方程(组)及解的有关概念

浙教版七年级数学

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点拨策略思路，侧重策略指导，拓宽眼界思路☆ 专题02 二元一次方程组及其解法

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重难突破

知识点一 有关概念及应用

1.二元一次方程

含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。

使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的解。

2.二元一次方程组

由两个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。

同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解。

【典例1】（2019春•诸暨市期末）下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）

A．x+xy＝8 B．y＝x﹣1 C．x+＝2 D．x2﹣2x+1＝0

【点拨】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别．

【解析】解：A、含有两个未知数，但是含有未知数的项的最高次数是2，故本选项错误；

B、符合二元一次方程定义，是二元一次方程，故本选项正确；

C、不是整式方程，故本选项错误；

D、x含有一个未知数，不是二元一次方程，故本选项错误．

故选：B．

【点睛】此题考查二元一次方程定义，关键是根据二元一次方程必须符合以下三个条件：

（1）方程中只含有2个未知数；

（2）含未知数项的最高次数为一次；

（3）方程是整式方程．

【变式训练】

1．（2019春•余姚市校级月考）若方程x|a|﹣1+（a﹣2）y＝3是二元一次方程，则a的值为 ﹣2 ． 【点拨】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面确定a的取值．

【解析】解：根据二元一次方程的定义，得

|a|﹣1＝1且a﹣2≠0，

解得a＝﹣2．

故答案是：﹣2．

【点睛】本题考查二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：

（1）方程中只含有2个未知数；

（2）含未知数项的最高次数为一次；

(word完整版)二元一次方程组的概念和解法-教师版

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二元一次方程的基本概念

1。含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程。

判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件：

①方程两边的代数式都是整式——整式方程；

②含有两个未知数——“二元”;

③含有未知数的项的次数为1——“一次”。

2。二元一次方程的一般形式：0axbyc(0a，0b)

3。二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

一般情况下，一个二元一次方程有无数个解。

【例1】 下列各式是二元一次方程的是( ）

A。30xyz B。30xyyx

C。12023xy D。210yx

【解析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别．

【答案】故本题选C．

【巩固】下列方程是二元一次方程的是（ ）

A.31xxy B。2430xx C.23y D.3xy

【答案】D．

【例2】 若32125mnxy是二元一次方程，则求m、n的值.

【答案】由定义知：321m,11n，所以：1m，2n.

【巩固】已知方程11(2)2mnmxym是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值。

【答案】根据题意可得：20m,11n，11m，所以2n，0m.

二元一次方程组的概念和解法

同步练习 知识讲解 (word完整版)二元一次方程组的概念和解法-教师版

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【例3】 若32125mnxy是二元一次方程，则求m、n的值。

【答案】由定义知：321m，11n，所以:1m，2n。

【巩固】已知方程11(2)2mnmxym是关于x、y的二元一次方程,求m、n的值。

《二元一次方程组及其解法》 知识清单

一、二元一次方程组的概念

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程。

把两个具有相同未知数的二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

例如：

＼

＼begin{cases}

x ＋ y ＝ 5 ＼＼

2x y ＝ 1

＼end{cases}

＼

二、二元一次方程组的解

一般地，使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 比如，上面这个方程组的解是\（x ＝ 2\），＼（y ＝ 3\），因为把\（x ＝ 2\），＼（y ＝ 3\）代入方程组中的两个方程，等式都成立。

三、二元一次方程组的解法

1、 代入消元法

（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数。

例如，对于方程组\（

＼begin{cases}

x ＋ y ＝ 5 ＼＼

2x y ＝ 1

＼end{cases}

＼），由方程\（x ＋ y ＝ 5\）可得\（x ＝ 5 y\）。

（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数。

把\（x ＝ 5 y\）代入\（2x y ＝ 1\），得到：

＼

＼begin{align}

2(5 y) y ＆＝ 1 ＼＼

10 2y y ＆＝ 1 ＼＼ 10 3y ＆＝ 1 ＼＼

－3y ＆＝ 1 10 ＼＼

－3y ＆＝ －9 ＼＼

y ＆＝ 3

＼end{align}

＼

（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值。

（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解。

把\（y ＝ 3\）代入\（x ＝ 5 y\），得到\（x ＝ 5 3 ＝ 2\），所以方程组的解是\（x ＝ 2\），＼（y ＝ 3\）。

2、 加减消元法

（1）当方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。

1 二元一次方程（组）概念与解法

知识点1：

二元一次方程的定义：

含有________未知数，并且含有未知数的项的次数都是________的方程，叫做二元一次方程。

注：①方程两边的代数式都是整式——“整式方程”；

②含有两个未知数——“二元”；

③含有未知数的项的次数为1——“一次”。

练一练：下列方程是不是二元一次方程.

221xy（ ） 02x（ ） 2222yx（ ） 12xy（ ）

1xyx（ ）323yyxy（ ）xyx12（ ）

例1、已知4523253nmyx是二元一次方程，则m=_______,n=_________.

知识点2：

二元一次方程的解：

使二元一次方程等号两边_______的两个未知数的值叫做二元一次方程的解。

注：①对于二元一次方程x+y=2

单独的x=1不是x+y=2的解

只有x=1和y=1同时成立，才是方程的解

大括号联立写成11yx的形式

②一般情况下，一个二元一次方程有_________个解。

练一练：

已知11yx是方程2yax的解，求a的值。

例2、（1）已知1-1yx是关于x、y的方程32ayx的一组解，那么a的值为（ ）

A.1 B.3 C.-3 D.-1

（2）已知二元一次方程3x+2y=10.①写出方程的三个解；②求出该方程的正整数解。

2 练2-1、（1）已知13-yx是关于x、y的方程0)2(yaax的一组解，那么a的值为__________________.

（3）二元一次方程3x+5y=16的正整数解为_______________.

练2-2、（1）已知1-2yx是关于x、y的方程04yax的一组解，那么a的值为_______________________.