高中数学第三章三角恒等变换31两角和与差的正弦余弦和正切公式自主训练新人教A版必修4

3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．知识点一两角和与差的正切公式思考1 怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？答案tan(α＋β)＝α＋βα＋β＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ－sinαsinβ，分子分母同除以cosαcosβ，便可得到．思考2 由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？答案用－β替换tan(α＋β)中的β即可得到．梳理知识点二两角和与差的正切公式的变形(1)T(α＋β)的变形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)．tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)．tanαtanβ＝1－tanα＋tanβα＋β.(2)T(α－β)的变形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝tan(α－β)．tanαtanβ＝tanα－tanβα－β－1.1．对于任意角α，β，总有tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β .( × )提示 公式成立需α，β，α＋β≠k π＋π2，k ∈Z .2．使公式tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β有意义，只需α，β≠k π＋π2(k ∈Z )即可．( × )提示 还应使α±β≠k π＋π2，k ∈Z .3．若α，β，α＋β≠k π＋π2，k ∈Z ，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)恒成立．( √ )4．α≠k π－π4，且α≠k π＋π2，k ∈Z 时，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α.( √ )类型一 正切公式的正用例1 (1)(2017·江苏)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 75解析 方法一 ∵tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝tan α－11＋tan α＝16.∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)， ∴tan α＝75.方法二 tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4·tan π4＝16＋11－16＝75.(2)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3B ．－1C ．1D ．3 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 A解析 由题意知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝31－2＝－3.反思与感悟 (1)直接运用两角和与差的正切公式进行求值、化简与证明的关键是准确记忆公式，特别是T α±β中的符号规律是“分子相同、分母相反”．(2)对于不能直接套用公式的情况，需根据已知与未知进行变形使之联系起来，有时还要借助角的变换技巧．跟踪训练1 已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 3解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝17－－1＋17－＝3.类型二 正切公式的逆用与变形使用 例2 (1)1＋tan15°1－tan15°＝________.考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式化简 答案3 解析 原式＝tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝ 3.。

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）课堂导学三点剖析1.两角和与差的正余弦公式的应用【例1】 求值:(1)cos75°;(2)sin 12π;(3)sin(-127π). 思路分析：想办法利用特殊角表示所求式中的角:(1)75°=45°+30°;(2) 12π=4π-6π;(3)sin(-π127)=-sin 127π,π127=3π+4π. 解：（1）cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30° =22·23-22·21 =426-； （2）sin12π=sin(3π-4π) =sin 3πcos 4π-cos 3πsin 4π =23·22-21·22 =426-; (3)sin(-127π)=sin(3π+4π) =-(sin 3πcos 4π+cos 3πsin 4π) =-(23·22+21·22) =-426+. 温馨提示解决给角求值这类问题，一般是将所求角表示成两个特殊角的和或差，就可以利用两角和或差的正余弦公式求值.在运用两角和或差的正余弦公式前注意结合诱导公式先化简.2．两角和与差的正余弦公式的灵活运用【例2】 已知2π＜β＜α＜π43,cos(α-β)= 1312,sin(α+β)=-53,求sin2α的值.解：由2π＜β＜α＜π43,得 α-β∈(0, 4π),α+β∈(π, π23). ∴sin(α-β)=135)1312(1)(cos 122=-=--βα. cos(α+β)=54)53(1)sin(12-=---=+--βα. 故sin2α=sin ［(α-β)+(α+β)］=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β) =135×(-54)+1312×(-53)=-6556. 温馨提示(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,解这类问题应认真分析已知式中角与未知式中角的关系,再决定如何利用已知条件,避免盲目地处理相关角的三角函数式,以免造成解决时不必要的麻烦.(2)要注意观察和分析问题中角与角之间的内在联系,尽量整体的运用条件中给出的有关角的三角函数值.(3)许多问题都给出了角的范围,解题时一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系,从而恰当、准确求出三角函数值.3.给值求角问题【例3】已知sin α=55,sin β=1010,且α、β为锐角.求α+β的值. 思路分析：首先选择它的某一函数值,然后求角.解:∵sin α=55,α是锐角, ∴cos α=552sin 12=-α. 又∵sin β=1010,β又是锐角, ∴cos β=101031011sin 12=-=-β. 则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β =55×10103+552×1010=22.又∵sin α=55＜22,即sin α＜sin 4π, ∵α是锐角,∴0＜α＜4π. 又∵sin β=1010＜22, 即sin β＜sin4π,β是锐角. ∴0＜β＜4π.∴0＜α+β＜2π.∴α+β=4π. 温馨提示三角函数中求角的问题,一般方法是:(1)求这个角的某一个三角函数值;(2)确定该角的范围.解这类题目常犯的错误是对角的范围不加讨论,范围讨论的程度过大或过小,致使求出的角不适合题意.各个击破类题演练1不查表求cos105°和sin 1213π的三角函数值. 解：cos105°=cos(60°+45°)=cos60°cos45°-sin60°sin45° =21·22-23·22 =462-. sin1213π=sin(π+12π) =-sin 12π =-sin(3π-4π) =-(sin 3πcos 4π-cos 3πsin 4π) =21·22-23·22=462-. 变式提升1求下列各式的值：（1）cos80°cos35°+cos10°cos55°;(2)sin75°-sin15°.解析：(1)原式=cos80°cos35°+sin80°sin35°=cos(80°-35°)=cos45°=22. (2)原式=sin(45°+30°)-sin(45°-30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°-sin45°cos30°+cos45°sin30°=2cos45°sin30° =2×22×21=22. 类题演练2在例2中条件不变,求sin2β.解：sin2β=sin ［(α+β)-(α-β)］=sin(α+β)cos(α-β)-cos(α+β)·sin(α-β) =-53×1312-(-54)×135 =6516-. 变式提升2已知cos α=54,sin(α-β)=-53,且α、β∈(0,2π),求sin β的值. 解:∵cos α=54,α∈(0,2π),∴sin α=53. 又∵α、β∈(0,2π), ∴α-β∈(-2π,2π). ∵sin(α-β)=-53, ∴cos(α-β)= 54. ∴sin β=sin ［α-(α-β)］=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) =53×54-54×(-53)=2524. 类题演练3 已知π＜α＜α+β＜2π,且满足cos α=-1312,cos(α+β)=26217,求β. 解：∵cos α=-1312,cos(α+β)=26217, 且π＜α＜α+β＜2π,∴sin α=-135,sin(α+β)=-26217, ∴cos β=cos ［(α+β)-α］=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α =26217×(-1312)+(-26217)×(-135)=-22. 又易知0＜β＜π,∴β=π43. 变式提升3 已知α、β为锐角,cos α=71,sin(α+β)=3145,求β. 解：∵α为锐角且cos α＝71, ∴sin α=734)71(1cos 122=-=-α. 又β为锐角,∴α+β∈(0,π).又sin(α+β)=3145＜sin α,∴α+β∈(2π,π). ∴cos(α+β)=1411)3145(1)(sin 122-=--=+--βα. ∴cos β=cos ［(α+β)-α］=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α＝(1411-)×71+7341435⨯=21. 又∵β为锐角,∴β=3π.。

互动 探究学案 (hùdònɡ)
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命题(mìng tí)方向1 ⇨公式正用
典例 1 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 Ox 轴为 始边作两个锐角 α、β，它们的终边分别与单位圆交于 A、B 两
点．已知 A、B 的横坐标分别为102、255．
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(1)求 tan(α＋β)的值；
( B)
3．若 α，β∈(0，π2)且 tanα＝12，tanβ＝13，则 tan(α＋β)＝__1___．
[解析]
tan(α＋β)＝1t－antαa＋nαttaannββ＝121＋ －1316＝1．
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[解析] ∵1t－an1ta0n°1＋0°ttaann2200°°＝tan30°＝ 33，
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∴tan10°＋tan20°＝ 33(1－tan10°tan20°)．
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∴原式＝tan10°tan20°＋1－tan10°tan20°＝1．
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〔跟踪练习(liànxí)3〕已知tanα，tanβ都是关于x的一元二次方程mx2＋(2m－3)x ＋(m－2)＝0的两根，求tan(α＋β)的最小值．

3.1.1 两角差的余弦公式学习目标：1.了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点)2.理解用向量法导出公式的主要步骤．(难点)3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．(重点、易混点)[自主预习·探新知]两角差的余弦公式1．思考辨析(1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.()(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．( )(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．( )(4)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.( )[解析](1)错误．cos(60°－30°)＝cos 30°≠cos 60°－cos 30°.(2)错误．当α＝－45°，β＝45°时，cos(α－β)＝cos(－45°－45°)＝cos(－90°)＝0，cos α－cos β＝cos(－45°)－cos 45°＝0，此时cos(α－β)＝cos α－cos β.(3)正确．结论为两角差的余弦公式．(4)正确．cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝cos(120°－30°)＝cos 90°＝0.[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．cos(－15°)的值是( )A.6－22B.6＋22C.6－24D.6＋24D[cos(－15°)＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.]3．cos 65°cos 20°＋sin 65°sin 20°＝________.22 [cos 65°cos 20°＋sin 65°sin 20°＝cos(65°－20°)＝cos 45°＝22.] [合 作 探 究·攻 重 难]给角求值问题(1)cos 12的值为( )A ．6＋24 B ．6－24 C ．2－64D ．－6＋24(2)求下列各式的值：①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°； ②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°； ③12cos 15°＋32sin 15°. 【导学号：84352295】(1)D [(1)cos 13π12＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π12＝－cos π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝－cos π4cos π6－sin π4sin π6＝－22×32－22×12＝－6＋24. (2)①cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195° ＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°) ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.②sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°＝sin(90°－44°)cos 14°＋sin 44°cos(90°－14°) ＝cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14° ＝cos(44°－14°)＝cos 30°＝32. ③12cos 15°＋32sin 15° ＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22.] [规律方法] 1.解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．2．两角差的余弦公式的结构特点：(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦． (2)把所得的积相加． [跟踪训练] 1．化简下列各式：(1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)； (2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°. [解] (1)原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] ＝cos 45°＝22. (2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47° ＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° ＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝32.给值(式)求值问题[探究问题]1．若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cos α的值？ 提示：cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β. 2．利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？提示：cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)．(1)已知sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)＝( ) A ．－32B ．－12C ．12D ．32(2)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，求cos α的值.【导学号：84352296】[思路探究] (1)先将已知两式平方，再将所得两式相加，结合平方关系和公式C (α－β)求cos(α－β)．(2)由已知角π3＋α与所求角α的关系即α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－π3寻找解题思路．(1)D [(1)因为sin α－sin β＝1－32， 所以sin 2α－2sin αsin β＋sin 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－322， ① 因为cos α－cos β＝12，所以cos 2α－2cos αcos β＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122， ②①，②两式相加得1－2cos(α－β)＋1＝1－3＋34＋14所以－2cos(α－β)＝－ 3 所以cos(α－β)＝32. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，∴π3＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝－513.∵α＝⎝⎛⎭⎪⎫π3＋α－π3， cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αcos π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋αsin π3＝－513×12＋1213×32＝123－526.]母题探究：1.将例2(2)的条件改为“sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，且π4<α<3π4”，如何解答？[解] ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45，且π4<α<3π4，∴π2<α＋π4<π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝－35，∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝－35×22＋45×22＝210.2．将例2(2)的条件改为“sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－1213，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6”，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12的值．[解] ∵π6＜α＜5π6，∴－π2＜π3－α＜π6，又sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝－1213＜0，∴－π2＜π3－α＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π3－α＝513，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－π4＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝22×513＋22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－7226. [规律方法] 给值求值问题的解题策略 1已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.2由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有：①α＝α－β＋β； ②α＝α＋β2＋α－β2；③2α＝α＋β＋α－β； ④2β＝α＋β－α－β.给值求角问题已知sin(π－α)＝437，cos(α－β)＝1314，0＜β＜α＜π2，求角β的大小.【导学号：84352297】[思路探究] 求cos α、sin α－β→求cos β＝cos[α－α－β]→求β[解] 因为sin(π－α)＝437， 所以sin α＝437.因为0＜α＜π2，所以cos α＝1－sin 2α＝17.因为cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，所以0＜α－β＜π2，所以sin(α－β)＝1－cos2α－β＝3314， 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12.因为0＜β＜π2，所以β＝π3. [规律方法] 已知三角函数值求角的解题步骤 1界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.2求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数. 3结合三角函数值及角的范围求角.提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案. [跟踪训练]2．已知α，β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝1010，求α－β的值．[解] ∵α，β均为锐角， ∴sin α＝55，sin β＝31010， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22. 又sin α<sin β，∴0<α<β<π2，∴－π2<α－β<0，故α－β＝－π4.[当 堂 达 标·固 双 基]1．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝( )【导学号：84352298】A ．32 B ．12 C ．－32D ．－12B [∵sin 14°＝cos 76°，cos 74°＝sin 16°∴原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝12.]2．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为( ) A ．0 B ．1 C ．±1D ．－1B [由sin αsin β＝1，得cos αcos β＝0， cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1.]3．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos(α－β)的值为( )【导学号：84352299】A ．－6365B ．－3365C ．6365D ．3365A [∵α为锐角，cos α＝1213，∴sin α＝1－cos 2α＝513，∵β为第三象限角，sin β＝－35，∴cos β＝－1－sin 2β＝－45，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－6365.]4．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝________. 12[原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)] ＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.]5．已知sin α＝－45，sin β＝513，且180°＜α＜270°，90°＜β＜180°，求cos(α－β)的值.【导学号：84352300】[解] 因为sin α＝－45，180°＜α＜270°，所以cos α＝－35.因为sin β＝513，90°＜β＜180°，所以cos β＝－1213，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝3665－2065＝1665.。