. . . 2019年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A
＝{x
|x2
﹣2x
＜0}，B
＝{x
|2x
＞1}，则（）
A．A∩B＝?B．A∪B＝RC．B?AD．A?B
2．（5分）已知a为实数，若复数（a+i）（1﹣2i）为纯虚数，则a＝（）
A．﹣2 B．C．D．2
3．（5分）已知双曲线的一条渐近线过圆P
：（x
﹣2）2
+（y
+4）2
＝1的圆心，
则C的离心率为（）
A．B．C．D．3
4．（5分）刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，
所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，
如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O
，圆O
的半径为2，现随机向圆O
内段放a
粒豆子，其中有b
粒豆子落在正十二边形内（a
，b
∈N*
，b
＜a
），则圆固率的近似值为（）
A．B．C．D．
5．（5分）若等边三角形ABC
的边长为1，点M
满足，则＝（）
A．B．2 C．D．3
6．（5分）设S
n是等差数列{a
n}的前n
项和，若m
为大于1的正整数，且a
m﹣1﹣a
m2
+a
m+1＝1，
S
2m﹣1＝11，则m
＝（）
A．11 B．10 C．6 D．5
7．（5分）如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从
孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数
h＝f（t）的图象大致是（）
. . . A．B．
C．D．
8．（5分）（2﹣x3
）（x
+a
）5
的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4
的系数是（）
A．5 B．10 C．15 D．20
9．（5分）已知函数f
（x
）＝cos（ωx
+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在
上单调递减，则ω的最大值是（）
A．B．C．D．2
10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的
正方形，则该几何体的表面积为（）
A．B．7πC．D．8π
11．（5分）已知以F
为焦点的抛物线C
：y2
＝4x
上的两点A
，B
，满足，
则弦AB
的中点到C
的准线的距离的最大值是（）
A．2 B．C．D．4
. . . 12．（5分）已知函数，的图象上存在关于直线x＝1对称的不同两
点，则实数a
的取值范围是（）
A．（e2
﹣1，+∞）B．（e2
+1，+∞）C．（﹣∞，e2
﹣1）D．（﹣∞，e2
+1）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）设S
n是等比数列{a
n}的前n
项和，若S
3＝6，S
6＝54，则a
1＝．
14．（5分）若函数的图象在点（1，f
（1））处的切线过点（2，4），则a
＝．
15．（5分）已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点P（x
0，y
0），
满足x
0﹣2y
0＝2，则m
的取值范围是．
16．（5分）已知直四棱柱ABCD
﹣A
1B
1C
1D
1，的所有棱长都是1，∠ABC
＝60°，AC
∩BD
＝O
，
A
1C
1∩B
1D
1＝O
1，点H在线段OB
1上，OH＝3HB
1，点M是线段BD上的动点，则三棱锥M﹣C
1O
1H
的体积的最小值为．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：
共60分．
17．（12分）△ABC
的内角A
，B
，C
的对边分别为a
，b
，c
，已知c
cosB
＝（3a
﹣b
）cosC
．
（1）求sinC
的值；
（2）若，b﹣a＝2，求△ABC的面积．
18．（12分）如图，在三棱锥A
﹣BCD
中，△ABC
是等边三角形，∠BAD
＝∠BCD
＝90°，点P
是
AC的中点，连接BP，DP．
（1）证明：平面ACD
⊥平面BDP
；
（2）若BD
＝，且二面角A
﹣BD
﹣C
为120°，求直线AD
与平面BCD
所成角的正弦值．
19．（12分）某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分
. . . 期付款的期数ξ的分布列为
ξ2 3 4
P
0.4 ab
其中0＜a＜1，0＜b＜1
（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；
（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾
客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得
的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X
（单位：元）
（1）求X
的分布列；
（2）若P
（X
≤500）≥0.8，求X
的数学期望EX
的最大值．
20．（12分）已知椭圆的两个焦点和两个顶点在图O
：x2
+y2
＝1
上．
（1）求椭圆C的方程
（2）若点F
是C
的左焦点，过点P
（m
，0）（m
≥1）作圆O
的切线l
，l
交C
于A
，B
两点．求
△ABF
的面积的最大值．
21．（12分）已知函数f
（x
）＝e2x
﹣ax2
，a
∈R．
（1）若f
（x
）在（0，+∞）上单调递增，求a
的取值范围；
（2）若f（x）在（0，+∞）上存在极大值M，证明：．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的
第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在直角坐标系xOy
中，曲线C
1的参数方程为（t
为参数）．以坐标
原点为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C
2的极坐标方程为
（a
∈R）．
（1）写出曲线C
1的普通方程和直线C
2的直角坐标方程；
（2）若直线C
2与曲线C
1有两个不同交点，求a
的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣1|．. . . （1）当a
＝1时，求不等式f
（x
）＞0的解集；
（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，求a的取值范围．
. . . 2019年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{x|x2
﹣2x＜0}，B＝{x|2x
＞1}，则（）
A．A∩B＝?B．A∪B＝RC．B?AD．A?B
【考点】18：集合的包含关系判断及应用．
【专题】11：计算题；5J：集合．
【分析】首先化简集合，再求交集，并集即可．
【解答】解：集合A
＝{x
|x2
﹣2x
＜0}＝{x
|0＜x
＜2}，集合B
＝{x
|2x
＞1}＝{x
|x
＞0}，
A
、A
∩B
＝{x
|0＜x
＜2}，故本选项错误；
B
、A
∪B
＝{x
|x
＞0}，故本选项错误；
C
、A
?B
，故本选项错误；
D、A?B，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．（5分）已知a
为实数，若复数（a
+i
）（1﹣2i
）为纯虚数，则a
＝（）
A．﹣2 B．C．D．2
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】38：对应思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．
【解答】解：（a
+i
）（1﹣2i
）＝a
+2+（1﹣2a
）i
，
∵复数是纯虚数，
∴a
+2＝0且1﹣2a
≠0，
得a
＝﹣2且a
≠，
即a
＝﹣2，
故选：A
．
【点评】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是
