高中数学 第二章 基本初等函数(I)2.3 幂函数学案2(无答案)新人教版必修1

第二章 基本初等函数

1 / 1 第1讲 § 2.1.1 指数与指数幂的运算

¤学习目标：理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算.

¤知识要点：

1. 若nxa，则x叫做a的n次方根，记为na，其中n>1，且nN. n次方根具有如下性质：

（1）在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，负数的偶次方根没有意义；零的任何次方根都是零.

（2）n次方根（*1,nnN且）有如下恒等式：

()nnaa；,||,nnanaan为奇数为偶数；npnmpmaa，（a0）.

2. 规定正数的分数指数幂：mnmnaa （0,,,1amnNn且）； 11mnmnmnaaa.

¤例题精讲：

【例1】求下列各式的值：

（1）3nn（）（*1,nnN且）； （2）2()xy.

解：

【例2】已知221na，求33nnnnaaaa的值.

解：

【例3】化简：（1）211511336622(2)(6)(3)ababab； （2）3322114423()ababbaba（a＞0，b＞0）； （3）243819.

解：

点评：根式化分数指数幂时，切记不能混淆，注意将根指数化为分母，幂指数化为分子，根号的嵌套，化为幂的幂. 正确转化和运用幂的运算性质，是复杂根式化简的关键.

【例4】化简与求值：

（1）642642； （2）11111335572121nn.

解：

点评：形如AB的双重根式，当2AB是一个平方数时，则能通过配方法去掉双重根号，这也是双重根号能否开方的判别技巧。而分母有理化中，常常用到的是平方差公式，第2小题也体现了一种消去法的思想。第（1）小题还可用平方法，即先算得原式的平方，再开方而得。

幂函数

【学习目标】

1．理解幂函数的概念，会画函数xy，2xy，3xy，1xy，21xy的图象。

2．了解幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质，并能进行简单的应用。

【学习重难点】

1．学习重点：幂函数在第一象限的图象与性质及研究幂函数的一般方法.

2．学习难点：对幂函数图象的共性的归纳是本节课的难点.

【学习过程】

一、创设情景，引入新课

问题1：如果张红购买了每千克1元的水果w千克，那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？

问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积2aS，这里S是a的函数。

问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积3aV,这里V是a的函数。

问题4：如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长21Sa,这里a是S的函数

问题5：如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的速度s/kmtV1，这里v是t的函数。

以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？（从自变量和常数的角度考虑）

这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？

二、新课讲解

1．幂函数的概念

如果设变量为x,函数值为y，你能根据以上的生活实例得到怎样的一些具体的函数式？

这里所得到的函数是幂函数的几个典型代表，你能根据此归纳出幂函数的定义吗？

幂函数的定义：

探究一、幂函数与指数函数有什么区别？

试一试：判断下列函数那些是幂函数？

（1）x2.0y （2）51xy （3）3xy （4）2xy

我们已经对幂函数的概念有了比较深刻的认识，根据我们前面学习指数函数、对数函数的学习经历，你认为我们下面应该研究什么呢？ 2．几个常见幂函数的图象和性质

在初中我们已经学习了幂函数12xy,xy,xy的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。

指数与指数幂的运算(3)

导入新课

思路1.

同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数,又从整数推广到正分数到负分数,这样指数就推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢?回顾数的扩充过程,自然数到整数,整数到分数(有理数),有理数到实数.并且知道,在有理数到实数的扩充过程中,增添的数是——实数.对无理数指数幂,也是这样扩充而来.既然如此,我们这节课的主要内容是:教师板书本堂课的课题(指数与指数幂的运算(3))之无理数指数幂.

思路2.

同学们,在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的了解,到了高中,我们又对函数的概念进行了进一步的学习,有了更深的理解,我们仅仅学了几种简单的函数,如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要,随着科学的发展,社会的进步,我们还要学习许多函数,其中就有指数函数,为了学习指数函数的知识,我们必须学习实数指数幂的运算性质,为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂,因此我们本节课学习:指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂,教师板书本堂课的课题.

推进新课

新知探究

提出问题

①我们知道2=1.414 213 56…,那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…,是2的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,是2的什么近似值？

②多媒体显示以下图表:同学们从上面的两个表中,能发现什么样的规律?

2的过剩近似值5 52的近似值

1.5 11.18033989

1.42 9.82935328

1.415 9.750851808

1.4143 9.73987262

1.41422 9.738618643

1.414214 9.738524602

1.4142136 9.738518332

1.41421357 9.738517862

1.414213563 9.73817752

§2.2 对数函数

2.2.1 对数与对数运算

第1课时 对 数

学习目标 1.理解对数的概念、掌握对数的性质(重、难点).2.掌握指数式与对数式的互化，能应用对数的定义和性质解方程(重点)．

预习教材P62－P63，完成下面问题：

知识点1 对 数

1．对数

(1)指数式与对数式的互化及有关概念：

(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.

2．常用对数与自然对数

【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.( )

(2)对数式log32与log23的意义一样．( )

(3)对数的运算实质是求幂指数．( )

提示 (1)× 因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以(1)错；

(2)× log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以(2)错；

(3)√ 由对数的定义可知(3)正确．

知识点2 对数的基本性质

(1)负数和零没有对数． (2)loga1＝0(a>0，且a≠1)．

(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)．

【预习评价】

若log32x－33＝1，则x＝________；若log3(2x－1)＝0，则x＝________.

解析 若log32x－33＝1，则2x－33＝3，即2x－3＝9，x＝6；若log3(2x－1)＝0，则2x－1＝1，即x＝1.

答案 6

1

题型一 对数的定义

【例1】 (1)在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，实数x的取值范围是________．

(2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．

①54＝625；②log216＝4；③10－2＝0.01；④log5125＝6.

(1)解析 由题意可知 4－x>0，x－2>0，x－2≠1，解得2

答案 (2,3)∪(3,4)

(2)解 ①由54＝625，得log5625＝4.

②由log216＝4，得24＝16.