ３ ８ ｃ ２ ０ １ ３ ０ １ ３ ０． － ｊ ｇ ｐ ｙ
寻求使得目标函数最小的速度模型 ． 迭代下降方法 ， 随后 ， 各类优化算法 ， 如最速下降法 ， 牛顿法 ， 共轭梯 度法等得以应用 ． 由于波形反演的非线性性 ， 使得目 标函数存在大量的 局 部 极 小 值 ， 反演结果对初值依 赖较强 ． 为了克服 局 部 极 值 问 题 ， 各 类 方 法 被 讨 论，
］ ］ １ ８ １ ９ ２ ０ ２ １ － － ， ， 了广泛 应 用 ［ 同 时 在 地 震 层 析 反 演［ 地震 ２ ２］ 波阻抗反演 ［ 中体现了明显的优势 ． ［３］ 给出了稀疏正则化方 ａ ｕ ｂ ｅ ｃ ｈ ｉ ｅ ｓ等 ２ ２ ０ ０ ４年 Ｄ 法与迭代伸缩算法的理论分析 ，指出其用于求解反
１２ １＊ １ ， ＷＡＮＧ Ｗ ｅ ｉ Ｂ ｏ ＴＡＮＧ Ｊ ｉ ｎ Ｐ ｉ ｎ ，ＨＡＮ － ｇ ，
１ Ｄ ｅ ａ ｒ ｔ ｍ ｅ ｎ ｔ ｏ Ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｓ，Ｈ ａ ｒ ｂ ｉ ｎ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ｏ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ａ ｒ ｂ ｉ ｎ１ ５ ０ ０ ０ １， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ｐ ｆ ｆ ｇ ｙ，Ｈ ２ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ Ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ， Ｆ ｕ ｄ ａ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ Ｓ ｈ ａ ｎ ｈ ａ ｉ ２ ０ ０ ４ ３ ３， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ｆ ｙ， ｇ
Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ｈ ｉ ｓ ｓ ｔ ｕ ｄ ｉ ｅ ｓ ｔ ｈ ｅ ｏ ｆ ｓ ｅ ｉ ｓ ｍ ｉ ｃ ｗ ａ ｖ ｅ ｆ ｏ ｒ ｍ ｉ ｎ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｏ ｎ． Ｉ ｎ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｔ ｏ ｏ ｖ ｅ ｒ ｃ ｏ ｍ ｅ ａ ｅ ｒ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ｓ Ｔ ｐ ｐ ｐ ，ｗ ｔ ｈ ｅ ｏ ｖ ｅ ｒ ｓ ｍ ｏ ｏ ｔ ｈ ｎ ｅ ｓ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｔ ｒ ａ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ Ｔ ｉ ｋ ｈ ｏ ｎ ｏ ｖ ｒ ｅ ｕ ｌ ａ ｒ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｅ ｉ ｎ ｔ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｅ ｔ ｈ ｅ ｎ ｏ ｎ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｇ ， ｒ ｅ ｕ ｌ ａ ｒ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｗ ｉ ｔ ｈ ｓ ａ ｒ ｓ ｉ ｔ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｔ ｓ ａ ｎ ｄ ａ ｄ ｏ ｔ ｔ ｈ ｅ ｄ ｕ ａ ｌ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｔ ｏ ｏ ｂ ｔ ａ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｍ ｉ ｎ ｉ ｍ ｉ ｚ ｅ ｒ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｇ ｐ ｙ ｐ ｗ ｉ ｔ ｈ ｓ ａ ｒ ｓ ｉ ｔ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｔ ｓ ．Ｎ ｕ ｍ ｅ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ ｓ ｉ ｍ ｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ａ ｒ ｅ ｃ ａ ｒ ｒ ｉ ｅ ｄ ｏ ｕ ｔ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｗ ａ ｖ ｅ ｆ ｏ ｒ ｍ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ ｐ ｙ ， ｉ ｎ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ２ ａ ｃ ｏ ｕ ｓ ｔ ｉ ｃ ｗ ａ ｖ ｅ ｅ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｎ ｄ ｌ ｏ ｔ ｓ ｏ ｆ ｔ ｅ ｓ ｔ ｓ ａ ｒ ｅ ｃ ｏ ｎ ｄ ｕ ｃ ｔ ｅ ｄ ｆ ｏ ｒ ｖ ａ ｒ ｉ ｏ ｕ ｓ ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ｓ ． －Ｄ ｑ Ｔ ｈ ｅ ｎ ｕ ｍ ｅ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｓ ｈ ｏ ｗ ｔ ｈ ａ ｔ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｕ ｌ ａ ｒ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｗ ｉ ｔ ｈ ｓ ａ ｒ ｓ ｉ ｔ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｔ ｓ ｈ ａ ｓ ｔ ｈ ｅ ｇ ｐ ｙ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｔ ｏ ｒ ｅ ｃ ｏ ｖ ｅ ｒ ｔ ｈ ｅ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｒ ｏ ｆ ｄ ｉ ｓ ｃ ｏ ｎ ｔ ｉ ｎ ｕ ｏ ｕ ｓ ｍ ｅ ｄ ｉ ａ ． ｙ ｙ ， ， ， Ｋ ｅ ｗ ｏ ｒ ｄ ｓ Ｗ ａ ｖ ｅ ｆ ｏ ｒ ｍ ｉ ｎ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｏ ｎ Ｒ ｅ ｕ ｌ ａ ｒ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｗ ｉ ｔ ｈ ｓ ａ ｒ ｓ ｉ ｔ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｔ ｓ Ｄ ｕ ａ ｌ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｇ ｐ ｙ ｙ Ｎ ｏ ｎ ｃ ｏ ｎ ｔ ｉ ｎ ｕ ｏ ｕ ｓ ｍ ｅ ｄ ｉ ａ 因此一直都是地震勘探中的研究热点 ． 信息的优势 ，
地震波形反演的稀疏约束正则化方法
２ ，韩 波１＊ ，唐锦萍１ 王 薇１， １ 哈尔滨工业大学数学系 ，哈尔滨 １ ５ ０ ０ ０ １ ２ 复旦大学数学科学学院 ，上海 ２ ０ ０ ４ ３ ３
摘 要 本文考虑地震波形反演问题 ． 为了克服传统的 Ｔ 引入了非线性稀疏 ｉ ｋ ｈ ｏ ｎ ｏ ｖ 正则化方法 过 度 光 滑 的 弊 端 ， 约束正则化方法 ， 并采用对偶方法求解稀疏约束泛函的极小点 ． 基于二维声波方 程 波 形 反 演 问 题 进 行 了 数 值 模 拟 ， 针对不同模型对稀疏约束正则化方法进行了测试 ． 结果 表 明， 稀疏约束正则化方法对不连续介质模型的介质边缘 具有良好的识别能力 ． 关键词 波形反演 ，稀疏约束正则化方法 ， 对偶方法 ， 不连续介质 ： ／ ｄ ｏ ｉ １ ０ ． ６ ０ ３ ８ ｃ ２ ０ １ ３ ０ １ ３ ０ ｊ ｇ 中图分类号 Ｐ ６ ３ １ ， 收稿日期 ２ ０ １ ２ ０ ４ ０ ９ ２ ０ １ ２ １ ２ ０ ２收修定稿 － － － －
］ ］ １ ２ ３ ４ ５］ － － ， 近些年 ， 从线性 ［ 到非线性 ［ 从时域 ［ 到频
似为零 ） 或者解在正交基或框架下具有稀疏表示 ， 即 大部分系数为零 （ 近似 为 零） 稀疏性成为刻画解的 ． 一种方式 ， 特 别 是 在 压 缩 感 知 中， 应 用ｌ １ 约束正则 可以有效 地 减 少 采 样 数 据 ， 节 省 存 储 空 间， 化方法 ， 并且通过少量的信 号 实 现 信 号 的 准 确 或 近 似 重 构 ， 因此稀疏正则化方法在信号处理及图像去噪中获得
Ｒ ｅ ｕ ｌ ａ ｒ ｉ ｚ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｗ ｉ ｔ ｈ ｓ ａ ｒ ｓ ｉ ｔ ｃ ｏ ｎ ｓ ｔ ｒ ａ ｉ ｎ ｔ ｓ ｇ ｐ ｙ ｆ ｏ ｒ ｓ ｅ ｉ ｓ ｍ ｉ ｃ ｗ ａ ｖ ｅ ｆ ｏ ｒ ｍ ｉ ｎ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｏ ｎ