三角函数

三角函数 百科名片

角 θ的所有三角函数

三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。

目录 定义 起源 基本公式 相关概念 高等数学内容 三角函数的性质定理 三角函数在解三次方程中的应用 定义 起源 基本公式 相关概念 高等数学内容 三角函数的性质定理 三角函数在解三次方程中的应用 展开 编辑本段定义 锐角三角函数 在直角三角形ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，∠C为直角。则定义以下运算方式： sin ∠A=∠A的对边长/斜边长，sin A记为∠A的正弦；sinA＝a/c cos∠ A=∠A的邻边长/斜边长，cos A记为∠A的余弦；cosA＝b/c tan∠ A=∠A的对边长/∠A的邻边长， tanA＝sinA/cosA＝a/ b tan A记为∠A的正切； 当∠A为锐角时sin A、cos A、tan A统称为“锐角三角函数”。 sinA＝cosB sinB＝cosA

常见三角函数

在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为(x,y)。 在这个直角三角形中，y是θ的对边，x是θ的邻边，r是斜边，则可定义以下六种运算方法：

基本函数 英文 表达式 语言描述

正弦函数 Sine sin θ=y/r 角θ的对边比斜边 余弦函数 Cosine cos θ=x/r 角θ的邻边比斜边 正切函数 Tangent tan θ=y/x 角θ的对边比邻边 余切函数 Cotangent cot θ=x/y 角θ的邻边比对边 正割函数 Secant sec θ=r/x 角θ的斜边比邻边 余割函数 Cosecant csc θ=r/y 角θ的斜边比对边 在初高中教学中，主要研究正弦、余弦、正切三种函数。 注：tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。

sinπ/3 非常见三角函数 除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数，这些运算已趋于淘汰：

函数名 与常见函数转化关系

正矢函数 versinθ=1-cosθ 余矢函数 coversθ=1-sinθ 半正矢函数 haversθ=(1-cosθ)/2; 半余矢函数 hacoversθ=(1-sinθ)/2; 外正割函数 exsecθ=secθ-1 外余割函数 excscθ=cscθ-1 单位圆定义 六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 π/2 弧度之间的角。它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，

三角函数 单位圆的方程是：x^2+y^2=1 图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角 θ，并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于cosθ和sinθ。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sinθ = y/1 和 cosθ = x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。 对于大于 2π 或小于等于2π 的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数：对于任何角度 θ 和任何整数 k。 周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是 2π 弧度或 360°；正切或余切的基本周期是半圆，也就是 π 弧度或 180°。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数的定义如图所示。

其他四个三角函数的定义 在正切函数的图像中，在角 kπ 附近变化缓慢，而在接近角 (k + 1/2)π 的时候变化迅速。正切函数的图像在 θ = (k + 1/2)π 有垂直渐近线。这是因为在 θ 从左侧接进 (k + 1/2)π 的时候函数接近正无穷，而从右侧接近 (k + 1/2)π 的时候函数接近负无穷。 另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为 O 的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。特别

三角函数 是，对于这个圆的弦 AB，这里的 θ 是对向角的一半，sin θ 是 AC（半弦），这是印度的阿耶波多介入的定义。cosθ 是水平距离 OC，versin θ =1-cosθ 是CD。tanθ 是通过 A 的切线的线段 AE 的长度，所以这个函数才叫正切。cotθ 是另一个切线段 AF。 secθ =OE 和 cscθ =OF 是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作 OA 沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE 是 exsecθ = secθ-1（正割在圆外的部分）。通过这些构造，容易看出正割和正切函数在 θ 接近 π/2的时候发散，而余割和余切在 θ 接近零的时候发散。

三角函数线 依据单位圆定义， 我们可以做三个有向线段（向量）来表示正弦、余弦、正切的值。 如图所示，圆O是一个单位圆，P是α的终边与单位圆上的交点，M点是P在x轴的投影，S(1,0)是圆O与x轴正半轴的交点，过S点做圆O的切线l。 那么向量MP对应的就是α的正弦值，向量OM对应的就是余弦值。OP的延长线（或反向延长线）与l的交点为T，则向量ST对应的就是正切值。向量的起止点不能颠倒，因为其方向是有意义的。 借助线三角函数线，我们可以观察到第二象限角α的正弦值为正，余弦值为负，正切值为负。

编辑本段起源 “三角学”，英文Trigonometry，法文Trigonometrie，德文Trigonometrie，都来自拉丁文 Trigonometria。现代三角学一词最初见于希腊文。最先使用Trigonometry这个词的是皮蒂斯楚斯( Bartholomeo Pitiscus,1516-1613)，他在1595年出版一本著作《三角学:解三角学的简明处理》，创造了这个新词。它是由τριγωυου(三角学)及μετρει υ(测量)两字构成的，原意为三角形的测量，或者说解三角形。古希腊文里没有这个字，原因是当时三角学还没有形成一门独立的科学，而是依附于天文学。因此解三角形构成了古代三角学的实用基础。 早期的解三角形是因天文观测的需要而引起的。还在很早的时候，由于垦殖和畜牧的需要，人们就开始作长途迁移；后来，贸易的发展和求知的欲望，又推动他们去长途旅行。在当时，这种迁移和旅行是一种冒险的行动。人们穿越无边无际、荒无人烟的草地和原始森林，或者经水路沿着海岸线作长途航行，无论是那种方式，都首先要明确方向。那时，人们白天拿太阳作路标，夜里则以星星为指路灯。太阳和星星给长期跋山涉水的商队指出了正确的道路，也给那些沿着遥远的异域海岸航行的人指出了正确方向。 就这样，最初的以太阳和星星为目标的天文观测，以及为这种观测服务的原始的三角测量就应运而生了。因此可以说，三角学是紧密地同天文学相联系而迈出自己发展史的第一步的。

三角学问题的提出

三角函数 三角学理论的基础，是对三角形各元素之间相依关系的认识。一般认为，这一认识最早是由希腊天文学家获得的。当时，希腊天文学家为了正确地测量天体的位置。研究天体的运行轨道，力求把天文学发展成为一门以精确的观测和正确的计算为基础之具有定量分析的科学。他们给自己提出的第一个任务是解直角三角形，因为进行天文观测时，人与星球以及大地的位置关系，通常是以直角三角形边角之间的关系反映出来的。在很早以前，希腊天文学家从天文观测的经验中获得了这样一个认识：星球距地面的高度是可以通过人观测星球时所采用的角度来反映的(如图一)；角度(∠ABC) 越大，星球距地面(AC)就越高。然而，星球的高度与人观测的角度之间在数量上究竟怎么样呢？能不能把各种不同的角度所反映的星球的高度都一一算出来呢?这就是天文学向数学提出的第一个课题－制造弦表。所谓弦表，就是在保持AB不变的情况下可以供查阅的表 (如图二)，AC的长度与∠ABC的大小之间的对应关系。

独立三角学的产生 虽然后期的阿拉伯数学家已经开始对三角学进行专门的整理和研究，他们的工作也可以算作是使三角学从天文学中独立出来的表现，但是严格地说，他们并没有创立起一门独立的三角学。真正把三角学作为数学的一个独立学科加以系统叙述的，是德国数学家雷基奥蒙坦纳斯。 雷基奥蒙坦纳斯是十五世纪最有声望的德国数学家约翰²谬勒的笔名。他生于哥尼斯堡，年轻时就积极从事欧洲文艺复兴时期作品的收集和翻译工作，并热心出版古希腊和阿拉伯著作。因此对阿拉伯数学家们在三角方面的工作比较了解。

三角函数 1464年，他以雷基奥蒙坦纳斯的名字发表了《论各种三角形》。在书中，他把以往散见在各种书上的三角学知识，系统地综合了起来，成了三角学在数学上的一个分支。

现代三角学的确认 直到十八世纪，所有的三角量：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，都始终被认为是已知圆内与同一条弧有关的某些线段，即三角学是以几何的面貌表现出来的，这也可以说是三角学的古典面貌。三角学的现代特征，是把三角量看作为函数，即看作为是一种与角相对应的函数值。这方面的工作是由欧拉作出的。1748年，尤拉发表著名的《无穷小分析引论》一书，指出：”三角函数是一种函数线与圆半径的比值”。具体地说，任意一个角的三角函数，都可以认为是以这个角的顶点为圆心，以某定长为半径作圆，由角的一边与圆周的交点P向另一边作垂线PM后，所得的线段