湖南长郡高三分班考试

长郡中学2024届高三月考试卷（二）数学得分：____________本试卷共8页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设{}|21A x x =-≤，(){}|ln 321B x x =-<，则A B =I （）A .3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C .31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D .3,32⎛⎤⎥⎝⎦2.若复数z 满足()21811z i i -=+，则4z i -=（）A .13B .15C .13D .153.我国古代数学著作《九章算术》中记述道：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问：几日相逢？结合二马相逢的问题设计了一个程序框图如图所示.已知a 为良马第n 天行驶的路程，b 为驽马第n 天行驶的路程，S 为良马、驽马n 天行驶的路程和，若执行该程序框图后输出的结果为9n =，则实数m 的取值范围为（）A .51252250,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B .51252250,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .(]1950,2250D .[]1950,22504.已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，()31f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则()6f =（）A .-2B .-1C .0D .25.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知261116203a a a a a ---+=，则21S 的值为（）A .63B .-21C .-63D .216.设{}n a 是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“0q <”是“对任意的正整数n ，2120n n a a -+<”的（）A .充要条件B .充分而不必要条件C .必要而不充分条件D .既不充分也不必要条件7.若命题“[]1,2x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为（）A .5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B .5,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C .(),1-∞D .()1,+∞8.将函数()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，那么下列说法正确的是（）A .函数()g x 的最小正周期为2πB .函数()g x 是奇函数C .函数()g x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称D .函数()g x 的图象关于直线3x π=对称9.已知x ，y 满足约束条件10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩，当目标函数()0,0z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值25时，22a b +的最小值为（）A .5B .4C .5D .210.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且满足()()22f x f x -=+，当()0,2x ∈时，()()2ln 1f x x x =-+，则方程()0f x =在区间[]0,8上的解的个数是（）A .3B .5C .7D .911.已知a r ，b r ，e r 是平面向量，e r 是单位向量，若非零向量a r 与e r 的夹角为3π，向量b r 满足2430b e b -⋅+=r r r，则a b -r r 的最小值是（）A .31-B .31+C .2D .23-12.已知函数()2,0,0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，()xg x e =（e 是自然对数的底数），若关于x 的方程()()0g f x m -=恰有两个不等实根1x 、2x ，且12x x <，则21x x -的最小值为（）A .()11ln 22-B .1ln 22+C .1ln 2-D .()11ln 22+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a r ，b r 的夹角为120o，且2a =r ，227a b -=r r ，则b =r ______.14.正项等比数列{}n a 中，存在两项()*,,m n a a m n N ∈使得2116m na aa =，且7652a a a =+，则125m n+的最小值为______.15.在研究函数()()120xf x x =≠的单调区间时，有如下解法：设()()ln 2ln g x f x x==，()g x 在区间(),0-∞和区间()0,+∞上是减函数，因为()g x 与()f x 有相同的单调区间，所以()f x 在区间(),0-∞和区间()0,+∞上是减函数.类比上述作法，研究函数()0xy xx =>的单调区间，其单调增区间为______.16.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，()1sin cos sin 2B BC C =+，当角B 取最大值时，ABC ∆的周长为233+，则a =______.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知向量()sin ,cos a x x =r ，()sin ,sin b x x =r ，函数()f x a b =⋅r r.（1）求()f x 的对称轴方程；（2）若对任意实数,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()2f x m -<恒成立，求实数m 的取值范围.18.如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=o，2PC =，4AP AC +=.（1）求边AC 的长；（2）若APB ∆的面积是23，求sin BAP ∠的值.19.已知定义域为R 的单调函数()f x 是奇函数，当0x >时，()23x xf x =-.（1）求()f x 的解析式.（2）若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.20.已知数列{}n a 的首项135a =,1321n n n a a a +=+，*n N ∈.（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）记12111n nS a a a =++⋅⋅⋅+，若100n S <，求最大正整数n ；（3）是否存在互不相等的正整数m ，s ，n ，使m ，s ，n 成等差数列，且1m a -，1s a -，1n a -成等比数列？如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由.21.已知函数()()ln af x x x a R x=++∈.（1）若函数()f x 在[)1,+∞上为增函数，求a 的取值范围；（2）若函数()()()21g x xf x a x x =-+-有两个不同的极值点，记作1x ，2x ，且12x x <，证明：2312x x e ⋅>（e 为自然对数的底数）.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2324x ty t=-⎧⎨=-+⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos tan ρθθ=.（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 交于A 、B 两点，点P 的极坐标为22,4π⎛⎫-⎪⎝⎭，求11PA PB+的值.长郡中学2024届高三月考试卷（二）数学参考答案一、选择题1-5：BCCDC6-10：CCBBD11-12：AD1.B 【解析】∵{}{}|21|13A x x x x =-≤=≤≤，(){}33|ln 32122eB x x x -⎧⎫=-<=<<⎨⎬⎩⎭，∴33|11,22A B x x ⎧⎫⎡⎫=≤<=⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭I .故选B .3.C 【解析】由题意，得良马n 天的行程为()1311032n n n -+，驽马n 天的行程为()1974n n n --，所以良马、驽马n 天的总路程为()2520014S n n n =+-，当8n =时，1950S =；当9n =时，2250S =.因为输出9n =，所以19502250m <≤.故选C .4.D 【解析】当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当12x >时，函数()f x 是周期为1的周期函数，所以()()61f f =，又由题知()f x 在区间[]1,1-上是奇函数，所以()()()311112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D .5.C 【解析】∵261116203a a a a a ---+=，∴()()220616113a a a a a +-+-=，∴113a =-，∴21112163S a ==-，故选C .6.C 【解析】由题意得，()2221212100n n n n a a a q q ---+<⇔+<()()()2110,1n qq q -⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C .7.C【解析】若命题“[]1,2x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，则[]1,2x ∀∈，212x ax +>，即211122x a x x x +⎛⎫<=+ ⎪⎝⎭恒成立，∵11112x x x x⎛⎫+≥⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，∴1a <，即实数a 的取值范围是(),1-∞，故选C .8.B【解析】将函数()cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位，得到函数()2cos 2sin 236y g x x x ππ⎛⎫==+-=- ⎪⎝⎭的图象，故()g x 为奇函数，且最小正周期为22ππ=，故A 错误，B 正确；当12x π=时，1sin 062y π=-=-≠，故C 错误；当3x π=时，23sin132y π=-=-≠±，故D 错误，故选B .10.D【解析】由()()22f x f x -=+得，()()4f x f x =+，∵()f x 的周期为4，∵()0,2x ∈时，()()2ln 1f x x x =-+，()f x 为奇函数，当0x =时，()00f =，当20x -<<时，()()2ln 1f x x x =-++，∴当22x -<<时，()()()22ln 1,02ln 1,20x x x f x x x x ⎧-+<<⎪=⎨-++-<≤⎪⎩，当22x -<<时，令()0f x =，则0x =，或1x =±，又()()()222f f f -==-，故()20f =，则()60f =.∴当[]0,8x ∈时，()f x 的零点为：0，1，3，4，5，7，8，2，6共9个，故选D .11.A 【解析】设()1,0e =r ，(),b x y =r ，则222430430b e b x y x -⋅+=⇒+-+=r r r ()2221x y ⇒-+=.如图所示，a OA =r uu r ，b OB =r uu u r （其中A 为射线OA 上动点，B 为圆C 上动点，3AOx π∠=），∴min131a b CD -=-=-r r （其中CD OA ⊥）.12.D【解析】∵()2,0,0xx x f x e x >⎧=⎨≤⎩，∴()0f x >恒成立，∴()()f xg f x em ==⎡⎤⎣⎦，∴()ln f x m =.作函数()f x ，ln y m =的图象如下，结合图象可知，存在实数()ln 01t m t =<≤，使得122x x e t ==，故211ln 2x x t t -=-，令()1ln 2h t t t =-，则()1'12h t t=-，故()h t 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦递增，∴()111ln 2222h t h ⎛⎫≥=+ ⎪⎝⎭，故选D.二、填空题13.214.615.1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭16.313.2【解析】∵227a b -=r r，∴()2228a b -=r r ，即224428a a b b -⋅+=r r r r ，∴2442cos120428b b -⨯⨯⨯+=or r ，解得2b =r ，故答案为2.14.6【解析】先由已知求出公比2q =，再得出6m n +=，于是()125112566m n m n m n ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭，所以所求最小值为6.15.1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】设()()ln ln g x f x x x ==，则()'ln 1g x x =+，令()'0g x >，则1x e>，即()g x 在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，又由复合函数单调性同增异减的原则，()0xy xx =>的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，故答案为1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.16.3【解析】ABC ∆中，()1sin cos sin 2B B C C =+，∴()1cos 2b B C c =+⋅，即cos 02bA c=-<，∴A 为钝角，∴cos cos 0A C ≠；由()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+2cos sin A C =-，可得tan 3tan A C =-，且tan 0C >，∴()tan tan tan tan 1tan tan A C B A C A C +=-+=--22tan 223113tan 3233tan tan CCC C==≤=++，当且仅当3tan 3C =时取等号，∴B 取得最大值6π时，6c =，6C B π==，∴23A π=，由2222cos a b c bc A =+-，可得：3a b =.∵三角形的周长为3233a b c b b b ++=++=+.解得：233332b +==+，∴33a b ==.故答案为3.三、解答题17.【解析】（1）()2sin sin cos f x a b x x x =⋅=+⋅r r 1cos 2121sin 2sin 222242x x x π-⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，令242x k πππ-=+，k Z ∈，解得328k x ππ=+，k Z ∈.∴()f x 的对称轴方程为328k x ππ=+，k Z ∈.（2）∵,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴5212412x πππ≤-≤，又∵sin y x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，∴5sin sin 2sin 12412x πππ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，又562sinsin 12644πππ+⎛⎫=+=⎪⎝⎭，∴()f x 在,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最大值是()max 2621332424f x ++=⨯+=，∵()2f x m -<恒成立，∴()max 2m f x >-，即354m ->，∴实数m 的取值范围是35,4⎛⎫-+∞⎪ ⎪⎝⎭.18.【解析】（1）在ABC ∆中，点P 在BC 边上，60PAC ∠=o，2PC =，4AP AC +=.则：设AC x =，利用余弦定理得：2222cos PC AP AC AP AC PAC =+-⋅⋅∠，则：()()22144242x x x x =+---⋅，整理得：2312120x x -+=，解得：2x =，故：2AC =.（2）由于2AC =，4AP AC +=，所以：2AP =，所以APC ∆为等边三角形.由于APB ∆的面积是23，则1sin 232AP BP BPA ⋅⋅∠=，解得4BP =.在APB ∆中，利用余弦定理：2222cos AB BP AP BP AP BPA =+-⋅⋅⋅∠，解得：27AB =，在APB ∆中，利用正弦定理得：sin sin BP ABBAP BPA=∠∠，所以：427sin 32BAP =∠，解得：21sin 7BAP ∠=.19.【解析】（1）当0x <时，0x ->，∴()23x xf x ---=-，又函数()f x 是奇函数，∴()()f x f x -=-，∴()23xx f x -=+.又()00f =.综上所述()2,030,02,03xx x x f x x xx -⎧->⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎩.（2）()f x 为R 上的单调函数，且()()51003f f -=>=，∴函数()f x 在R 上单调递减.∵()()22220f t t f t k -+-<，∴()()2222f t t f t k -<--，∵函数()f x 是奇函数，∴()()2222f t t f k t -<-.又()f x 在R 上单调递减，∴2222t t k t ->-对任意t R ∈恒成立，∴2320t t k -->对任意t R ∈恒成立，∴4120k ∆=+<，解得13k <-.∴实数k 的取值范围为1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.20.【解析】（1）因为112133n n a a +=+，所以1111133n n a a +-=-.又因为1110a -≠，所以()*110n n N a -≠∈.所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列.（2）由（1）可得1121133n n a -⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，所以11213nn a ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭.2121111112333n n n S n a a a ⎛⎫=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭111133211313n n n n +-=+⨯=+--，若100n S <，则111003n n +-<，所以最大正整数n 的值为99.（3）假设存在，则2m n s +=，()()()2111m n s a a a --=-，因为332n n n a =+，所以2333111323232n m s n m s ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=- ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得3323m n s +=⨯.因为332323m n m n s ++≥⨯=⨯，当且仅当m n =时等号成立，又m ，s ，n 互不相等，所以不存在.21.【解析】（1）由题可知，函数()f x 的定义域为()0,+∞，()22'x x a f x x +-=，因为函数()f x 在区间[)1,+∞上为增函数，所以()'0f x ≥在区间[)1,+∞上恒成立，等价于()2min a x x ≤+，即2a ≤，所以a 的取值范围是(],2-∞.（2）由题得，()2ln g x x x ax a x =-+-，则()'ln 2g x x ax =-，因为()g x 有两个极值点1x ，2x ，所以11ln 2x ax =，22ln 2x ax =，欲证2312x x e >等价于证()2312ln ln 3x x e ⋅>=，即12ln 2ln 3x x +>，所以12322ax ax +>，因为120x x <<，所以原不等式等价于12324a x x >+.由11ln 2x ax =，22ln 2x ax =，可得()2211ln 2x a x x x =-，则()2121ln 2x x a x x =-，由此可知，原不等式等价于212112ln 32x x x x x x >-+，即()2211221121313ln 221x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>=++.设21x t x =，则1t >，则上式等价于()()31ln 112t t t t ->>+.令()()()31ln 112t h t t t t -=->+，则()()()()2141'12t t h t t t --=+，因为1t >，所以()'0h t >，所以()h t 在区间()1,+∞上单调递增，所以当1t >时，()()10h t h >=，即()31ln 12t t t ->+，所以原不等式成立，即2312x x e ⋅>.22.【解析】（1）曲线1C 的普通方程为4320x y +-=；曲线2C 的直角坐标方程为：2y x =.（2）1C 的参数方程转化为标准形式为325425x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入2y x =得29801500t t -+=，点P 的直角坐标为()2,2-，设1t ，2t 是A 、B 对应的参数，则12809t t +=，12503t t =.∴121211815PA PB t t PA PB PA PB t t +++===⋅.23.【解析】（1）当2a =时，()21f x x x =-+-，()2f x ≤，即212x x -+-≤，故1212x x x ≤⎧⎨-+-≤⎩或12212x x x <<⎧⎨-+-≤⎩或2212x x x ≥⎧⎨-+-≤⎩，解得：112x ≤≤或12x <<或522x ≤≤，故不等式的解集是15|22x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.（2）∵()1f x x ≤+的解集包含[]1,2，∴当[]1,2x ∈时，不等式()1f x x ≤+恒成立，即11x a x x -+-≤+在[]1,2x ∈上恒成立，∴11x a x x -+-≤+，即2x a -≤，∵22x a -≤-≤，∴22x a x -≤≤+在[]1,2x ∈上恒成立，∴()()max min 22x a x -≤≤+，∴03a ≤≤，∴a 的取值范围是[]0,3.。

湖南省长沙市长郡中学2024届高考适应考试（三）数学试题本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数cos 75isin 75z =︒+︒，则22||z z =（ ）．A. 1i 2-B. 1i 2+C. 12-D. 12. 在6(2)x y -展开式中，42x y 的系数为（ ） A. 30B. 60C. 40D. -603. 设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊂α，αβ∥，则“m l ⊥”是“m β⊥”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知函数()()22log ,01,0x x f x x x >⎧⎪=⎨+<⎪⎩，()()1g x f x =--，则()g x 的图象大致是（ ） A. B.的.C. D.5. 已知向量1a b == ，且a 与b 的夹角为θ，0a b ⋅> ，向量2a b - 与2a b + 的夹角为π3，则cos θ=（ ）A.B.C.D.6. 已知点()2,2A -为抛物线2:2C x py =上一点，P 为C 上不同于点A 的一个动点，过P 作PA 的垂线与C 交于另一点B ，则点B 的横坐标的取值范围是（ ）A. ()⎤⎡-∞-+∞⎦⎣ ,62, B. ()[),26,-∞-+∞ C. ()(),62,-¥-+¥UD. ()(),26,-∞-+∞7. 中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台(古人称方台)体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图1为俯视图，图2为立体切面图.E 对应的是正四棱台中间位置的长方体，,,,B D H F 对应四个三棱柱，A C I G ,,,对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为（ ）A. 20B. 24C. 28D. 328. 从集合{1,2,3,4}U =的非空子集中随机取出两个不同的集合A ，B ，则在A B U ⋃=的条件下，A B ⋂恰有1个元素的概率为（ ） A.839B.1639C.3279D.25二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生β衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量N 随时间t (单位:年)的衰变规律满足12.432t N N -=⋅，其中0N 表示氚原有的质量，则（ ）(参考数据:lg 20.301≈)A. 212.43log N t N = B. 经过24.86年后，样本中的氚元素会全部消失 C. 经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的132D. 若x 年后，样本中氚元素的含量为00.4N ，则16x >10. 在前n 项和为n S 的正项等比数列{}n a 中，148a a =，322a a =+，2log 1nn n a b S =+，则（ ） A. 65448a a -=- B. 7127S =C. 21n n S a =-D. 数列{}n b 中的最大项为2b11. 一般地，如果一个四面体存在由同一点出发的三条棱两两垂直，我们把这种四面体叫做直角四面体，记该点为直角四面体的直角顶点，两两垂直的三条棱叫直角四面体的直角棱，任意两条直角棱确定的面叫直角四面体的直角面，除三个直角面外的一个面叫斜面．若一个直角四面体的三条直角棱长分别为a ，b ，c ，直角顶点到斜面的距离为d ，其内切球的半径为r ，三个直角面的面积分别为1S ，2S ，3S ，三个直角面与斜面所成的角分别为α，β，γ，斜面的面积为S ，则（ ） A. 直角顶点在斜面上的射影是斜面的内心 B. 222cos cos cos 1αβγ++=C. 123S S S S <++≤D.11111a b c d r+++= 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 记样本数据10，18，8，4，16，24，6，8，32中位数为a ，平均数为b ，则a b -=______．13. 已知R a ∈，函数()211+10π()sin 2,022x x x a x x f x x --+⎧+<⎪⎪=⎨⎪>⎪+⎩，,当0x >时，函数()f x 的最大值是_____；若函数()f x 的的图象上有且只有两对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是______．14. 设{}max ,,a b c 为实数,,a b c 中最大的数．若，0,0,0x y z >>>，则111max ,,y xz x y yz x z ⎧⎫+++⎨⎬⎩⎭的最小值为______．四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 已知函数()ln f x x ax =-，其中a ∈R .（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线在两坐标轴上的截距相等，求a 的值;（2）是否存在实数a ，使得()f x 在(]0,e x ∈上的最大值是3-?若存在，求出a 的值;若不存在，说明理由. 16. 如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 在底面圆周上，,AF DE F ⊥为垂足.（1）求证：AF DB ⊥.（2）当直线DE 与平面ABE 所成角的正切值为2时， ①求平面EDC 与平面DCB 夹角的余弦值； ②求点B 到平面CDE 的距离.17. 植物迷宫源自于西方国家，在西方国家十分盛行，发展到现在，已经是西方园林植物文化的代表之一．目前植物迷宫的发展已经遍布世界各地，最大的、最长的、最复杂的等等迷宫形式已经成为各大以乡村或农业等为主打的景区，吸引游客的一项重要手段．某乡镇为发展旅游业，欲打造植物迷宫，现就蔬菜迷宫、粮食迷宫两款征询90名村民代表的意见（每人可选一款支持，也可保持中立），其中男、女村民代表的比例为2:1，得到相关统计数据如下：支持蔬菜迷宫 支持粮食迷宫 中立（两种均可）人数 45 3015（1）根据村民代表意见，利用分层随机抽样的方法抽取12名村民代表，再从这12人中随机抽取4人，记其中支持粮食迷宫的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．（2）在90名村民代表中，蔬菜种植能手与粮食种植能手的相关统计数据如下，其中,a b 为正整数，且.的328a b +=．男村民代表 女村民代表蔬菜种植能手 40 10 粮食种植能手a2b现从这90名村民代表中任选一名去参与迷宫设计讨论，记事件M 为“选到的为女村民代表”，事件N 为“选到的为粮食种植能手”．若事件M 与事件N 相互独立，求,a b 的值．18. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率e =．（1）若椭圆E 过点(，求椭圆E 的标准方程．（2）若直线1l ，2l 均过点()()*,00,n n P p p a n <<∈N 且互相垂直，直线1l 交椭圆E 于,A B 两点，直线2l 交椭圆E 于,C D 两点，,M N 分别为弦AB 和CD 的中点，直线MN 与x 轴交于点(),0n Q t ，设13n np =. （ⅰ）求n t ；（ⅱ）记n a PQ =，求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．19. 若ABC 内一点P 满足PAB PBC PCA θ∠=∠=∠=，则称点P 为ABC 的布洛卡点，θ为ABC 的布洛卡角．如图，已知ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，点P 为的布洛卡点，θ为ABC 的布洛卡角．（1）若b c =，且满足PBPA=ABC ∠的大小． （2）若ABC 为锐角三角形．（ⅰ）证明：1111tan tan tan tan BAC ABC ACBθ=++∠∠∠． （ⅱ）若PB 平分ABC ∠，证明：2b ac =．参考答案一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数cos 75isin 75z =︒+︒，则22||z z =（ ）．A. 1i 2-B. 1i 2+C. 12-D. 1【答案】A 【解析】【分析】根据题意先求出复数的模，然后再根据复数的运算即可求解.【详解】因为复数cos 75isin 75z =︒+︒，所以222cos 75sin 751z =︒+︒=，则2222||111i cos 752sin 75cos75i sin 75cos150sin150i2z z ====-︒+︒︒-︒︒+︒，故选：A .2. 在6(2)x y -的展开式中，42x y 的系数为（ ） A. 30 B. 60 C. 40 D. -60【答案】B 【解析】【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再由题意确定r 值并解出42x y 的系数即可. 【详解】因为6(2)x y -的展开式的通项为:66166C (2)C (2)r rr rr r r r T xy x y --+=-=-，依题意知2r =，可得:42x y 的系数为226C (2)15460-=⨯=. 故选：B .3. 设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊂α，αβ∥，则“m l ⊥”是“m β⊥”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据点线面的位置关系结合充分条件和必要条件判断即可. 【详解】若m l ⊥，l ⊂α，αβ∥，则m 与β的位置关系不能确定；若m β⊥，因为αβ∥，所以m α⊥，又l ⊂α，所以m l ⊥成立.所以“m l ⊥”是“m β⊥”的必要不充分条件. 故选：B4. 已知函数()()22log ,01,0x x f x x x >⎧⎪=⎨+<⎪⎩，()()1g x f x =--，则()g x 的图象大致是（ ） A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用0x >时的解析式的图象即可得到选项. 【详解】令0x >，则0x -<， 所以()()21f x x -=-+，()()()2111g x f x x =--=--，则在y 轴右侧为部分抛物线，对称轴为1x =，()0g x =时，2x =或0，且()0,0处为空心，()11g =-， 排除ACD. 故选：B5. 已知向量1a b == ，且a 与b 的夹角为θ，0a b ⋅> ，向量2a b - 与2a b + 的夹角为π3，则cos θ=（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】由题意1a b == ，cos 0a b θ⋅=> ，然后由模长公式、数量积的运算公式分别表示出()(),22,22b a b a b a a b +-⋅-+，最终列出方程求解即可.【详解】由题意cos cos 0a b a b θθ⋅=⋅=> ，而()()2223223co 2s a b a b a a b b θ+-⋅-=--⋅= ，22a b b -====，又向量2a b - 与2a b +的夹角为π3，所以π1c os32==，即2236cos 2516cos θθ=-,又cos 0a b θ⋅=> ，所以解得cos θ=. 故选：A.6. 已知点()2,2A -为抛物线2:2C x py =上一点，P 为C 上不同于点A 的一个动点，过P 作PA 的垂线与C 交于另一点B ，则点B 的横坐标的取值范围是（ ）A. ()⎤⎡-∞-+∞⎦⎣ ,62, B. ()[),26,-∞-+∞ C. ()(),62,-¥-+¥UD. ()(),26,-∞-+∞【答案】A 【解析】【分析】求出抛物线方程，利用PA PB ⊥，得到()221212420x x x x +-+-=，再利用Δ0≥求解即可.【详解】因为()2,2A -为抛物线C 上一点，所以()224p -=，解得1p =，所以22x y =．设211,2x B x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，222,2x P x ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意知直线,PA PB 的斜率均存在且均不为0， 由PA PB ⊥，得1PA PBk k ⋅=-，即222221221222212x x x x x x --⨯=-+-，化简得()221212420x x x x +-+-=， 则关于2x 的方程一定有解，故()()211Δ24420x x =---≥，即2114120x x +-≥，解得16x ≤-或12x ≥，故选：A ．7. 中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台(古人称方台)体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图1为俯视图，图2为立体切面图.E 对应的是正四棱台中间位置的长方体，,,,B D H F 对应四个三棱柱，A C I G ,,,对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为（ ）A. 20B. 24C. 28D. 32【答案】C 【解析】【分析】令四棱锥的底面边长为a ，高为h ，三棱柱的高为b ，由四个三棱柱的体积之和与四个四棱锥的体积之和，可得23a h =和6abh =，则有2b a =，求出中间长方体的体积，即可得该正四棱台的体积. 【详解】如图，令四棱锥的底面边长为a ，高为h ，三棱柱的高为b ， 依题意，四棱锥的体积为2113a h =，即23a h =， 三棱柱的体积为132ahb =，即6abh =，因此2b a =，于是长方体的体积22412V b h a h ===， 所以该正四棱台的体积为1241228++=. 故选：C.8. 从集合{1,2,3,4}U =的非空子集中随机取出两个不同的集合A ，B ，则在A B U ⋃=的条件下，A B ⋂恰有1个元素的概率为（ ） A.839B.1639C.3279D.25【答案】B 【解析】【分析】按照要求分类讨论计算即可. 【详解】由题意可分以下四种情况讨论：①若A 中有一个元素，则B 中至少有三个元素，此时满足A B U ⋃=的情况有142C 种，而满足A B ⋂恰有1个元素的有14C 种；②若A 中有两个元素，则B 中至少有两个元素，此时满足A B U ⋃=的情况有()2142C 1C 1⨯++种，而满足A B ⋂恰有1个元素的有2142C C ⨯种；③若A 中有三个元素，则B 中至少有一个元素，此时满足A B U ⋃=的情况有()312433C 1C C 1⨯+++种，而满足A B ⋂恰有1个元素的有3143C C ⨯种；④若A 中有四个元素，则B 中至少有一个元素，此时满足A B U ⋃=的情况有()41234444C C C C ⨯++种，而满足A B ⋂恰有1个元素的有4144C C ⨯种；故满足题意的概率为：41212416824321439+++=+++，故选：B【点睛】本题考查集合与古典概型，较为新颖，属于较难题.关键在于分类讨论要不重复不遗漏，需要较高的逻辑思维.二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生β衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量N 随时间t (单位:年)的衰变规律满足12.432t N N -=⋅，其中0N 表示氚原有的质量，则（ ）(参考数据:lg 20.301≈)A. 212.43log N t N = B. 经过24.86年后，样本中的氚元素会全部消失 C. 经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的132D. 若x 年后，样本中氚元素的含量为00.4N ，则16x > 【答案】CD 【解析】【分析】利用给定式子进行化简判断A ，代入求值判断B ，C ，解方程求出x ，再判断D 即可. 【详解】由题意得12.4302t N N -=⋅，故有12.4302t NN -=， 左右同时取对数得20log 12.43N t N =-，故得2012.43log t N N =-，故A 错误， 当24.86t =时，24.86212.430002214N N N N --===⋅⋅，故B 错误， 而当62.15t =时，62.15512.4300012232N N N N --=⋅==⋅， 得到经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的132，故C 正确， 由题意得12.43000.42x N N -=⋅，化简得02200.4212.43log 12.43log 5x N N =-=-， 222lg 51lg 212.43(log 2log 5)12.43(1log 5)12.43(112.43(1)lg 2lg 2-=--=--=--=--，将lg 20.301≈代入其中，可得10.30112.43116.43160.301x -⎛⎫≈--=> ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：CD10. 在前n 项和为n S 的正项等比数列{}n a 中，148a a =，322a a =+，2log 1nn n a b S =+，则（ ） A. 65448a a -=- B. 7127S =C. 21n n S a =-D. 数列{}n b 中的最大项为2b【答案】BC 【解析】【分析】利用等比数列的性质和通项公式，逐项判断选项A 、B 、C ；对于选项D ，由2log 112n n n n a n b S -==+，令()12n n f n -=，利用 ()()11121222n nn n n nf n f n ++--+-=-=研究数列的增减性即可得出. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由148a a =，有238a a =， 联立方程23328,2,a a a a =⎧⎨=+⎩解得232,4a a =⎧⎨=⎩或234,2a a =-⎧⎨=-⎩（舍去），有322a q a ==，可得2212222n n n n a a q ---==⨯=． 对于A 选项，由56232a ==，45216==a ， 有654326432a a -=-=-，故A 选项错误；对于B 选项，771212712S -==-，故B 选项正确；对于C 选项，由122112nn n S -==--，有21n n S a =-，故C 选项正确；对于D 选项，由()122log log 2112211n n n n n a n S --==+-+， 令()12n n f n -=，有()()11121222n n n n n n f n f n ++--+-=-=， 可得()()()()1234f f f f <=>>⋅⋅⋅有()()()max 1234f n f f ===，可得数列{}n b 中的最大项为2b 或3b ，故D 选项错误， 故选：BC ．11. 一般地，如果一个四面体存在由同一点出发的三条棱两两垂直，我们把这种四面体叫做直角四面体，记该点为直角四面体的直角顶点，两两垂直的三条棱叫直角四面体的直角棱，任意两条直角棱确定的面叫直角四面体的直角面，除三个直角面外的一个面叫斜面．若一个直角四面体的三条直角棱长分别为a ，b ，c ，直角顶点到斜面的距离为d ，其内切球的半径为r ，三个直角面的面积分别为1S ，2S ，3S ，三个直角面与斜面所成的角分别为α，β，γ，斜面的面积为S ，则（ ） A. 直角顶点在斜面上的射影是斜面的内心 B. 222cos cos cos 1αβγ++=C. 123S S S S <++≤D.11111a b c d r+++= 【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，作出辅助线，证明出线面垂直，得到BC ⊥AO ，同理可得AC ⊥BO ，AB ⊥CO ，确定O 为ABC 的垂心，不一定为内心，A 错误；B 选项，证明线面垂直，求出2222123S S S S =++，由线面角定义得到1cos S PF AF S α==，同理可得32cos ,cos S S S Sβγ==，推出222cos cos cos 1αβγ++=；C 选项，先得到123S S S S <++，在2222123S S S S =++基础上推出123S S S ++≤，得到答案；D 选项，求出直角四面体的体积1163V abc Sd ==得到3V Sd =，2dS abc =，结合()12313S S S S r V +++=和123111,,222S bc S ac S ab ===，推出结论.【详解】A 选项，连接AO ，由于PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，且PB PC P ⋂=，,PB PC ⊂平面PBC ， 所以PA ⊥平面PBC ，又BC ⊂平面PBC ，所以PA ⊥BC ，因为PO ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PO ⊥BC ， 因为PA PO P =I ，,PA PO ⊂平面PAO ，所以BC ⊥平面PAO ， 因为AO ⊂平面PAO ，所以BC ⊥AO ， 同理可得AC ⊥BO ，AB ⊥CO ，故O 为ABC 的垂心，不一定为内心，A 错误；B 选项，由A 可知，PA ⊥平面PBC ，BC ⊥平面PAO ，延长AO 交BC 于点F ，连接PF ，因为PF ⊂平面PBC ，PF ⊂平面PAO ， 则PA ⊥PF ，BC ⊥PF ，设,,PA a PB b PC c ===，在Rt PBC 中，BC =，PF =，故AF ==， 又123111,,222S bc S ac S ab ===，所以12S BC AF =⋅==，故2222222222123111444S a b a c b c S S S =++=++， 设直角面,,PBC PAC PAB 与斜面ABC 所成角分别为,,αβγ， 则1cos cos S PF PFA AF S α=∠==，同理可得32cos ,cos S S S Sβγ==， 故2222123222c 1os cos cos S S S Sαβγ++=++=，B 正确； C 选项，显然123S S S S <++，且()222222221231231231223133333222S S S S S S S S S S S S S S S S -++=++------ ()()()2222221231223131223132222220S S S S S S S S S S S S S S S =++---=-+-+-≥，故123S S S ++≤，当且仅当123S S S ==时，等号成立，综上，123S S S S <++≤，C 正确；D 选项，直角四面体的体积11113263V abc abc Sd =⨯==，故3V Sd =，2dS abc =，又()12313S S S S r V +++=，123111,,222S bc S ac S ab ===， 所以12311112223bc ac ab SS S S S r V Sd ++++++==11222111bc ac ab Sd Sd S db d d ac ==++++++，D 正确故选：BCD【点睛】关键点点睛，本题的关键是通过面积公式和勾股定理等推出2222123S S S S =++，再判断BCD 选项.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 记样本数据10，18，8，4，16，24，6，8，32的中位数为a ，平均数为b ，则a b -=______． 【答案】4- 【解析】【分析】先将样本数据按从小到大进行排列，再根据样本数据的中位数、平均数概念和公式进行计算即可. 【详解】将样本数据按从小到大的顺序排列，得4，6，8，8，10，16，18，24，32， 所以中位数10a =， 由平均数的计算公式得()146881016182432149b =++++++++=， 所以10144a b -=-=-. 故答案为：4-.13. 已知R a ∈，函数()211+10π()sin 2,022x x x a x x f x x --+⎧+<⎪⎪=⎨⎪>⎪+⎩，,当0x >时，函数()f x 的最大值是_____；若函数()f x 的图象上有且只有两对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是______． 【答案】 ①.12##0.5 ②. 1(1,2-【解析】【分析】第一空，根据分段函数解析式，对于0x > 时的解析式，利用均值不等式结合正弦函数性质即可求得最小值；第二空，把函数()f x 的图象上有且只有两对点关于y 轴对称转化为()(0)f x x < 的图象关于y 轴对称的函数图象与()(0)f x x >仅有两个交点的问题，数形结合，求得答案..【详解】当0x > 时，()11πsin222x x xf x --+=+，令111111()2222,2x x x x f x --+--=+=+≥，当11122x x --= ，即1x =时取等号， 即当1x =时，1min ()2f x = ，令22π()sin ,()[1,1]2f x x f x =∴∈-， 又因为2max 2π()(1)sin 12f x f ===,则2max max 1min ()1()()2f x f x f x ==;因为()f x 图象仅有两对点关于y 轴对称，即(),(0)f x x < 图象关于y 轴对称的函数图象与(),(0)f x x >图象仅有两个交点， 当0x < 时，2()(1)f x x a =++ ， 设其关于y 轴对称函数为()g x ， ∴2()()(1),(0)g x f x x a x =-=-+>，∵()11πsin2,(0)22x x xf x x --+=>+， 由（1）可知近似图象如图所示：(0)0g =时，1a =-，当()g x 与()f x 仅有两个交点时，112a -<<， 综上，a 的取值范围是1(1,)2- ， 故答案为：12；1(1,)2-．的的【点睛】本题考查了分段函数最值的求解以及参数的范围求解，涉及到三角函数以及均值不等式的知识，综合性较强，解答时要注意数形结合的思想方法,解答的关键是把函数()f x 的图象上有且只有两对点关于y 轴对称转化为()(0)f x x < 的图象关于y 轴对称的函数图象与()(0)f x x >仅有两个交点的问题.14. 设{}max ,,a b c 为实数,,a b c 中最大的数．若，0,0,0x y z >>>，则111max ,,y xz x y yz x z ⎧⎫+++⎨⎬⎩⎭的最小值为______． 【答案】2 【解析】【分析】设111max ,,y A xz x y yz x z ⎧⎫=+++⎨⎬⎩⎭，分01,1z z <≤>，分类讨论代数式间的大小关系，利用基本不等式求得A 的最小值，即可求解． 【详解】设111max ,,y A xz x y yz x z ⎧⎫=+++⎨⎬⎩⎭， 则10A xz y ≥+>，10A x yz ≥+>，10y A x z≥+>， 因为11(A xz z x y yz ≥+=+ ，当01z <≤时，只需考虑10A x yz ≥+>，10y A x z ≥+>，又因为11A x x yz y ≥+≥+≥，11y y A x z x ≥+≥+≥两式相乘得24A ≥=，可得2A ≥，当且仅当1x y z ===时取等号， 当1z >时，110x xz yz y <+<+，只需考虑1A xz y ≥+，1y A x z≥+，两式相乘得211114y A xz x yz y x z x yz ⎛⎫⎛⎫≥++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 则2A ≥，当且仅当1x y z ===时取等号， 因为1z >，故2A >，综上所述，A 的最小值为2． 故答案为：2.【点睛】关键点点睛：本题的关键是对z 分01z <≤和1z >讨论，当01z <≤时利用基本不等式得到11A x x yz y ≥+≥+≥，11y y A x z x ≥+≥+≥2A ≥，同理当1z >时，利用该方法亦可得2A ≥.四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()ln f x x ax =-，其中a ∈R .（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线在两坐标轴上的截距相等，求a 的值;（2）是否存在实数a ，使得()f x 在(]0,e x ∈上的最大值是3-?若存在，求出a 的值;若不存在，说明理由. 【答案】（1）2a =；（2）存在，2e a = 【解析】【分析】（1）结合导数的几何意义求出切线方程即可求出参数值.（2）含参分类讨论，利用导数求函数的单调性，进而得到最大值，分别求解即可得到参数值. 【小问1详解】1()f x a x'=-，则(1)1,(1)f a f a '=-=-， 故曲线()y f x =在1x =处的切线为(1)(1)y a a x +=--， 即(1)1y a x =--，当1a =时，此时切线为1y =-，不符合要求 当1a ≠时，令0x =，有1y =-， 令0y =，有11x a =-，故111a=--，即2a =，故2a = 【小问2详解】11()ln ,()axf x x ax f x a x x-=-∴=-= ， ①当0a ≤时，()f x 在(0,e]上单调递增， ()f x ∴的最大值是(e)1e 3f a =-=-，解得40ea =>，舍去;②当0a >时，由11()0axf x a x x-=-==，得1x a =，当10e a <<，即1e >a 时，10,x a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭时，1()0;,e f x x a ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，()f x ∴的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又()f x 在(0,e]上的最大值为2max 13,()1ln 3,e f x f a a a ⎛⎫-∴==--=-∴=⎪⎝⎭; 当1e a≤，即10e a <≤时，()f x 在(0,e]上单调递增，max ()(e)1e 3f x f a ∴==-=-，解得41e ea =>，舍去. 综上所述，存在a 符合题意，此时2e a =16. 如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，点E 在底面圆周上，,AF DE F ⊥为垂足.（1）求证：AF DB ⊥.（2）当直线DE 与平面ABE 所成角正切值为2时， ①求平面EDC 与平面DCB 夹角的余弦值； ②求点B 到平面CDE 的距离. 【答案】（1）证明见解析（2）；【解析】【分析】（1）利用线面垂直得到AF ⊥平面BED ，进而证明AF DB ⊥即可. （2）①建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法处理即可. ②利用点到平面的距离公式求解即可.的【小问1详解】由题意可知DA ⊥底面,ABE BE ⊂平面ABE ，故BE DA ⊥， 又,,,BE AE AE DE E AE DE ⊥⋂=⊂平面AED ， 故BE ⊥平面AED ，由AF ⊂平面AED ，得AF BE ⊥， 又,,,AF DE BE DE E BE DE ⊥⋂=⊂平面BED ， 故AF ⊥平面BED ，由DB ⊂平面BED ，可得AF DB ⊥. 【小问2详解】①由题意，以A 为原点，分别以AB ，AD 所在直线为y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，并设AD 的长度为2，则(0,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,0,2)A B C D ， 因为DA ⊥平面ABE ，所以DEA ∠就是直线DE 与平面ABE 所成的角， 所以tan 2DADEA AE∠==，所以1AE =，所以1,02E ⎫⎪⎪⎭由以上可得1(0,2,0),,22DC DE ⎫==-⎪⎪⎭， 设平面EDC 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n DC n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,120,2y x y z =⎧+-= 取4x =，得n =.又(1,0,0)m =是平面BCD 的一个法向量，设平面EDC 与平面DCB 夹角的大小为θ，所以cos cos m θ= ， 所以平面EDC 与平面DCB. ②因为3,02BE ⎫=-⎪⎪⎭，所以点B 到平面CDE的距离d . 17. 植物迷宫源自于西方国家，在西方国家十分盛行，发展到现在，已经是西方园林植物文化的代表之一．目前植物迷宫的发展已经遍布世界各地，最大的、最长的、最复杂的等等迷宫形式已经成为各大以乡村或农业等为主打的景区，吸引游客的一项重要手段．某乡镇为发展旅游业，欲打造植物迷宫，现就蔬菜迷宫、粮食迷宫两款征询90名村民代表的意见（每人可选一款支持，也可保持中立），其中男、女村民代表的比例为2:1，得到相关统计数据如下： 支持蔬菜迷宫 支持粮食迷宫 中立（两种均可）人数 4530 15（1）根据村民代表的意见，利用分层随机抽样的方法抽取12名村民代表，再从这12人中随机抽取4人，记其中支持粮食迷宫的人数为X ，求X 的分布列与数学期望．（2）在90名村民代表中，蔬菜种植能手与粮食种植能手的相关统计数据如下，其中,a b 为正整数，且328a b +=． 男村民代表 女村民代表蔬菜种植能手 40 10粮食种植能手 a2b 现从这90名村民代表中任选一名去参与迷宫设计讨论，记事件M 为“选到的为女村民代表”，事件N 为“选到的为粮食种植能手”．若事件M 与事件N 相互独立，求,a b 的值．【答案】（1）分布列见解析，()43E X =（2）16,4a b ==【解析】【分析】（1）根据题意，得到变量X 所有可能取值为0,1,2,3,4，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解；（2）根据题意，分别求得则()301903P M ==，()290a b P N +=，()29045b b P MN ==，结合()()()P M P N P MN =，列出方程，即可求解.【小问1详解】解：由题知支持蔬菜迷宫、支持粮食迷宫、中立的人数之比为3:2:1，所以随机抽取的12人中，支持蔬菜迷宫、支持粮食迷宫、中立的人数分别为6,4,2，所以随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，可得()48412C 140C 99P X ===，()3184412C C 2241C 495P X ===，()2284412C C 562C 165P X ===， ()1384412C C 323C 495P X ===，()44412C 14C 495P X ===， 所以随机变量X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1499 224495 56165 32495 1495所以期望为()1422456321401234994951654954953E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 【小问2详解】 解：因为在90名村民代表中，男、女村民代表的比例为2:1，所以女村民代表有30名，则()301903P M ==，()290a b P N +=，()29045b b P MN ==． 若事件M 与事件N 相互独立，则()()()P M P N P MN =，即1239045a b b +⨯=，可得4a b =． 又因为328a b +=，所以16,4a b ==．的18. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率e =．（1）若椭圆E 过点(，求椭圆E 的标准方程．（2）若直线1l ，2l 均过点()()*,00,n n P p p a n <<∈N 且互相垂直，直线1l 交椭圆E 于,A B 两点，直线2l 交椭圆E 于,C D 两点，,M N 分别为弦AB 和CD 的中点，直线MN 与x 轴交于点(),0n Q t ，设13n n p =. （ⅰ）求n t ；（ⅱ）记n a PQ =，求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ． 【答案】（1）22184x y +=（2）（ⅰ）123n n t +=；（ⅱ）9(31)2n n S =-. 【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率得到,a b 之间的关系，再结合椭圆过点(，求出2b 的值，从而得到椭圆的方程.（2）（ⅰ）利用根与系数的关系及中点坐标公式求得点,M N 的坐标，再根据,,M N Q 三点共线得,n n t p 之间的关系；（ⅱ）求得n a ，并利用等比数列的前n 项和公式求得n S .【小问1详解】因为c e a ==，222a b c =+，所以222a b =， 所以椭圆E 的方程为222212x y b b+=，因为椭圆E 过点(，所以224212b b+=，解得24b =， 所以椭圆E 的方程为22184x y +=.【小问2详解】（ⅰ）当直线12,l l 中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，直线MN 与x 轴重合，不符合题意.故直线12,l l 的斜率均存在且不为0.设直线1l 的方程为()(0)n y k x p k =-≠，1122(,),(,),(,),(,)M M N N A x y B x y M x y N x y , 联立方程222212()n x y b b y k x p ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 并整理得222222(12)4220n n k x k p x k p b +-+-=， 因为直线与椭圆相交于两个不同的交点，所以0∆>， 根据韦达定理得，2222121222422,1212n n p k k p b x x x x k k-+==++， 则22221212n M n M p k x k p ky k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 同理可得22222n N n N p x k p ky k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，因为,,M N Q 三点共线，所以()()()N N M N M N n y x x y y x t -=--，易知0N M y y -≠， 则22222222221222123212n n n n M N N M n n n n N M p k p k p p k x y x y p k k k k t p k p k y y k k-⋅-⋅-++++===---++， 因为13n n p =，所以123n n t +=. （ⅱ）结合（ⅰ）可知11121||||||333n n n n n n a PQ p t ++==-=-=， 所以113n na +=， 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为9，公比为3的等比数列，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和9(13)9(31)132n n n S -==--.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆相交以及等比数列求和的问题.其中关键点是联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理和,,M N Q 三点共线，求出点Q 的坐标，从而得到n t .19. 若ABC 内一点P 满足PAB PBC PCA θ∠=∠=∠=，则称点P 为ABC 的布洛卡点，θ为ABC 的布洛卡角．如图，已知ABC 中，BC a =，AC b =，AB c =，点P 为的布洛卡点，θ为ABC 的布洛卡角．（1）若b c =，且满足PB PA=ABC ∠的大小． （2）若ABC 为锐角三角形．（ⅰ）证明：1111tan tan tan tan BAC ABC ACBθ=++∠∠∠． （ⅱ）若PB 平分ABC ∠，证明：2b ac =．【答案】（1）π6（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（1）先判断PCB 与PBA △相似，进而得到a =，应用余弦定理求出cos ABC ∠的值即可；（2）（ⅰ）在ABC 内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式得：222111tan tan tan 4ABCa b c BAC ABC ACB S ++++=∠∠∠ ，针对θ分别在PAB 、PBC 和PCA V 内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式，且ABC PAB PBC PAC S S S S =++表示出三角形的面积，由余弦定理形式相加，再化简整理得：2221tan 4ABCa b c S θ++= ，即可得证；（ⅱ）得出222a b c ++与ABC S 的等量关系，再利用余弦定理和三角形的面积公式，PB 平分ABC ∠，将1sin 22ABC S ac θ=代入，化简整理即可得证.【小问1详解】若b c =，即AB AC =，得A ABC CB =∠∠，点P 满足PAB PBC PCA θ∠=∠=∠=，则PCB PBA ∠=∠，在PCB 和PBA △中，PCB PBA ∠=∠，PAB PBC θ∠=∠=，所以PCB 与PBA △相似，且PB PA =所以BC a AB c==，即a =， 由余弦定理得：222cos 2a a BC c A b c+-=∠，且a =，b c =，得cos ABC ∠==，且0πB <<， 所以π6ABC ∠=； 【小问2详解】（ⅰ）在ABC 内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：2222221cos tan sin 2sin 4ABCBAC b c a b c a BAC BAC bc BAC S ∠+-+-===∠∠∠ ， 2222221cos tan sin 2sin 4ABCABC a c b a c b ABC ABC ac ABC S ∠+-+-===∠∠∠ ， 2222221cos tan sin 2sin 4ABCACB a b c a b c ACB ACB ab ACB S ∠+-+-===∠∠∠ ，三式相加可得：222111tan tan tan 4ABCa b c BAC ABC ACB S ++++=∠∠∠ ① 在PAB 内，应用余弦定理以及三角形的面积公式得：2222221cos tan sin 2sin 4PABAP c BP AP c BP AP c S θθθθ+-+-===⋅ ， 在PBC 和PCA V 内，同理：2221tan 4PBC BP a CP S θ+-= ，2221tan 4PCACP b AP S θ+-= ， 三式相等：2222222221tan 444PAB PBC PCAAP c BP BP a CP CP b AP S S S θ+-+-+-=== ， 因为ABC PAB PBC PCA S S S S =++ ，由等比性质得：2222222222221()()()tan 4444PAB PBC PCA ABCAP c BP BP a CP CP b AP a b c S S S S θ+-++-++-++==++ ② 由①②式可证得：1111tan tan tan tan BAC ABC ACB θ=++∠∠∠； （ⅱ）因为111sin sin sin 222ABCPAB PBC PAC S S S S c AP a BP b CP θθθ=++=⋅+⋅+⋅ ， 即()1sin 2ABC S c AP a BP b CP θ=⋅+⋅+⋅ ， 所以2sin ABC S c AP a BP b CP θ⋅+⋅+⋅= ， 在,,PAB PBC PAC 中，分别由余弦定理得：2222cos BP c AP c AP θ=+-⋅，2222cos CP a BP a BP θ=+-⋅，2222cos AP b CP b CP θ=+-⋅，三式相加整理得()2222cos c AP a BP b CP a b c θ⋅+⋅+⋅=++， ()2222cos a b c c AP a BP b CP θ++=⋅+⋅+⋅， 将2sin ABC S c AP a BP b CP θ⋅+⋅+⋅= 代入得： 22222cos sin ABC S a b c θθ++=⋅ 若PB 平分ABC ∠，则2ABC θ∠=，1sin 22ABC S ac θ=， 所以22222sin 22cos 2cos 4cos sin sin ABC S ac a b c ac θθθθθθ++=⋅=⋅= ③又由余弦定理可得：()2222222cos 22cos sin a c b ac b ac θθθ+=+=+-④ 由③-④得：()22222sin cos b b ac θθ=-++ 所以()222sin cos b ac θθ=+， 所以2b ac =.【点睛】关键点点睛：根据ABC PAB PBC PAC S S S S =++表示出三角形得面积，在,,PAB PBC PAC 中，由余弦定理相加，得出222a b c ++与ABC S 的等量关系，是解决本题的关键.。

长郡中学2024届高考适应性考试(四)化学参考答案一、选择题：本题共14小题，每小题3分，共42分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、非选择题：本题共4小题，共58分。

15. (除标注外，每空2分，共15分)(1)abde(2)①红(1分)②不仅可以充分吸收逸出的氨气，还不用增加常规的防倒吸装置(3)①1(1分) 2 ( 1 分)②2MnO₄+16H++10Cl-====5Cl₂↑+2Mn²++8H₂O(4)adecbf ( 或aedcbf) 作安全瓶，防倒吸(1分)排尽装置内的空气(合理即可)(1分)(5)0.075 mol Cu₂O 、0.075 molCu 16. (除标注外，每空2分，共14分)(1)[Ar]3d¹04s²4p²(2)3GeO₂·2Bi₂O₃(3)①若低于40℃,则浸出速率太慢，若高于40℃,盐酸易挥发，且不利于PbCl₂结晶析出2.3②6Fe³++Bi₂S₃===6Fe²++3S+2Bi³+(4)正八面体17. (除标注外，每空2分，共14分)(1)2CO₂(g)+6H₂(g) CH₃OCH₃(g)+3H₂O(g) △H=-122.5kJ·mol- ¹ K²1·K₂(1 分)(2)反应①的△Hi>0,CO₂转化为CH₃OCH₃的反应的△H<0, 温度升高，使CO₂转化为CO 的平衡转化率上升，而CO₂转化为CH₃OCH₃ 的平衡转化率下降，且温度低于300℃时，下降幅度超过上升幅度(3)pi>p₂>p₃CDEC点前反应③未达到平衡，随着温度的升高，化学反应速率加快，CO₂的转化率升高，因为反应③的△H₃<0,C 点时反应③达到平衡，随着温度的升高，反应③平衡逆向移动，CO₂的转化率降低(4)不变(1分)(18. (除标注外，每空2分，共15分)参考答案 (1分);羟基、羧基(2分)(2)水解反应(或取代反应)(1分)(3)O₂/催化剂，△(或其他合理答案)(2分)(2分)。

2021年湖南长沙长郡中学高三入学考试数学（文）试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集{|1}U x x =>，集合{|2}A x x =>，则U C A =（ ）A ．{|12}x x <≤B ．{|12}x x <<C ．{|2}x x >D ．{|2}x x ≤2．设i 是虚数单位，则复数25()2i i -+=+（ ） A ．22i - B ．1i - C ．3i - D ．115i -3．已知(cos ,sin )66a ππ=，55(cos ,sin )66b ππ=，则||a b -=（ ） A ．1 B ．62 C ．3 D ．1024．分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m >n 的概率为 ( )A ．710B ．310 C ．35 D ．25 5．在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．156．将函数cos(3)3y x π=+的图象向左平移18π个单位后，得到的图象可能为（ ） A ．B ．C ．D ．7．某棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该棱锥的体积等于（ ）A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ．340cm8．已知点(1,2)-和3(在直线:10l ax y -+=(0)a ≠的同侧，则直线l 倾斜角的取值范围是（ ）A ．(,)43ππB ．3(0,)(,)34πππ⋃ C ．35(,)46ππ D ．23(,)34ππ 9．若不等式组1010102x y x y y ⎧⎪+-≤⎪-+≥⎨⎪⎪+≥⎩表示的区域Ω，不等式2211()24x y -+≤表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻约为（ ）A ．114B ．10C ．150D ．5010．已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 也是抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点，1C 与2C 的一个交点为P ，若PF x ⊥轴，则双曲线1C 的离心率为（ ）A 21B 2C 21D 3111．已知函数22()()()n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数且()(1)n a f n f n =++，则12350a a a a ++++=（ ）A ．50B ．60C ．70D ．8012．若函数()()b f x x b R x=+∈的导函数在区间(1,2)上有零点，则()f x 在下列区间上单调递增的是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(2,)+∞二、填空题13．已知f(x)=axlnx +1，x ∈(0，+∞)(a ∈R)，f′(x)为f(x)的导函数，f′(1)=2，则a =__________．14．若,x y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =+的最大值为 . 15．抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221x y -=相交于,A B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则p = .16．若定义在区间D 上的函数()y f x =满足：对,x D M R ∀∈∃∈，使得|()|f x M ≤恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上有界，则下列函数中有界的是 .①sin y x =；②1y x x=+；③tan y x =；④x x x x e e y e e ---=+；⑤321(44)y x ax bx x =+++-≤≤，其中,a b R ∈.三、解答题17．已知函数()22sin cos cos sin sin (0)2f x x x x ϕϕϕπ=+-<<在x π=处取最小值. （1）求ϕ的值；（2）在ABC ∆中， ,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，已知()31,2,a b f A ===，求角C .18．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面BCP ，//CD AB ，2AB BC CP BP ====，1CD =.（1）求点B 到平面DCP 的距离；（2）点M 为线段AB 上一点（含端点），设直线MP 与平面DCP 所成角为α，求sin α的取值范围.19． 某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：（1）求表中n ，p 的值和频率分布直方图中a 的值，并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社区服务次数的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[)1015，和[)2530，的人中共抽取6人，再从这6人中选2人，求2人服务次数都在[)1015，的概率. 20．已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>上的左、右顶点分别为,A B ，1F 为左焦点，且1||2AF =，又椭圆C 过点(0,.（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 和Q 分别在椭圆C 和圆2216x y +=上（点,A B 除外），设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若1234kk =，证明：,,A P Q 三点共线. 21．已知函数()ln f x x x =.（1）求函数()y f x =的单调区间和最小值；（2）若函数()()f x a F x x -=在[1,]e 上的最小值为32，求a 的值； （3）若k Z ∈，且()(1)0f x x k x +-->对任意1x >恒成立，求k 的最大值.22．如图，圆周角BAC ∠的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ，AD 交BC 于点F .（1）求证：//BC DE ；（2）若,,,D E C F 四点共圆，且AC BC =，求BAC ∠.23．已知直线l ：1123x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，曲线1C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． (1)设l 与1C 相交于,A B 两点，求AB ；(2)若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的12倍，3得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最大值．24．设函数()22f x x a a =-+.（1）若不等式()6f x ≤的解集为{}|64x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式()()215f x k x ≤--的解集非空，求实数k 的取值范围.参考答案1．A【解析】试题分析：{|12}U C A x x =<≤,故选A.考点：集合的运算.2．B【解析】 试题分析：255(2)()11212(2)(2)i i i i i i i --+=-+=-+-=-++-,故选B. 考点：复数的运算.3．C【解析】试题分析：因为55(coscos ,sin sin )6666a b ππππ-=--=，所以||3a b -=，故选C.考点：向量的坐标运算.4．A【解析】 试题分析：m >n 的概率为,故选A.考点：几何概型.5．D【解析】 试题分析：此程序框图所表示的算法功能为1234515S =++++=，故选D.考点：程序框图.6．D【解析】试题分析：将函数cos(3)3y x π=+的图象向左平移18π个单位后，得到的函数解析式为cos[3()]cos(3)sin 31832y x x x πππ=++=+=-，故选D.考点：1.图象的平移变换；2.三角函数的图象与性质.7．B【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为如下图所示的四棱锥P ABCD -，所以其体积1543203V =⨯⨯⨯=，故选B.考点：1.三视图；2.多面体的体积.8．D【解析】试题分析：因为点(1,2)-和,0)3在直线:10l ax y -+=(0)a ≠的同侧,所以(201)0a --+-+>，即(1)(0a a +<，所以1a <<-，又直线l 的斜率ka =，即1k <<-，所以倾斜角的范围为23(,)34ππ，故选D. 考点：1.直线的倾斜角与斜率；2.线性规划.9．A 【解析】 试题分析：在坐标系内作出可行域如下图所示，其中芝麻落在区域Γ内的概率为23111132422221336322P ππ⎛⎫⨯⨯+⨯⨯ ⎪+⎝⎭==⨯⨯，所以落在区域Γ中芝麻约为3236011436π+⨯≈,故选A.考点：1.线性规划；2.几何概型.【名师点睛】本题考查几何概型与线性规划，属中档题.概率问题是高考的必考见容，概率问题通常分为古典概型与几何概型两种，几何概型求概率是通过线段的长度比或区域的面积比、几何体的体积比求解的，本题是用的区域的面积比，但求面积是通过线性规划相关知识来完成的，把线性规划与几何概型有机的结合在一起是本题的亮点.10．A【解析】 试题分析：由题意可知22,22p b c p a ==，所以224b c a=，即222c a ac -=，所以2210e e --=，解之得21e =，故选A.考点：1.双曲线的标准方程与几何性质；2.抛物线的标准方程与几何性质.11．A【解析】试题分析：由题意可知221123a =-=-，222235a =-+=，223347a =-=-，224459a =-+=，4950,99,101a a =-=，所以1235012344950()()()25250a a a a a a a a a a ++++=+++++=⨯=，故选A. 考点：1.数列的表示；2.数列求和.【名师点睛】本题考查数列的表示以及数列求和，属中档题；数列求和问题是高考常考内容之一，数列求和的主要方法有：1.公式法；2.分组求和法；3.倒序相加法；4.错位相减法；5.裂项相消法.其中错位相减法与裂项相消法是考试的重点内容，本题主要采用的是分组求和法.12．D【解析】 试题分析：函数()()b f x x b R x=+∈的导函数在区间(1,2)上有零点,由22()10b x b f x x x-'=-==得2x b =，所以12b <<,且函数()f x 的单调递增区间为(,),(,)b b -∞-+∞，所以函数()f x 在区间(2,)+∞上单调递增，故选D.考点：1.导数与函数的单调性；2.函数与方程【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、函数与方程，属中档题；导数与函数的单调性是高考的必考内容，也是难点，导数与单调性关系：()0()f x f x '>⇒单调递增，()0()f x f x '<⇒单调递减；反之，当()f x 在某个区间上单调递增()0f x '⇒≥，当()f x 在某个区间上单调递减()0f x '⇒≤.13．2【解析】依题意，f ′(x)=a(1+lnx),f ′(1)=a =2.14．4【解析】试题分析：在坐标系内作出可行域如下图所示的三角形区域，由图可知，目标函数3z x y =+取得最大值时的最优解为(1,1)B ，此时max 3114z =⨯+=.考点：线性规划. 15．【解析】试题分析：抛物线22(0)x py p =>的焦点为(,0)2p F ,准线方程为2px =-，与双曲线221x y -=的交点为((,22p pA B --，又若ABF ∆为等边三角形，所以02322AF k p p ===---，解之得：p =考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.双曲线的标准方程与几何性质.【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质与双曲线的标准方程与几何性质，属中档题；高考对圆锥曲线的考查主要是考查定义、标准方程、几何性质，小题和大题中均有.本题主要考查双曲线与抛物线的对称性的应用. 16．①④⑤ 【解析】试题分析：因为sin 1x ≤，所以sin y x =为有界函数；12x x+≥，无上界，所以②不是有界函数；tan y x =的值域为(,)-∞+∞，是无界函数；22212111x x x x x x x e e e y e e e e ----===-+++,因为22021x e <<+，所以221111x e -<-<+，即1y <，所以x x x x e e y e e ---=+是有界函数；对于⑤，函数321y x ax bx =+++ 为实数上连续函数，所以在区间[4,4]-上一定有最大值和最小值，所以是有界函数，故应填①④⑤. 考点：1.新定义问题；2.值域及求法.【名师点睛】本题主要考查新定义问题、值域及求法.函数值域的求解是难点，主要方法有：配方法、单调性法、数形结合法、换元法、基本不等式法、导数法、利用已知函数的有界性法等方法. 17．（1）2π；（2）712π或12π【解析】试题分析：（1）利用三角恒等变换公式化简函数解析式得()()sin f x x ϕ=+，由在x π=处取最小值及0ϕπ<<查求得2πϕ=；（2）由()f A =6A π=，再由正弦定理求出sin B ，从而求出角B 的值，即可求角C . 试题解析：（1）()1cos 2sin ?cos sin sin 2f x x x x ϕϕ+=+- sin sin cos cos sin sin x x x x ϕϕ=++-()sin cos cos sin sin x x x ϕϕϕ=+=+因为函数()f x 在x π=处取最小值，所以()sin 1πϕ+=-， 由诱导公式知sin 1ϕ=，因为0ϕπ<<，所以2πϕ=.所以()sin cos 2f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.（2）因为()2f A =cos 2A =，因为角A 为ABC ∆的内角，所以6A π=.又因为1,a b ==sin sin a bA B=，也就是sin 1sin 22b A B a ===， 因为b a >，所以4B π=或34B π=.当4B π=时， 76412C ππππ=--=；当34B π=时， 36412C ππππ=--=.考点：1.三角恒等变换；2.正弦定理；3.三角函数的图象与性质.【名师点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、三角函数的图象与性质，属中档题.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.视频18．（1（2）42【解析】试题分析：（1） 要求点B 到平面DCP 的距离,只要能过点B 作出平面DCP 的垂线即可，由题意可知CD ⊥平面CPB ，所以CD ⊥平面CPB 内的任意一条直线，因此只要在平面CPB 内过点B 作BF PC ⊥即可得到BF ⊥平面DCP ，求出BF 的长即可；（2）由（1）可知点M 到平面DCP 的距离即点B 到平面DCP 的距离,所以sin BFMPα=，即只要求出BFMP的取值范围即可. 试题解析：（1）过点B 作BF PC ⊥，由平面DCP ⊥平面BCP 可知，BF 即点B 到面DCP的距离，在正PBC ∆中，BF =B 到平面DCP （2）∵//CD AB ，所以点M 到平面DCP 的距离即点B 到平面DCP 的距离，而[2,MP ∈，所以sin 42BF MP α=∈. 考点：1.线面垂直的判定与性质；2.直线与平面所成的角.【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，属中档题；文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主. 19．（1）0.625,0.075n p ==,0.125a =，中位数为17；（2）23【解析】试题分析：（1）由第一组内频数为20，频率为0.25可求出总人数为20800.25M ==，由此可求出第二组的频率为500.62580n ==，并可求频率直方图中0.1255na ==，由频率之和为1可求出p ，频率分布直方图求出面积的一半处求出中位数即可；（2）分分层抽样的原则先求出共抽取6人时在[10,15)和[25,30)的人数，再列出所有基本事件，可求2人服务次数都在[10,15)的概率.试题解析：（1）因200.25M ÷=，所以80M =，所以500.62580n ==， 310.250.6250.050.07540p =---==， 10.12558n a ===. 中位数位于区间[15,20)，设中位数为(15)x +，则0.1250.25x =，所以2x =，所以学生参加社区服务区次数的中位数为17次. （2）由题意知样本服务次数在[10,15)有20人，样本服务次数在[25,30)有4人， 如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，则抽取的服务次数在[10,15)和[25,30)的人数分别为：206524⨯=和46124⨯=. 记服务次数在[10,15)为，在[25,30)的为b .从已抽取的6人任选两人的所有可能为：121314151232425234(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a a a b a a a a a a a b a a 3534545(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a a a b a b 共15种，设“2人服务次数都在[10,15)”为事件A ，则事件A 包括1213141523242534(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a a a a a a a a a a 3545(,),(,)a a a a共10种， 所有102()153P A ==. 考点：1.频率分布表；2.频率分布直方图；3.古典概型.20．（1）2211612x y +=；（2）见解析 【解析】试题分析：（1）1||2AF a c ==-,由椭圆C 过点(0,可得b =，由椭圆中,,a b c 关系求出,,a b c 的值即可；（2）由（1）知，(4,0),(4,0)A B -，设1122(,),(,)P x y Q x y ，由此可得2111121114416PA y y y k k x x x •=•=+--，又因为22113124y x =-，1234k k =，由此可得21PA k k •=-，同理可得21QA k k •=-，所以PA QA k k =，即可证,,A P Q 三点共线.试题解析：（1）由已知可得2,a c b -==，又22212b a c =-=，解得4a =，故所求椭圆C 的方程为2211612x y +=. （2）由（1）知，(4,0),(4,0)A B -，设1122(,),(,)P x y Q x y ，所以2111121114416PA y y y k k x x x •=•=+--，因为11(,)P x y 在椭圆C 上， 所以221111612x y +=，即22113124y x =-，所以2112131234164PA x k k x -•==--. 又因为1234k k =，所以21PA k k •=-.（a ） 由已知点22(,)Q x y 在圆2216x y +=上，AB 为圆的直径，所以QA QB ⊥，所以21QA k k •=-（b ）由（a ）（b ）可得PA QA k k =，因为直线,PA QA 有共同点A ， 所以,,A P Q 三点共线.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.21．（1）()f x 的单调递增区间为1[,)e +∞，单调减区间为1(0,]e ,min 1()f x e=-.（2）a =（3）3 【解析】试题分析：（1）求导'()ln 1(0)f x x x =+>，解不等式'()0f x ≥与'()0f x ≤可得函数()f x 的单调区间；（2）求函数()ln a F x x x =-的导数'2()x a F x x+=，分0a ≥与0a <讨论函数()ln a F x x x =-在区间[1,]e 的单调性与最小值，由min 3()2f x =求之即可；（3）由题意分离参数得ln 1x x x k x +<-对任意1x >恒成立，构造函数ln ()1x x xh x x +=-，求导'2ln 2()(1)x x h x x --=-，'2ln 2()(1)x x h x x --=-的符号由分子()ln 2(1)x x x x ϕ=-->确定，且函数()x ϕ在(1,)+∞上单调递增，所以方程()0x ϕ=在(1,)+∞上存在唯一的实根0x ，且0(3,4)x ∈,由此可知函数()h x 在0(1,)x 上递减，在0(,)x +∞上单调递增,所以min 0()k g x x <=，可证结论成立.试题解析：（1）因为'()ln 1(0)f x x x =+>，令'()0f x ≥，即1ln 1ln x e -≥-=，所以1x e≥， 同理，令'()0f x ≤，可得1(0,]x e ∈，所以()f x 的单调递增区间为1[,)e+∞，单调减区间为1(0,]e.所以min 1111()()ln f x f ee e e ===-. （2）()ln a F x x x =-，'2()x aF x x+=， Ⅰ．当0a ≥时，'()0F x >，()F x 在[1,]e 上单调递增，min 3()(1)2F x F a ==-=，所以3[0,)2a =-∉+∞，舍去.Ⅱ．当0a <时，()F x 在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增， ①若(1,0)a ∈-，()F x 在[1,]e 上单调递增，min 3()(1)2F x F a ==-=，所以3[0,)2a =-∉+∞，舍去，②若[,1]a e ∈--，()F x 在[1,]a -上单调递减，在[,]a e -上单调递增，所以min 3()(1)ln()2F x F a a ==-+=，解得[,1]a e =--. ③若(,)a e ∈-∞-，()F x 在[1,]e 上单调递减，min 3()()12a F x F e e ==-=，所以(,)2ea e =-∉-∞-，舍去，综上所述，a =（3）由题意得：(1)ln k x x x x -<+对任意1x >恒成立，即ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立. 令ln ()1x x x h x x +=-，则'2ln 2()(1)x x h x x --=-，令()ln 2(1)x x x x ϕ=-->，则'11()10x x x xϕ-=-=>， 所以函数()x ϕ在(1,)+∞上单调递增，因为方程()0x ϕ=在(1,)+∞上存在唯一的实根0x ，且0(3,4)x ∈，当01x x <<时，()0x ϕ<，即'()0h x <，当0x x >时，()0x ϕ>，即'()0h x >.所以函数()h x 在0(1,)x 上递减，在0(,)x +∞上单调递增. 所以0000min 0000(1ln )(12)()()(3,4)11x x x x h x h x x x x ++-====∈--所以min 0()k g x x <=，又因为0(3,4)x ∈，故整数k 的最大值为3. 考点：1.导数与函数的单调性、最值；2.函数与不等式.【名师点睛】本题主要考查导数与函数的单调性、最值；函数与不等式,属难题.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等. 22．（1）见解析；（2）27π 【解析】试题分析：（1）要证//BC DE ，只要证EDC DCB ∠=∠即可，由弦切角和圆周角关系可得EDC DAC ∠=∠，由角平分线性质得EDC DAC ∠=∠，又同弧上的圆周角相等，所以DAB DCB ∠=∠，即可证得EDC DCB ∠=∠；（2）由,,,D E C F 四点共圆及（1）得CFA ACF ∠=∠，设DAC DAB x ∠=∠=，在等腰三角形ACF 中，列出方程7CFA ACF CAF x π=∠+∠+∠=，解之即可.试题解析： （1）∵BAC ∠的平分线与圆交于点D ∴EDC DAC ∠=∠，DAC DAB ∠=∠，∵BD BD =，∴DAB DCB ∠=∠，∴EDC DCB ∠=∠， ∴//BC DE .（2）因为,,,D E C F 四点共圆，所以CFA CED ∠=∠，由（1）知，ACF CED ∠=∠， 所以CFA ACF ∠=∠. 设DAC DAB x ∠=∠=，因为AC BC =，所以2CBA BAC x ∠=∠=， 所以3CFA FBA FAB x ∠=∠+∠=，在等腰三角形ACF 中，7CFA ACF CAF x π=∠+∠+∠=， 则7x π=，所以227BAC x π∠==.考点：1.圆的性质；2.等腰三角形性质；3.圆内接四边形性质. 23．(1)1；36【分析】（1）消去直线l 参数方程的参数t ，求得直线l 的普通方程.消去曲线1C 参数方程的参数θ，求得曲线1C 的普通方程，联立直线l 和曲线1C 的方程求得交点,A B 的坐标，再根据两点间的距离公式求得AB .（2）根据坐标变换求得曲线2C 的参数方程，由此设出P 点坐标，利用点到直线距离公式列式，结合三角函数最值的求法，求得P 到直线l 的距离的最大值. 【详解】（1）l 的普通方程为)31y x =-，1C 的普通方程为221x y +=，联立方程组223(1)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，解得交点为()131,0,,2A B ⎛ ⎝⎭,所以AB1=； （2）曲线2C：1cos 22x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数）．设所求的点为1cos 2P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 则P 到直线l的距离d ==)4πθ+.当cos()14时，d． 【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直线和圆相交所得弦长的求法，考查坐标变换以及点到直线距离公式，还考查了三角函数最值的求法，属于中档题. 24．（1）2a =-；（2）．【解析】试题分析：（1）262x a a -≤-333322a x a ⇔-≤≤-,由3362a -=-可求出a ；（2）由（1）2()(1)5f x k x ≤--可转化为2221(1)x k x ++≤-，作出函数23,1()221{21,1x x g x x x x +≥-=++=--<-的图象，数形结合可求k 的范围.试题解析：（1）262x a a -≤-，∴26262a x a a -≤-≤-， ∴333322a x a -≤≤- 3362a -=-，2a =-. （2）由（1）知，2221(1)x k x ++≤-，23,1()221{21,1x x g x x x x +≥-=++=--<-，()g x 的图象如图：要使解集非空，212k ->或211k -≤-，∴{0}k k k <=.考点：1.含绝对值不等式的解法；2.分段函数的表示及应用.。