湖北专升本高数真题及答案解析

2014年武汉工程大学专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 填空题 2. 选择题 3. 解答题二、填空题1．若f(x+y，x-y)=xy+y2，则f(x，y)=_______．正确答案：解析：2．正确答案：0解析：3．设y=2x2+ax+3，在x=1处取得极小值，则a=_______．正确答案：-4解析：y’=4x+a，由于x=1时，y取得极小值，所以y’|x=1=4+a=0，即a=-4．4．设向量a=i-j，b=2j+3k，则a．b=_______．正确答案：-2解析：由题a={1，=-1，0}，b={0，2，3}，故a．b=1×0-1×2+0×3=-2．5．正确答案：解析：一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

6．设有直线L：及平面π：4x-2y+z-2=0，则直线L( )．A．平行于平面πB．在平面π上C．垂直于平面πD．与平面π斜交正确答案：C解析：由题，直线L的方向向量为s==-28i+14j-7k=-7(4i-2j+k)，由于s与平面π的法向量n={4，-2，1}共线，所以直线L与平面π垂直，本题选C7．有且仅有一个间断点的函数为f(x，y)=( )．A．y／xB．e-xln(x2+y2)C．D．arctan(1+|cry|)正确答案：B解析：A中f(x，y)=y／x中x=0，y为任意实数时，均为函数的间断点；B 中只有当x2+y2=0，即x=0，y=0时，f(x，y)无意义，点(0，0)为函数唯一间断点；C中x+y=0时，函数存在间断点，也有无穷多个间断点；D中函数对x，y 的任意取值均有意义且连续，故不存在间断点，本题选B8．若复数(a+i)2的辅角主值是π／2，则实数a的值是( )．A．1B．-1C．D．正确答案：A解析：复数z=a2-1+2ai，由于z的辐角主值为π／2，则可知其实部为零，虚部为正，即a2-1=0日2a＞0，即a=1．本题选A9．=( )．A．1B．2C．1／2D．0正确答案：D解析：显然，当→x∞时，x2→+∞，=0，本题选D10．直线x+y-1=0与圆x2+y2=9相交，所得弦长是( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：由题，作图，直线与圆交于点A、B，OM垂直于AB于M，则|AB|=2|AM|，已知|OM|为O到直线AB的距离，则|OM|=故AB=，本题选B三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。

第一学期高等数学试卷（二）一、填空题（每小题3分，共15分）1．极限32lim 1sin x xx →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ．2．已知向量23i j k a =++ ，2j k b =+ ，则32a b =⨯．3．设函数()y f x =由方程20xy x y --=所确定，则0d x y == ． 4．曲线1y x x=+的斜渐近线是 ． 5．若ln(x +是函数()f x 的一个原函数，则()d f x x '=⎰ ．二、选择题（每小题3分，共15分）1．设当0x →时，20(e 1)sin d xt t t -⎰与ln(1)n x +是同阶无穷小，则正整数n 为（ ）． （A ）2（B ）3 （C ）4（D ）52．若下列积分均存在，则下列结论错误的是（ ）．（A ）()d()d ()d f x x f x x =⎰（B ）()d ()d f x x f u u =⎰⎰ （C ）()d ()d b b aaf x x f u u =⎰⎰（D ）()d ()d 0b aabf x x f x x +=⎰⎰3．下列广义积分发散的是（ ）． （A）1x ⎰（B ）1-11d sin x x⎰ （C ）221d ln x x x+∞⎰ （D ）2e d x x x +∞-∞-⎰4．下列结论正确的是（ ）． （A ）πsin e d x+txt ⎰是常数，其中x 是变量（B ）若d 1d x y y ='，则222d d ()x y y y ''=-' （C ）若0()()lim2h f a h f a h b h→+--=，则()f a b '=（D ）若0()lim ()x x f x A g x →'='，则0()lim()x x f x A g x →= 5．下列结论正确的是（ ）． （A ）一切初等函数在其定义域内连续（B ）若函数()f x 在0x 点可导，则()f x 在0x 的某个邻域内连续（C ）若0x 是函数()f x 在区间I 内的惟一驻点，且0()f x 是极小值，则0()f x 也是()f x在区间I 上的最小值（D ）函数πsin y x x x =⋅-⋅在(,)-∞+∞内处处可导三、计算题（每小题5分，共30分） 1．求22212lim 12n n n n n n n n n →∞⎛⎫+++⎪++++++⎝⎭ ． 2．计算d x ． 3．计算3220d (1)x x x -．4．求曲线2ln(1)y x =-上相应于102x ≤≤的一段弧的弧长． 5．设()y f x =由参数方程3331,31x t t y t t ⎧=++⎨=-+⎩确定，求22d d yx 及曲线()y f x =的凹凸区间和拐点．6．设周期为4的周期函数()y f x =在(,)-∞+∞上可导，且1()lim21x f x x →-=+，求曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程．四、（本题满分8分）当(0,1)x ∈时，证明不等式: 22(1)ln (1)x x x ++<．五、（本题满分8分）设22ln(1tan ,0,(),0,x tx f x xa x ⎧+⎪≠=⎨⎪=⎩⎰ （1）求常数a ，使()f x 在0x =点连续；（2）问此时()f x 在0x =点是否可导，若可导，则求出(0)f '．六、（本题满分8分）若2,1,2,c d a b a b a b λ====++ ，且a b ⊥ ，（1）当λ为何值时，c d ⊥ ？（2）当λ为何值时，以,c d为邻边所围成的平行四边形的面积为6？七、（本题满分10分）设直线y ax =与抛物线2y x =所围成的图形的面积是1S ，它们与直线1x =所围成的图形的面积是2S ，且01a <<．（1）试确定a 的值，使12S S =．（2）试确定a 的值，使上述两部分平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积V 达到最小． 八、（本题满分6分）设函数()f x 在区间[0,1]上连续．（1）证明至少存在一点(0,1)ξ∈，使得0()(1)()d f f x x ξξξ-=⎰．（2）若()f x 为可导函数且满足(1)()2()x f x f x '->，证明：在区间(0,1)内，满足0()(1)()d f f x x ξξξ-=⎰的ξ是惟一的．第一学期高等数学试卷（二）参考答案一、1．6e ． 2．． 3．(ln 21)d x -． 4．y x =． 5C ．二、1．C ． 2．B ． 3．B ． 4．A ． 5．D ． 三、1．解222221(1)121(1)21212n n n n n n n n n n n n n n n n n ++⋅≤+++≤⋅++++++++++ ， 又2(1)1lim 2()2n n n n n n →∞+=++，2(1)1lim 2(1)2n n n n n →∞+=++，故 222121lim 122n n n n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪++++++⎝⎭ ．2．解 2)21x x ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦⎰31222(1+ln )2(1+ln )3x x C =-+．3．解πππ33332232000sin d cos d sec d d tan cos (1)x tx t xt t t t t t t tx =⋅==-⎰⎰⎰πππ333000πtan tan d ln cos ln 233t t t t t =-==-⎰．4．解 122201d 1x s x x x x +===-⎰ 121211111d ln ln 301112x x x x x x +⎛⎫⎛⎫=+-=-=- ⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭⎰． 5．解 22222d 33121d 3311y t t x t t t --===-+++，2222223d 44(33)(1)d 3(1)y t t t t x t =+=++．令22d 0d yx=得：0t =. 此时，1,1x y ==． 2223d 4001d 3(1)y t t x x t =<⇒<⇒<+，2223d 4001d 3(1)y tt x x t =>⇒>⇒>+， 曲线()y f x =的凸区间是(,1)-∞，凹区间是(1,)+∞，点(1,1)为拐点．6．解 ()y f x =在(,)-∞+∞上可导()y f x ⇒=在(,)-∞+∞上连续．又()y f x =是周期为4的周期函数，故11()(3)(1)lim ()lim(1)01x x f x f f f x x x →-→-=-==⋅+=+，11()(1)()(3)(1)limlim 2(1)1x x f x f f x f f x x →-→---''=-===--+． 切线方程为2(3)y x =-，即26y x =-． 四、证 令22()(1)ln (1)f x x x x =++-，则2()ln (1)2ln(1)2f x x x x '=+++-，2()[ln(1)]1f x x x x''=+-+. 令()ln(1)g x x x =+-，则1()10,(0,1)1g x x x'=-<∈+ ()()(0)001g x g x g x ⇒⇒<=<<单减,()0()f x f x '''⇒<⇒单减 ()(0)0()()(0)001f x f f x f x f x ''⇒<=⇒⇒<=<<单减，　即证！五、解 （1）由()f x 在0x =点连续得22ln(12ln(1tan )(0)lim ()limlim02x x x x tx x a f f x x x→→→++=====⎰.（2）222300ln(10ln(1()(0)limlim limx x x x x ttf x f x x x x →→→+-+-==--⎰⎰200002ln(1tan )ln(1tan )tan 222limlim lim lim 3333x x x x x x x x x x xx x →→→→++====． 因为 22(0),(0)33f f +-''==-，所以()f x 在0x =点不可导．六、解 （1）因为a b ⊥ ，所以0a b ⋅= ，要使c d ⊥ ，即要求0c d =⋅，即224(2((222)))0a b a b a a b b λλλλ+=+++⋅+=⋅+=，解得2λ=-．（2）因为a b ⊥ ，所以212a b a b ==⨯=⨯，且(((2))2)c d a b a b a b λλ⨯=+⨯+=-⨯，于是以,c d为邻边所围成的平行四边形的面积为221622c d a b a b λλλ===⨯⨯=---⨯⨯，即23λ=-，解得：1λ=- 或 5λ=．七、解 由2,,y x y ax ⎧=⎨=⎩ 解得直线y ax =与抛物线2y x =的交点为2(0,0),(,)a a .（1）2332100()d 236aaax x a S ax x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰, 13231221()d 32623a a x ax a a S x ax x ⎛⎫=-=-=-+ ⎪⎝⎭⎰, 由12S S =解得 23a =. （2）上述两部分平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为()()12244220πd πd aa V a x x x x a x x =-+-⎰⎰1235523520411πππ35531535a aa x x x a x a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，442π33V a a ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，得唯一驻点a =.又3162π2π033a a V a a ⎛⎫''=-=>⇒= ⎪⎝⎭为极小值点，也为最小值点，故旋转体的体积最小值为524112ππ153510a a Va a -⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭．八、证 （即证方程0(1)()()d 0tt f t f x x --=⎰在(0,1)内有唯一根）（1）用罗尔定理证明存在性.令0()(1)()d tF t t f x x =-⎰，显然()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)(1)F F =，则至少存在一点(0,1)ξ∈，使得()0F ξ'=，又0()()d (1)()tF t f x x t f t '=-+-⎰，即证．（2）用单调性证明唯一性.令0()(1)()()d tt t f t f x x ϕ=--⎰，则()(1)()2()t t f t f t ϕ''=--，由条件知()0t ϕ'>，故()t ϕ在区间[0,1]上严格单增．综合（1）、（2）即得方程0(1)()()d 0tt f t f x x --=⎰在(0,1)内有唯一根．证毕！。

x
0
．
四、（本题满分
12
分）设
f
(
x)
g(x)
a
,
/
x,
x x
0, 0,
其中
g(x)
具有二阶连续导数，
且 g(0) g(0) 0 ， g(0) 1．（1）求常数 a ，使 f (x) 在 (,) 内连续；（2）
问 f (x) 在点 x 0 处是否连续？
五、（本题满分 10 分）求常数 a,b 使点 (1,2) 为曲线 y ax3 bx2 的拐点，并求
）无穷小．
（A）高阶
（B）低阶
（C）同阶但不等价
（D）等价
3．设函数
y
y(x)
由参数方程
x y
2t t 2 , 3t 2 2t 3
确定，则
d2 y dx2
t0
（
）．
（A） 3 / 2
（B）1/ 2
（C）3
（D）0
4．下列结论正确的是（
）．
（A）
1
x x2
dx
0
（B） e 1 dx 0
a b 2, 6a 2b
0
a b
1, 3,
故 y x3 3x2, y 3x2 6x, y 6x 6 ，得驻点： x 0 和 x 2 ．又
y(0) 6 0, y(2) 6 0 ，
3
所以有极小值 y(0) 0 ，极大值 y(2) 4 ．
六、解
（1）原式
2
arctacn 1 x
e x
π
（C）
5．设
a
2
π 2
(ex
，b
ex ) sin xdx 0 为两个单位向量，

2012年武汉工程大学专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 4. 综合题 5. 证明题一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．设函数f(x)的定义域为区间(-1，1]，则函数ef(x-1)的定义域为( ) A．[-2，2]B．(-1，1]C．(-2，0]D．(0，2]正确答案：D解析：由题意得，f(x)的定义域为(-1，1]，则在ef(x-1)中，x-1∈(-1，1]，即＜x≤2．故选D2．若f(x)(x∈R)为奇函数，则下列函数为偶函数的是( )A．y=f(x)，x∈[-1，1]B．y=xf(x)+tan3x，x∈(-π，π)C．y=x3sinx-f(x)，x∈[-1，1]D．y=f(x)sin5x，x∈(-π，π)正确答案：D解析：因为f(x)为奇函数，对于选项D，f(-x)sin5x．所以选所以选项D为偶函数．故选D 3．当x→0时，e2x-1是sin3x的( )A．低价无穷小B．高阶无穷小C．等价无穷小D．同阶非等价无穷小正确答案：D解析：由题意得，≠1，所以当x→0时，e2x-1-1与sin3x为同阶但非等介无穷小．故选D4．设函数f(x)=则x=0是f(x)的( )A．可去间断点B．跳跃间断点C．连续点D．第二类间断点正确答案：A解析：由题意得，=1．因为f(x)，所以f(x)为可去间断点．故选A5．下列方程在区间(0，1)内至少有一个实根的为( )A．x2+2=0B．sinx=1-πC．x3+5x2-2=0D．x2+1+arctanx=0正确答案：C解析：对于选项C，我们构造函数f(x)=x3+5x2=-2，f(0)=-2，f(1)=4，则有f(0)．f(1)＜0，由零点存在定理得，f(x)=0在(0，1)上至少存在一个实根．故选C6．函数f(x)在点x=x0处可导，且f’(x0)=-1，则=( )A．2／3B．-C．D．3／2正确答案：D解析：故选D7．曲线y=xlnx的平行于直线x-y+1=0的切线方程是( )A．y=x-1B．y=-(x+1)C．y=-x+1D．y=(lnx+1)(x-1)正确答案：A解析：求曲线y=xlnx的导数得，y’=lnx+1，又因为直线x-y+1=0的斜率k=1，所以令y’=1得x=1，y=0，所以曲线与直线平行的切线方程为y-0=x-1即y=x-1．故选A8．设函数y=，则y’=( )A．B．C．D．正确答案：B解析：由题意得，y’=故选B9．若函数f(x)满足df(x)=-2xsinx2dx，则f(x)=( )A．cosx2B．cosx2+CC．sinx2+CD．-cosx2+C正确答案：B解析：由题意，df(x)=-2xsinx2dx，则f(x)=cosx2+C，故选B10．∫abe-xsin(1-2x)dx=( )A．e-xsin(1-2x)B．e-xsin(1-2x)dxC．e-xsin(1-2x)+CD．0正确答案：D解析：因为∫abe-xsin(1-2x)dx为一常值，所以∫abe-xsin(1-2x)dx=0．故选D11．若f(-x)=f(x)，在区间(0，+∞)内，f’(x)＞0，f”(x)＞0，则f(x)在区间(-∞，0)内( )A．f’(x)＜0，f”(x)＜0B．f’(x)＞0，f”(x)＞0C．f’(x)＞0，f”(x)＜0D．f’(x)＜0，f”(x)＞0正确答案：D解析：由题意得，f(x)=-f(-x)，则f(x)为偶函数，因为在(0，+∞)上，f’(x)＞0，f”(x)＞0，偶函数的图像关于y轴对称，所以f’(x)＜0，f”(x)＞0．故选D12．若函数f(x)在区间(a，b)内连续，在点x0处不可导，x0∈(a，b)，则( ) A．x0是f(x)的极大值点B．x0是f(x)的极小值点C．x0不是f(x)的极值点D．x0可能是f(x)的极值点正确答案：D解析：由判断极值的方法知x0可能是f(x)的极值点．故选D13．曲线y=xe-x的拐点为( )A．x=1B．x=2C．(2，)D．f(1，1／e)正确答案：C解析：y’=e-x-xe-x，y”=-e-x-e-x+-xe-x=xe-x-2e-x=(x-2)e-x，令y”=0，得x=2，y=，所以曲线的拐点(2，)．故选C14．曲线y=+C( )A．仅有水平渐近线B．仅有垂直渐近线C．既有水平渐近线，又有垂直渐近线D．既无水平渐近线，又无垂直渐近线正确答案：A解析：，所以曲线有水平渐近线；又因为y→0时，曲线不存在垂直渐近线．故选A15．若cosx是f(x)的一个原函数，则∫df(x)=( )A．-sinx+CB．sinx+CC．-cosx+CD．cosx+C正确答案：A解析：令F(x)=cosx，则f(x)=F’(x)=-sinx，所以∫df(x)=∫d(-sinx)=-sinx+C,故选A16．设曲线y=f(x)过点(0，1)，且在该曲线上任意一点(x，y)处切线的斜率为x+ex，则f(x)=( )A．-exB．+exC．x2+exD．x2-ex正确答案：B解析：由题意得，∫x+exdx=∫d(+ex+C，又因为曲线过点(0，1)所以C=0，故f(x)=+ex．故选B17．∫-ππdx=( )A．2B．0C．1D．-1正确答案：B解析：18．设f(x)是连续函数，则f(t)dt是( )A．f(x)的一个原函数B．f(x)的全体原函数C．2xf(x2)的一个原函数D．2xf(x2)的全体原函数正确答案：C解析：(f(t)dr)’=2xf(x2)，由定积分的性质易知，它是2xf(x2)的一个原函数．故选C19．下列广义积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：∫e+∞|0+∞=0+1=1，故选C 20．微分方程x4(y”)2+y’-x2y=0的阶数是( )A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：由微分方程概念知，阶数为方程中的最高阶．故选B21．已知向量a={5，x，-2}和b={y，6，4}平行，则x和y的值分别为( ) A．-4，5B．-3，-10C．-4，-10D．-10，-3正确答案：B解析：因为向量a与b平行，所以，得x=-3，y=-1．故选B22．平面x+y+z=1与平面x+y-z=2的位置关系是( )A．重合B．平行C．垂直D．相交但不垂直正确答案：D解析：平面法向量s1=(1，1，1)，s2=(1，1，-1)，s1．s1=1，两平面相交但不垂直．故选D23．下列方程在空间直角坐标系中表示的曲面为柱面的是( )A．y2+x2=1B．z=x2+y2C．z2=x2+y2D．z=x2-y2正确答案：A解析：由柱面的方程的特点知，y2+x2=1表示圆柱面．故选A24．关于函数f(x，y)=下列表述错误的是( )A．f(x，y)在点(0，0)处连续B．fx(0，0)=0C．fy(0，0)=0D．f(x，y)在点(0，0)处不可微正确答案：A解析：令y=kx，则当k取不同值时，极限值不同．因此不存在，所以在点(0，0)处不连续．故选A 25．A．B．C．D．正确答案：D解析：26．累次积分∫02dx f(x，y)dy写成另一种次序的积分是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：由题意知，0≤x≤2，-，由此可得，-1≤y ≤1，1-，所以交换积分次序后，∫-11dy f(x，y)dx．27．设D={(x，y)||x}≤2，|y|≤2)，则dxdy=( )A．2B．16C．12D．4正确答案：B解析：由题意得，-2≤x≤2，-2≤y≤2，dxdy=∫-22dx∫-22dy=16．故选B28．若幂级数anxn的收敛半径为R，则幂级数an(x-2)2n的收敛区间为( )A．B．(2-R，2+R)C．(-R，R)D．正确答案：D解析：因为anxn的收敛半径为R，令t=(x-2)2，则antn的收敛半径为R，即-R＜t＜R，则(x-2)2＜R，即2-故选D29．下列绝数绝对收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：B解析：由p-级数的性质得，A、C、D均发散．故选B30．若幂级数an(x-3)n在点x=1处发散，在点x=5处收敛，则在点x=0，x=2，x=4，x=6中使该级数发散的点的个数有( )A．0个B．1个C．2个D．3个正确答案：C解析：由幂级数、发散、收敛的性质知，并根据收敛区间讨论可得，在这4个点中发散点的个数有两个，故选C二、填空题31．设f(3-2x)的定义域为(-3，4]，则f(x)的定义域为_______．正确答案：[-5，9)解析：由题意得f(3-2x)的定义域为(-3，4]，即-3＜x≤4，所以-5≤3-2x＜9，即f(x)的定义域为[-5，9)．32．正确答案：5／2解析：33．设函数f(x)=(x+1)(x+2)(x-3)(x-4)，则f(4)(x)=_______．正确答案：24解析：由函数f(x)得，求四阶导数之后，只有首项不为0，即f(4)(x)=41=24．34．设参数方程所确定的函数y=y(x)，则=_______．正确答案：3／2解析：35．∫(lnx+1)dx=_______．正确答案：xlnx+C解析：∫(lnx+1)dx=∫d(xlnx)=xlnx+C36．点(3，2，-1)到平面x+y+z-1=0的距离是_______．正确答案：解析：37．函数z=(1+y)x在点(1，1)处的全微分dz=_______．正确答案：2ln2dx+dy解析：dz=(1+y)xln(1+y)dx+x(1+y)x-1dy．当x=1，y=1时，dz=2ln2dx+dy．38．设L为三个顶点分别为(0，0)，(1，0)和(0，1)的三角形边界，L的方向为逆时针方向，则∮L(xy2-y3)dx+(x2y-3xy2)dy=_______．正确答案：0解析：，由格林公式得，该曲线积分为0．39．已知微分方程y’+ay=ex的一个特解为y=xex，则a=_______．正确答案：-1解析：将y=xex代入微分方程得，ex+xex+axex=ex，得ax+x=0，即a=-1．40．级数的和为_______．正确答案：e3解析：因为ex=1+x+=e3．三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。