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函数与导数

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函数与导数 1.(2019·内蒙古模拟)已知函数f(x)＝ 2x－x3，x≤0，ln x，x>0，则f f 1e等于( ) A.－1 B.1 C.32 D.－12 答案 C 解析 ∵函数f(x)＝ 2x－x3，x≤0，ln x，x>0， ∴f 1e＝ln 1e＝－1， f f 1e＝f(－1)＝2－1－(－1)3＝32.

2.(2019·唐山模拟)已知a＝log32，b＝log43，c＝log0.20.3，则a，b，c的大小关系是( ) A.a答案 B

解析 a－c＝log32－log0.20.3＝log32－log5103

＝log32－log55－log523＝log32－1－log523 ＝log323－log523<0，故a又34＝81>4344＝64， 故3>344，故log43>434log4， 即b>34，

又1034<4345, 故103<345， 故log0.20.3＝345510log即c<34，所以b>c，综上a3.(2019·平罗中学模拟)函数f(x)＝lnx＋1x2－2x＋1的部分图象大致是( )

答案 A 解析 当x＝2时，f(2)＝ln 34－4＋1＝ln 3>0，故排除C，

当x＝12时，f 12＝ln 3214＝4ln 32>0，故排除D， 当x→＋∞时，f(x)→0，故排除B. 4.(2019·天津九校联考)已知函数f(x)＝ a－x2－4x，x<0，fx－2，x≥0，且函数y＝f(x)－2x恰有 三个不同的零点，则实数a的取值范围是( ) A.[－4，＋∞) B.[－8，＋∞) C.[－4,0] D.(0，＋∞) 答案 A 解析 方程f(x)－2x＝0⇔f(x)＝2x⇔f(x)－a＝2x－a， 所以函数y＝f(x)－2x恰有三个不同的零点等价于y＝f(x)－a与y＝2x－a有三个交点，

记g(x)＝f(x)－a＝ －x2－4x，x<0，gx－2，x≥0， 画出函数简图如下，

画出函数y＝2x如图中过原点的虚线l，平移l要保证图象有三个交点， 向上最多平移到l′位置，向下平移一直会有三个交点， 所以－a≤4，即a≥－4.

5.(2019·东北三省四市模拟)已知函数f(x)＝ 1＋ln x，x≥1，12x＋12，x<1，若x1≠x2，且f(x1)＋f(x2)＝2，则x1＋x2的取值范围是( )

A.[2，＋∞) B.[e－1，＋∞) C.[3－2ln 2，＋∞) D.[3－2ln 3，＋∞) 答案 C 解析 设x1x1≥1， 则f(x1)＋f(x2)＝1＋ln x1＋1＋ln x2 ＝2＋ln(x1x2)＝2， ∴x1x2＝1，不成立； 若x1则f(x1)＋f(x2)＝12x1＋12＋12x2＋12

＝12(x1＋x2)＋1＝2， ∴x1＋x2＝2，不成立，若x1<1≤x2， 则f(x1)＋f(x2)＝12x1＋12＋1＋ln x2

＝12x1＋ln x2＋32＝2， ∴x1＝1－2ln x2， ∴x1＋x2＝1－2ln x2＋x2， 设g(x)＝1－2ln x＋x(x≥1)，

则g′(x)＝－2x＋1＝x－2x， 当1≤x<2时，g′(x)<0，则g(x)单调递减， 当x>2时，g′(x)>0，则g(x)单调递增， ∴g(x)min＝g(2)＝1－2ln 2＋2＝3－2ln 2， ∴x1＋x2∈[3－2ln 2，＋∞).

6.(2019·马鞍山模拟)若函数f(x)＝ln(x－1)＋2x－ax(a>0)恰有一个零点，则实数a的值为( ) A.12 B.2 C.1e D.e 答案 A 解析 函数的定义域为(1，＋∞)，

若函数f(x)＝ln(x－1)＋2x－ax(a>0)恰有一个零点，

等价为f(x)＝ln(x－1)＋2x－ax＝0恰有一个根， 即ln(x－1)＋2x＝ax只有一个根， 即函数y＝ln(x－1)＋2x和y＝ax的图象只有一个交点， 即当a>0时，y＝ax是函数y＝ln(x－1)＋2x的切线， 设g(x)＝ln(x－1)＋2x，切点为(m，n)， 则ln(m－1)＋2m＝n， ∵g′(x)＝1x－1－2x2＝x2－2x＋2x2x－1>0， 切线斜率k＝g′(m)＝1m－1－2m2＝a， 则切线方程为y－n＝1m－1－2m2(x－m)， ∵切线过原点， ∴－m1m－1－2m2＋ln(m－1)＋2m＝0，

即ln(m－1)＋4m－mm－1＝0， ∴m＝2， 此时a＝1m－1－2m2＝12－1－24＝1－12＝12. 7.(2019·安徽省江南十校联考)若y＝f(x)的导函数满足：当x≠2时，(x－2)[f(x)＋2f′(x)－xf′(x)]>0，则( ) A.f(4)>(25＋4)f(5)>2f(3) B.f(4)>2f(3)>(25＋4)f(5) C.(25＋4)f(5)>2f(3)>f(4) D.2f(3)>f(4)>(25＋4)f(5) 答案 C

解析 令g(x)＝fxx－2，则g′(x)＝x－2f′x－fxx－22， 因为当x≠2时，(x－2)[f(x)＋(2－x)f′(x)]>0， 所以当x>2时，g′(x)<0， 即函数g(x)在(2，＋∞)上单调递减， 则g(5)>g(3)>g(4)，

即f55－2>f33－2>f44－2， 即(25＋4)f(5)>2f(3)>f(4). 8.(2019·昆明模拟)已知函数f(x)＝(x2－2x)ex－aln x(a∈R)在区间(0，＋∞)上单调递增，则a的最大值是( )

A.－e B.e C.－e22 D.4e2 答案 A 解析 因为函数f(x)＝(x2－2x)ex－aln x(a∈R)，

所以f′(x)＝ex(x2－2x)＋ex(2x－2)－ax

＝ex(x2－2)－ax(x>0). 因为函数f(x)＝(x2－2x)ex－aln x(a∈R)在区间(0，＋∞)上单调递增， 所以f′(x)＝ex(x2－2)－ax≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，即ax≤ex(x2－2)在区间(0，＋∞)上恒成立， 亦即a≤ex(x3－2x)在区间(0，＋∞)上恒成立， 令h(x)＝ex(x3－2x)，x>0，则 h′(x)＝ex(x3－2x)＋ex(3x2－2)

＝ex(x3－2x＋3x2－2)＝ex(x－1)(x2＋4x＋2)，x>0， 因为x∈(0，＋∞)，所以x2＋4x＋2>0. 因为ex>0，令h′(x)>0，可得x>1， 令h′(x)<0，可得0所以函数h(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(0,1)上单调递减. 所以h(x)min＝h(1)＝e1(1－2)＝－e. 所以a≤－e. 所以a的最大值是－e. 9.已知函数f(x)＝x2＋(ln 3x)2－2a(x＋3ln 3x)＋10a2，若存在x0使得f(x0)≤110成立，则实数a的值为( ) A.110 B.25 C.15 D.130 答案 D 解析 f(x)＝x2＋(ln 3x)2－2a(x＋3ln 3x)＋10a2＝(x－a)2＋(ln 3x－3a)2表示点M(x，ln 3x)与点N(a,3a)距离的平方，M点的轨迹是函数g(x)＝ln 3x的图象，N点的轨迹是直线y＝3x，

则g′(x)＝1x.作g(x)的平行于直线y＝3x的切线，切点为(x1，y1)，则1x1＝3，所以x1＝13，

切点为P13，0，所以曲线上点P13，0到直线y＝3x的距离最小，最小距离d＝110，所以f(x)≥110，根据题意，要使f(x0)≤110，则f(x0)＝110，此时N为垂足，点M与点P重合，kMN

＝3a－0a－13＝－13，得a＝130.

10.(2019·三明模拟)已知函数f(x)＝e2 018x＋mx3－m(m>0)，当x1＋x2＝1时，对于任意的实数θ，都有不等式f(x1)＋f(sin2θ)>f(x2)＋f(cos2θ)成立，则实数x1的取值范围是( ) A.[1，＋∞) B.[1,2] C.(]1，2 D.(1，＋∞) 答案 D 解析 g(x)＝f(x)－f(1－x) ＝(e2 018x＋mx3)－[e2 018(1－x)＋m(1－x)3]， 则g′(x)＝2 018[e2 018x＋e2 018(1－x)]＋3m[x2＋(1－x)2]>0， 据此可得函数g(x)单调递增， 又x1＋x2＝1， 则不等式f(x1)＋f(sin2θ)>f(x2)＋f(cos2θ)，即 f(x1)＋f(sin2θ)>f(1－x1)＋f(1－sin2θ)，

则f(x1)－f(1－x1)>f(1－sin2θ)－f[1－(1－sin2θ)]， 即g(x1)>g(1－sin2θ)， 结合函数g(x)的单调性可得x1>1－sin2θ恒成立， 当sin θ＝0时，(1－sin2θ)max＝1， 结合恒成立的条件可得实数x1的取值范围是(1，＋∞).

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第13讲 函数与导数之导数及其应用(学生版)

第13讲 函数与导数之导数及其应用(学生版)

第13讲 函数与导数之导数及其应用一． 基础知识回顾1．函数的平均变化率：一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商 ＝Δy Δx 称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率．2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：(1)定义：函数y ＝f (x)在点x 0处的瞬时变化率 通常称为f (x )在x ＝x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即 ．(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是过曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))的 ．导函数y ＝f ′(x )的值域即为 ．3．函数f (x )的导函数：如果函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内每一点都是可导的，就说f (x )在开区间(a ，b )内可导，其导数也是开区间(a ，b )内的函数，又称作f (x )的导函数，记作 ．4．基本初等函数的导数公式表（右表） 5．导数运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝ ； (2)[f (x )g (x )]′＝ ； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′= [g (x )≠0]． 5．导数和函数单调性的关系：(1)若f ′(x )>0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是 函数，f ′(x )>0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间；(2)若f ′(x )<0在(a ，b )上恒成立，则f (x )在(a ，b )上是 函数，f ′(x )<0的解集与定义域的交集的对应区间为 区间(3)若在(a ，b )上，f ′(x )≥0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零⇔f (x )在(a ，b )上为 函数，若在(a ，b )上，f ′(x )≤0，且f ′(x )在(a ，b )的任何子区间内都不恒等于零⇔f (x )在(a ，b )上为 函数．6．函数的极值：(1)判断f (x 0)是极值的方法：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧 ，右侧 ，那么f (x 0)是极大值；②如果在x 0附近的左侧 ，右侧 ，那么f (x 0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤①求f ′(x )；②求方程 的根；③检查f ′(x )在方程 的根左右值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得 ；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得 ．7．函数的最值：(1)函数f (x )在[a ，b ]上必有最值的条件如果函数y ＝f (x )的图象在区间[a ，b ]上 ，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤：①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的 ；②将函数y ＝f (x )的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．二．典例精析探究点一：导数的运算例1：求下列函数的导数：(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎫1＋1x ； (2)y ＝ln x x ；(3)y ＝x e x ； (4)y ＝tan x .原函数 导函数 f (x )＝C f ′(x )＝ f (x )＝x α (α∈Q *) f ′(x )＝ (α∈Q *) F (x )＝sin x f ′(x )＝ F (x )＝cos x f ′(x )＝ f (x )＝a x (a >0，a ≠1) f ′(x )＝ (a >0，a ≠1) f (x )＝e x f ′(x )＝ f (x )＝log a x (a >0，a ≠1，且x >0) f ′(x )＝ (a >0，a ≠1，且x >0) f (x )＝ln x f ′(x )＝变式迁移1：求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝3x e x －2x ＋e ； (3)y ＝ln x x 2＋1.探究点二：导数的几何意义例2：已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求满足斜率为1的曲线的切线方程．变式迁移2：求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．探究点三：函数的单调性例3：已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围；变式迁移3：已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围．探究点四：函数的极值例4：若函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围．变式迁移4：设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点．(1)试确定常数a 和b 的值； (2)试判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由．探究点五：求闭区间上函数的最值例5：已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．变式迁移5：已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式； (2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值．三．方法规律总结1．准确理解曲线的切线，需注意的两个方面：(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，若直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点．(2)曲线未必在其切线的“同侧”，如曲线y ＝x 3在其过(0,0)点的切线y ＝0的两侧．2．曲线的切线的求法：若已知曲线过点P (x 0，y 0)，求曲线过点P 的切线则需分点P (x 0，y 0)是切点和不是切点两种情况求解．(1)点P (x 0，y 0)是切点的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(2)当点P (x 0，y 0)不是切点时可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步：写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)；第三步：将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程求出x 1；第四步：将x 1的值代入方程y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．3．求可导函数单调区间的一般步骤和方法：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )，令f ′(x )＝0，求出它在定义域内的一切实根；(3)把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f ′(x )在各个开区间内的符号，根据f ′(x )的符号判定函数f (x )在每个相应小开区间内的增减性．4．可导函数极值存在的条件：(1)可导函数的极值点x 0一定满足f ′(x 0)＝0，但当f ′(x 1)＝0时，x 1不一定是极值点．如f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点．(2)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．5．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的．函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．6．求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．四．课后作业设计1．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则Δy Δx 为 ( ) A ．Δx ＋1Δx ＋2 B ．Δx －1Δx －2 C ．Δx ＋2 D ．2＋Δx －1Δx2．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a =( )A ．64B ．32C ．16D ．83．若函数f (x )＝e x ＋a e －x 的导函数是奇函数，并且曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标是 ( )A ．－ln 22B ．－ln 2 C.ln 22D ．ln 2 4．已知函数f (x )＝2ln(3x )＋8x ，则0lim →∆x f (1－2Δx )－f (1)Δx 的值为 ( ) A ．10 B ．－10 C ．－20 D ．205．如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是 ( )A.⎝⎛⎭⎫14，12 B ．(1,2) C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(2,3) 6．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为 ( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝07．设f (x )，g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )、g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且f ′(x )·g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有 ( C )A ．f (x )g (b )>f (b )g (x )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )8.函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．若函数y ＝a (x 3－x )在区间⎝⎛⎭⎫－33，33上为减函数，则a 的取值范围是 ( )A ．a >0B ．－1<a <0C ．a >1D ．0<a <110．已知函数f (x )＝12x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m ≥32 B ．m >32 C ．m ≤32 D ．m <3211．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 ( )A.⎣⎡⎭⎫0，π4B.⎣⎡⎭⎫π4，π2C.⎝⎛⎦⎤π2，3π4D.⎣⎡⎭⎫3π4，π 12．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x 1，x 2 (x 1≠x 2)，|f (x 2)－f (x 1)|<|x 2－x 1|恒成立”的只有 ( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝|x |C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝x 2 13．已知函数f (x )的导函数f ′(x )的图象如右图所示，给出以下结论：①函数f (x )在(－2，－1)和(1,2)上是单调递增函数②函数f (x )在(－2,0)上是单调递增函数，在(0,2)上是单调递减函数；③函数f (x )在x ＝－1处取得极大值，在x ＝1处取得极小值；④函数f (x )在x ＝0处取得极大值f (0)．则正确命题的序号是②④．(填上所有正确命题的序号)．14．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围为 ．15．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)＝ 16．若点P 是曲线f (x )＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为17．设点P 是曲线y ＝x 33－x 2－3x －3上的一个动点，则以P 为切点的切线中，斜率取得最小值时的切线方程是18．已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )．(1)若函数f (x )的图象在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．19．已知a 为实数，且函数f (x )＝(x 2－4)(x －a )．(1)求导函数f ′(x )；(2)若f ′(－1)＝0，求函数f (x )在[－2,2]上的最大值、最小值．20．已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋nx －2的图象过点(－1，－6)，且函数g (x )＝f ′(x )＋6x 的图象关于y 轴对称．(1)求m ，n 的值及函数y ＝f (x )的单调区间；(2)若a >0，求函数y ＝f (x )在区间(a －1，a ＋1)内的极值．21.已知函数f (x )＝12(1＋x )2－ln(1＋x )．(1)求f (x )的单调区间；(2)若x ∈[1e－1，e －1]时，f (x )<m 恒成立，求m 的取值范围．。

函数与导数知识点小结

函数与导数知识点小结

函数与导数知识点小结函数与导数，这俩家伙在数学里可算是“明星组合”啦！从小学到高中，咱们一路都在和它们打交道。

先来说说函数，这就好比是一个神秘的魔法盒子。

你往里面输入一个数，它就能按照特定的规则给你输出另一个数。

比如说，一次函数 y ＝ 2x ＋ 1 ，你输入 x ＝ 1 ，它就能马上给你算出 y ＝ 3 。

记得我上高中那会，有一次数学老师在课堂上讲函数的图像。

他在黑板上画了一个抛物线 y ＝ x²，然后问我们：“同学们，你们看这个图像像不像一个张开怀抱的人？”大家都笑了，从那以后，每次看到抛物线的函数图像，我就会想起老师那个有趣的比喻。

函数的种类那可真是五花八门，像什么正比例函数、反比例函数、二次函数等等。

每种函数都有自己独特的性质和特点。

再讲讲导数，导数就像是函数的“侦探”，能帮我们了解函数变化的快慢。

比如说，一辆汽车在行驶，速度就是路程这个函数的导数。

我曾经给一个学生辅导数学，讲到导数的时候，他怎么都理解不了。

我就给他举了个例子：“你想想看，你爬山的时候，山坡越陡，是不是越难爬？导数就像是测量这个山坡陡峭程度的工具。

”这孩子一听，恍然大悟。

对于函数求导，那可是有一套规则的。

像常见的基本函数求导公式，一定要牢记于心。

比如说，（xⁿ)＇＝nxⁿ⁻¹。

导数的应用也非常广泛。

通过求导，我们可以找到函数的极值和最值。

比如一个工厂生产产品，要想利润最大，就得通过导数来找到最佳的生产数量。

函数和导数的关系那叫一个紧密。

导数可以帮助我们研究函数的单调性和凹凸性。

在做题的时候，要特别注意函数的定义域和值域，不然很容易出错。

还有求导的时候，要仔细运算，别马虎。

总之，函数与导数是数学中非常重要的内容，虽然有时候会让咱们感到头疼，但只要掌握了方法，多做练习，就一定能把它们拿下！就像攻克一座山峰，虽然过程艰难，但当你站在山顶俯瞰风景的时候，会觉得一切都是值得的。

加油吧，同学们！。

将导数与函数联系起来的方法

将导数与函数联系起来的方法

将导数与函数联系起来的方法
在研究数学中，导数是一个非常重要的概念，它是用来表示函数的变化率的。

导数可以帮助人们更好地理解函数的特性，并且可以用来解决很多实际问题。

首先，要理解导数，首先要了解关于函数的概念。

函数是一类特殊的数学关系，它表示一类特定的输出和输入之间的关系。

例如，一元函数可以用来表达输入x和输出y之间的关系，这种关系可以用函数表达式来表示，例如，y=f(x)。

其次，要了解导数的概念，我们要弄清楚它的定义。

导数可以定义为函数的变化率，也就是说，它可以表示函数的变化速度。

它可以用函数的导数表达式来表达，例如，f'(x)。

接下来，要将导数与函数联系起来，我们需要知道导数的几种应用。

首先，导数可以用来求函数的极值。

极值指的是函数的最大值或最小值，而导数可以用来表示函数的变化率，因此可以用来求函数的极值。

其次，导数可以用来求函数的单调性。

单调性指的是函数的增减性，它可以用函数的导数表达式来表示，如果函数的导数大于
0，则该函数是单调递增的，反之亦然。

最后，导数可以用来求函数的泰勒展开式。

泰勒展开式指的是函数可以用无穷多个项目表示，而且这些项目是依据函数的导数来进行递推得到的，这种方法可以用来求函数的近似值。

总之，导数是一个非常重要的概念，它可以用来表示函数的变化率，可以用来求函数的极值、单调性和泰勒展开式。

要将导数与函数联系起来，可以更好地理解函数的特性，从而帮助我们解决很多实际问题。

函数与导数

函数与导数


3．若函数 f ( x) a x x a, (a 0且a 1) 有两个零点，
数
1 3 f ( x) x ax b 2
在区间上有且仅有一个
零点的概率为
。
1 3 2 y x bx c （b、c为常数），当 6．已知函数 3
x=2时，函数f(x)取得极值，若函数f(x)只有三个零 点，则c的取值范围（ A．0 c 4 C．c 0
3
）
16．在区间上任意取两个实数a，b，则函 数
处
切线方程为 y 2 x 1 ,则 y f ( x) 在 (1, f (1)) 处切线 的斜率为______ 2．若函数
1 2 f ( x) x b ln( x 2) 在 2
(1, ) 上是减函数，
则b的取值范围为_______ A．[-1, +∞) C．(-∞,-1] 则a的取值范围 。 B．(-1, +∞) D．(-∞,-1)
请同学结合1、2、3题总结如何处理导数中切线的问题？
探究活动三:
10．函数
1 3 g ( x) x ax 2 x 3
Hale Waihona Puke 在上 1, 单调递增，则a的取值范围（ ）
A． a 1 B．a 1
C． a 1
D．a 1
请同学们结合恒成立求参的最值问题想一 想导数中还有什么与最值求参有关的问题？ 试总结这两类型问题的区别与联系！
函数与导数
临猗中学 陶建厂
探究活动一: 3．设函数f(x)是偶函数，若函数y=f(x)在 点（1，f(1)）处切线的斜率为1，则该曲线 在（－1，f(－1)）处切线的斜率（ ）
A． 1
C． 2