2020高考数学一轮复习第八章概率与统计考点测试53几何概型文解析版

2018年高考数学一轮复习 第八章 解析几何 第53讲 曲线与方程实战演练 理1．(2017·湖南模拟)曲线C 是平面内与两个定点F 1(－1,0)和F 2(1,0)的距离的积等于常数a 2(a >1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C 过坐标原点；②曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积不大于12a 2.其中，所有正确结论的序号是②③. 解析：设动点M (x ，y )到两定点F 1 ，F 2的距离的积等于a 2，得曲线C 的方程为x ＋2＋y 2·x －2＋y 2＝a 2. ∵a ＞1，故原点坐标不满足曲线C 的方程，故①错误．以－x ，－y 分别代替曲线C 的方程中的x ，y ，其方程不变，故曲线C 关于原点对称，即②正确．S △F 1PF 2＝12|PF 1|×|PF 2|×sin ∠F 1PF 2＝12a 2·sin∠F 1PF 2≤12a 2，故③正确． 2．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． 解析：由题设知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.(1)由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则 k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－ab a＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a ||DF |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得2×12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝0(舍去)，或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)． 而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.3．(2017·江西模拟)定长为3的线段AB 两端点A ，B 分别在x 轴，y 轴上滑动，M 在线段AB 上，且A M →＝2MB →.(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)设过F (0，3)且不垂直于坐标轴的动直线l 交轨迹C 于G ，H 两点，问：线段OF 上是否存在一点D ，使得以DG ，DH 为邻边的平行四边形为菱形？作出判断并证明．解析：(1)设A (x 1,0)，B (0，y 1)，M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 11＋2，y ＝2y 11＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝3x ，y 1＝32y .|AB |＝3＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32y 2，即y 24＋x 2＝1. (2)存在满足条件的点D .设满足条件的点D (0，m )，则0≤m ≤ 3.设l 的方程为y ＝kx ＋3(k ≠0)，代入轨迹方程，得(k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0.设G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－23k k 2＋4， ∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋23＝83k 2＋4. ∵以DG ，DH 为邻边的平行四边形为菱形，∴(D G →＋D H →)⊥G H →.∵D G →＋D H →＝(x 1，y 1－m )＋(x 2，y 2－m ) ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2－2m )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23k k 2＋4，83k 2＋4－2m ， 设G H →的方向向量为(1，k )，∵(D G →＋D H →)·G H →＝0，∴－23k k 2＋4＋83k k 2＋4－2mk ＝0，即m ＝33k 2＋4. ∵k 2>0，∴m ＝33k 2＋4<334<3， ∴0<m < 3.∴存在满足条件的点D .4．(2016·全国卷Ⅰ)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．解析：(1)因为||AD ＝||AC ，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ．所以||EB ＝||ED ，故||EA ＋||EB ＝||EA ＋||ED ＝||AD .又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而||AD ＝4，所以||EA ＋||EB ＝4. 由题设得A (－1,0)，B (1,0)，||AB ＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y 23＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3， 所以||MN ＝1＋k 2||x 1－x 2＝k 2＋4k 2＋3. 过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k (x －1)，点A 到直线m 的距离为2k 2＋1，所以||PQ ＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1， 故四边形MPNQ 的面积S ＝12||MN ||PQ ＝121＋14k 2＋3， 当l 与x 轴不垂直时，故四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)；当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，||MN ＝3，||PQ ＝8，故四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)．。

§8.3 平面的基本性质与推论1．平面的基本性质及推论 (1)平面的基本性质基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内． 基本性质2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线． (2)平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：既不平行又不相交的直线(2)判断两直线异面：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线． 3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．概念方法微思考分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？提示不一定．因为异面直线不同在任何一个平面内．分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(√)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(×)(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×)(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．(√)(5)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)(6)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．(×)题组二教材改编2．如图所示，在正方体ABCD—A 1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C解析连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C 为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.3．如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．答案(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD解析(1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.(2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∵EF ∥AC ，EH ∥BD ，且EF ＝12AC ，EH ＝12BD ，∴AC ＝BD 且AC ⊥BD . 题组三 易错自纠4．α是一个平面，m ，n 是两条直线，A 是一个点，若m ⊄α，n ⊂α，且A ∈m ，A ∈α，则m ，n 的位置关系不可能是( ) A ．垂直 B ．相交 C ．异面 D ．平行答案 D解析 依题意，m ∩α＝A ，n ⊂α，∴m 与n 可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．5.如图，α∩β＝l ，A ，B ∈α，C ∈β，且C ∉l ，直线AB ∩l ＝M ，过A ，B ，C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A ．点AB ．点BC ．点C 但不过点MD ．点C 和点M 答案 D解析 ∵AB ⊂γ，M ∈AB ，∴M ∈γ. 又α∩β＝l ，M ∈l ，∴M ∈β.根据公理3可知，M 在γ与β的交线上． 同理可知，点C 也在γ与β的交线上．6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面的对数为______．答案 3解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB ，CD ，EF 和GH 在原正方体中，显然AB 与CD ，EF 与GH ，AB 与GH 都是异面直线，而AB 与EF 相交，CD 与GH 相交，CD 与EF 平行．故互为异面的直线有且只有3对．题型一平面基本性质的应用例1 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示．则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②证两平面重合．(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．证明(1)∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD.∵在△BCD中，BGGC＝DHHC＝12，∴GH∥BD，∴EF∥GH.∴E，F，G，H四点共面．(2)∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P为平面ABC与平面ADC的公共点．又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三点共线．题型二判断空间两直线的位置关系例2 (1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交答案 D解析由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．故选D.(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2F A，则EF与BD1的位置关系是()A．相交但不垂直B．相交且垂直C．异面D ．平行 答案 D解析 连接D 1E 并延长，与AD 交于点M ，由A 1E ＝2ED ，可得M 为AD 的中点，连接BF 并延长，交AD 于点N ，因为CF ＝2F A ，可得N 为AD 的中点，所以M ，N 重合，所以EF 和BD 1共面，且ME ED 1＝12，MF BF ＝12，所以ME ED 1＝MFBF，所以EF ∥BD 1.思维升华 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．异面直线可采用直接法或反证法；平行直线可利用三角形(梯形)中位线的性质及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决．跟踪训练2 (1)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交，故选A.(2)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上) 答案 ③④解析 因为点A 在平面CDD 1C 1外，点M 在平面CDD 1C 1内，直线CC 1在平面CDD 1C 1内，CC 1不过点M ，所以AM 与CC 1是异面直线，故①错；取DD 1中点E ，连接AE ，则BN ∥AE ，但AE 与AM 相交，故②错；因为B 1与BN 都在平面BCC 1B 1内，M 在平面BCC 1B 1外，BN 不过点B 1，所以BN 与MB 1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④. 题型三 求两条异面直线所成的角例3 (2019·盘锦模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25 C.35 D.45答案 D解析 连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，易得A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212×A 1B ×BC 1＝45，即异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.引申探究将上例条件“AA 1＝2AB ＝2”改为“AB ＝1，若异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为910”，试求AA 1AB的值． 解 设AA 1AB ＝t (t >0)，则AA 1＝tAB .∵AB ＝1，∴AA 1＝t .∵A 1C 1＝2，A 1B ＝t 2＋1＝BC 1，∴cos ∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212×A 1B ×BC 1＝t 2＋1＋t 2＋1－22×t 2＋1×t 2＋1＝910.∴t ＝3，即AA 1AB＝3.思维升华 用平移法求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角； (3)三求：解三角形，求出所作的角．跟踪训练3 (2018·全国Ⅱ)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( ) A.22 B.32 C.52 D.72答案 C解析 如图，因为AB ∥CD ， 所以AE 与CD 所成角为∠EAB .在Rt △ABE 中，设AB ＝2， 则BE ＝5，则tan ∠EAB ＝BE AB ＝52，所以异面直线AE 与CD 所成角的正切值为52.立体几何中的线面位置关系直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题．例 如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥F A 且BE ＝12F A ，G ，H 分别为F A ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？ (1)证明 由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ， 可得GH ∥AD 且GH ＝12AD .又BC ∥AD 且BC ＝12AD ，∴GH ∥BC 且GH ＝BC ， ∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解 ∵BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G 为F A 的中点，∴BE ∥FG 且BE ＝FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG ∥CH .∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面． 又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．素养提升 平面几何和立体几何在点线面的位置关系中有很多的不同，借助确定的几何模型，利用直观想象讨论点线面关系在平面和空间中的差异．1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1答案 A解析 首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面． 2．a ，b ，c 是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是( ) A ．若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面 B ．若直线a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交 C ．若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等 D ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c 答案 C解析 若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 相交、平行或异面；若a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交、平行或异面；若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ，c 相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C 正确．故选C.3.如图所示，平面α∩平面β＝l ，A ∈α，B ∈α，AB ∩l ＝D ，C ∈β，C ∉l ，则平面ABC 与平面β的交线是( )A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BC答案 C解析由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.4.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面答案 A解析连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．∴A，M，O三点共线．5．(2017·全国Ⅱ)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( ) A.32 B.155 C.105 D.33答案 C解析 将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形为直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图①所示，连接AD 1，B 1D 1，BD .图①由题意知∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1， 所以AD 1＝BC 1＝2，AB 1＝5，∠DAB ＝60°.在△ABD 中，由余弦定理知BD 2＝AB 2＋AD 2－2×AB ×AD ×cos ∠DAB ＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3，所以BD ＝3，所以B 1D 1＝ 3.又AB 1与AD 1所成的角即为AB 1与BC 1所成的角θ，所以cos θ＝AB 21＋AD 21－B 1D 212×AB 1×AD 1＝5＋2－32×5×2＝105.故选C.6．正方体AC 1中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有________条． 答案 6解析 如图，在正方体AC 1中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有BB 1，DD 1，A 1B 1，A 1D 1，D 1C 1，B 1C 1，共6条．7．(2019·东北三省三校模拟)若直线l ⊥平面β，平面α⊥平面β，则直线l 与平面α的位置关系为________． 答案 l ∥α或l ⊂α解析 ∵直线l ⊥平面β，平面α⊥平面β， ∴直线l ∥平面α，或者直线l ⊂平面α.8．在三棱锥S －ABC 中，G 1，G 2分别是△SAB 和△SAC 的重心，则直线G 1G 2与BC 的位置关系是________． 答案 平行解析 如图所示，连接SG 1并延长交AB 于M ，连接SG 2并延长交AC 于N ，连接MN .由题意知SM 为△SAB 的中线，且SG 1＝23SM ，SN 为△SAC 的中线，且SG 2＝23SN ，∴在△SMN 中，SG 1SM ＝SG 2SN ，∴G 1G 2∥MN ，易知MN 是△ABC 的中位线，∴MN ∥BC ， ∴G 1G 2∥BC .9.如图，已知圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，C 是圆柱下底面弧AB 的中点，C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，那么异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为________．答案2解析 取圆柱下底面弧AB 的另一中点D ，连接C 1D ，AD ，因为C 是圆柱下底面弧AB 的中点，所以AD ∥BC ，所以直线AC 1与AD 所成的角即为异面直线AC 1与BC 所成的角，因为C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，所以C 1D 垂直于圆柱下底面，所以C 1D ⊥AD . 因为圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形， 所以C 1D ＝2AD ，所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为2， 所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为 2.10.如图是正四面体的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别为DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案②③④解析还原成正四面体A－DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合．易知GH与EF异面，BD与MN异面．连接GM，∵△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角，易证DE⊥AF，又MN∥AF，∴MN⊥DE.因此正确命题的序号是②③④.11.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．(1)证明假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．(2)解取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝12AC ，求得∠FEG ＝45°， 即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.12.如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，P A ＝2.求：(1)三棱锥P －ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解 (1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P －ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·P A ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2， cos ∠ADE ＝AD 2＋DE 2－AE 22×AD ×DE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.13．平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( ) A.32 B.22 C.33 D.13答案 A解析 如图所示，设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m 1，∵α∥平面CB 1D 1，则m 1∥m ， 又∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1， 平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，∴B 1D 1∥m 1， ∴B 1D 1∥m ，同理可得CD 1∥n .故m ，n 所成角的大小与B 1D 1，CD 1所成角的大小相等，即∠CD 1B 1的大小． 又∵B 1C ＝B 1D 1＝CD 1(均为面对角线)， ∴∠CD 1B 1＝π3，得sin ∠CD 1B 1＝32，故选A. 14.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°；③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD . 以上四个命题中，正确命题的序号是________． 答案 ①③解析 如图，①AB ⊥EF ，正确；②显然AB ∥CM ，所以不正确；③EF 与MN 是异面直线，所以正确；④MN 与CD 异面，并且垂直，所以不正确，则正确的是①③.15.如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为________．答案36解析 取DE 的中点H ，连接HF ，GH .由题设，HF ∥AD 且HF ＝12AD ，∴∠GFH 为异面直线AD 与GF 所成的角(或其补角)． 在△GHF 中，可求HF ＝22， GF ＝GH ＝26，∴cos ∠GFH ＝HF 2＋GF 2－GH 22×HF ×GF＝(22)2＋(26)2－(26)22×22×26＝36.16.如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2.(1)当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?(2)若BM ∥平面AEF ，判断BM 与EF 的位置关系，说明理由；并求BM 与EF 所成的角的余弦值． 解 (1)方法一 如图所示，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M .因为EC ⊥AC ，OM ，EC ⊂平面ACC 1A 1， 所以OM ∥EC .又因为EC ＝2FB ＝2，EC ∥FB ， 所以OM ∥FB 且OM ＝12EC ＝FB ，所以四边形OMBF 为矩形，BM ∥OF . 因为OF ⊂平面AEF ，BM ⊄平面AEF ， 故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．方法二 如图所示，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ ，PB ，BQ .因为EC ＝2FB ＝2， 所以PE ∥BF 且PE ＝BF ， 所以PB ∥EF ，PQ ∥AE ，又AE ，EF ⊂平面AEF ，PQ ，PB ⊄平面AEF ， 所以PQ ∥平面AFE ，PB ∥平面AEF ， 因为PB ∩PQ ＝P ，PB ，PQ ⊂平面PBQ ， 所以平面PBQ ∥平面AEF . 又因为BQ ⊂平面PBQ ， 所以BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．(2)由(1)知，BM 与EF 异面，∠OFE (或∠MBP )就是异面直线BM 与EF 所成的角或其补角． 易求AF ＝EF ＝5，MB ＝OF ＝3，OF ⊥AE ， 所以cos ∠OFE ＝OF EF ＝35＝155，所以BM 与EF 所成的角的余弦值为155.。

教学资料范本2020高考数学一轮复习第8章立体几何章末总结分层演练文-精装版编辑：__________________时间：__________________【精选】20xx最新高考数学一轮复习第8章立体几何章末总结分层演练文章末总结知识点考纲展示空间几何体的结构及三视图和直观图❶认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．❷能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图．❸会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．❹会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不做严格要求)空间几何体的表面积与体积了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式空间点、直线、平面之间的位置关系❶理解空间直线、平面位置关系的定义．❷了解可以作为推理依据的公理和定理．❸能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．空间中的平行关系以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理空间中的垂直关系以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理一、点在纲上，源在本里考点考题考源空间几何体的表面积与体积(20xx·高考全国卷Ⅱ，T6，5分)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A．20π B．24π C．28π D．32π必修2 P18例3空间线面位置关系的判定(20xx·高考全国卷Ⅱ，T14，5分)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)必修2 P71练习T2、P62A组T4、P65例1、P67练习T3空间几何体与球的表面积(20xx·高考全国卷Ⅱ，T4，5分)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A．12π B．323π C．8π D．4π必修2 P28练习T2(20xx·高考全国卷Ⅱ，T15，5分)长方体的长、宽、高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为________．空间几何体与球的体积(20xx·高考全国卷Ⅲ，T9，5分)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )必修2 P27例4A．π B．3π4C．π2D．π4空间图形位置关系的证明与体积、面积的计算(20xx·高考全国卷Ⅰ，T18，12分)如图，已知正三棱锥P­ABC的侧面是直角三角形，PA＝6．顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．(1)证明：G是AB的中点；(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积．必修2 P74B组 T2，T4空间图形位置关系的证明与空间角的计算(20xx·高考全国卷Ⅰ，T18，12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P­ABCD的体积为83，求该四棱锥的侧面积．必修2 P73A组 T3、P78A组T7二、根置教材，考在变中一、选择题1．(必修2 P10B组T1改编)如图，若Ω是长方体ABCD­A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是( )A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台解析：选D．因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，EH⊄平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1．又因为平面EFGH∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，且EH＝FG，由长方体的特征知四边形EFGH为矩形，Ω为五棱柱，所以选项A，B，C都正确．故选D．2．(必修2 P61练习、P71练习T2、P73练习T1改编)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m ∥n解析：选D．A中，两直线可能平行，相交或异面；B中，两平面可能平行或相交；C中，两平面可能平行或相交；D中，由线面垂直的性质定理可知结论正确，故选D．3．(必修2 P78A组T7改编)正四棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为( )A．25πB．πC．πD．π解析：选C．由三视图画出直观图与其外接球示意图，且设O1是底面中心．由三视图知，O1A＝，O1P＝，所以正四棱锥P­ABCD的外接球的球心O在线段O1P上．设球O的半径为R．由O1O2＋O1A2＝OA2得(－R)2＋()2＝R2．所以R＝．则外接球的表面积为S＝4πR2＝4π·＝π．4．(必修2 P79 B组 T2改编)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，B1D∩平面A1BC1＝H．有下列结论．①B1D⊥平面A1BC1；②平面A1BC1将正方体体积分成1∶5两部分；③H是B1D的中点；④平面A1BC1与正方体的六个面所成的二面角的余弦值都为．则正确结论的个数有( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选C．对于①，连接B1C与A1D，由正方体性质知，BC1⊥B1C，BC1⊥A1B1，又A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C⊂平面A1B1CD．所以BC1⊥平面A1B1CD．又B1D⊂平面A1B1CD．所以B1D⊥BC1．同理B1D⊥A1B，A1B∩BC1＝B．所以B1D⊥平面A1BC1，故①正确．对于②．设正方体棱长为a．则V三棱锥B­A1B1C1＝·a·a·a＝a3．所以平面A1BC1将正方体分成两部分的体积之比为a3∶(a3－a3)＝1∶5．故②正确．对于③，设正方体棱长为a ， 则A1B ＝a ．由VB1­A1BC1＝a3， 得××(a)2·B1H＝a3， 所以B1H ＝a ，而B1D ＝a ． 所以B1H∶HD＝1∶2，即③错误．对于④，由对称性知，平面A1BC1与正方体六个面所成的二面角的大小都相等．由①知B1H⊥平面A1BC1，而A1B1⊥平面B1BCC1． 所以∠A1B1H 的大小即为所成二面角的大小． cos ∠A1B1H ＝＝＝．故④正确．故选C ． 二、填空题5．(必修2 P53 B 组 T2改编)已知三棱柱ABC ­A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，点A1在底面ABC 上的射影D 为BC 的中点，则异面直线AB 与CC1所成的角的余弦值为________．解析：连接A1D ，AD ，A1B ，易知∠A1AB 为异面直线AB 和CC1所成的角，设三棱柱的侧棱长与底面边长均为1，则AD ＝，A1D ＝，A1B ＝，由余弦定理得cos∠A1AB＝＝．答案：346．(必修2 P79 B 组 T1改编)如图在直角梯形ABCD 中，BC⊥DC，AE⊥DC，M ，N 分别是AD ，BE 的中点，将△ADE 沿AE 折起．则下列说法正确的是________．(填上所有正确说法的序号)①不论D 折至何位置(不在平面ABC 内)都有MN ∥平面DEC ；②不论D折至何位置都有MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD；⑤无论D折至何位置，都有AE⊥DC．解析：如图，设Q，P分别为CE，DE的中点，可得四边形MNQP是矩形，所以①②正确；不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN与AB是异面直线，不可能MN∥AB，所以③错；当平面ADE⊥平面ABCD时，可得EC⊥平面ADE，故EC⊥AD，④正确．无论D折到何位置，均有AE⊥平面CDE．故AE⊥CD．故⑤正确．答案：①②④⑤三、解答题7．(必修2 P79B组T1改编)如图，边长为3的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′．(1)求证：A′D⊥EF．(2)当BE＝BF＝BC时，求三棱锥A′­EFD的体积．解：(1)证明：因为A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，A′E∩A′F＝A′，所以A′D⊥平面A′EF，因为EF⊂平面A′EF，所以A′D⊥EF．(2)由(1)知，A′D⊥平面A′EF，所以A′D的长即为三棱锥D­A′EF的高，则A′E＝A′F＝BC＝2，EF＝＝，作A′O⊥EF于点O，所以A′O＝＝，则VA′­EFD＝VD­A′EF＝A′D·S△A′EF＝×3×EF·A′O＝×3×××＝．8．(必修2 P78 A组T4改编)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E、F、M分别是C1B1，C1D1和AB的中点．(1)求证：MD1∥平面BEFD．(2)求M到平面BEFD的距离．解：(1)证明：连接BF．因为M、F分别为AB与C1D1的中点，且ABCD­A1B1C1D1是正方体．所以MBD1F．所以四边形MBFD1为平行四边形，所以MD1∥BF．又MD1⊄平面BEFD，BF⊂平面BEFD．所以MD1∥平面BEFD．(2)过E作EG⊥BD于G．因为正方体的棱长为2，所以BE＝，BG＝(BD－EF)＝(2－)＝．所以EG＝＝＝．所以S△EBD＝BD×EG＝×2×＝3．又S△MBD＝MB×AD＝×1×2＝1．E到平面ABCD的距离为2，设M到平面BEFD的距离为d．由V三棱锥M­BDE＝V三棱锥E­MBD得S△EBD·d＝S△MBD×2．所以d＝＝＝．所以M到平面BED的距离为．。

姓名，年级：时间：［基础保分练]1．已知异面直线a,b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( )A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a,b都平行2．已知a，b,c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c.①若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直;③若a∥b，则必有a∥c；④若a⊥b，a⊥c，则必有α⊥β.其中正确的命题的个数是（)A．0 B．1 C．2 D．33．已知E，F，G,H是空间内四个点，条件p：E，F，G，H四点不共面，条件q：直线EF和GH不相交．则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.如图，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是BD的中点，直线AC1与平面A1BD相交于点M，则下列结论正确的是( ）A．A1，M，O三点共线B．A，O，M，A1不共面C．A1，M，C1，O不共面D．B1，B，O，M共面5.如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ,H 分别是边AB ,AD 的中点，点F ,G 分别是边BC ，CD 上的点，且错误!＝错误!＝错误!，则下列说法正确的是（ ）A ．EF 与GH 平行B ．EF 与GH 异面C ．EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上D ．EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上6．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( ）A 。

23B.错误!C.错误!D.错误!7.如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，且PQ ∥AC ，QM ∥BD ，则下列命题中，错误的是（ )A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMN C ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°8．(2016·上海)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BC ，BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是( )A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1D ．直线B 1C 19．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有________条．10．给出下列四个说法:①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确说法的是________．（填序号)[能力提升练]1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1，CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF，CD都相交的直线( ）A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P,Q，R分别是AB,AD，B1C1的中点，那么过P，Q，R的平面被正方体所截得的图形是（)A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形3．设四面体的六条棱的长分别为1，1,1，1，错误!和a，且长为a的棱与长为错误!的棱异面,则a的取值范围是（)A．（0，错误!) B．（0，错误!) C．(1，错误!） D．(1，错误!)4．如图是正方体或四面体，P,Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是( ）5．如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n,那么m＋n＝________.6。