正多边形的平面镶嵌

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正多边形的平面镶嵌
在用正多边形进行平面镶嵌时，设一个顶点处有边数分别为n1、n２、n３、…nm的正多边形，
令3≤n1≤n２≤n３≤…≤nm，则31≥11n≥21n≥31n≥…≥mn1。
根据平面镶嵌定义得：

1
0
1
180)2(nn

＋202180)2(nn＋303180)2(nn＋…＋mmnn0180)2(＝0360，

整理为：11n＋21n＋31n＋…＋mn1＝22m，∴3m≥22m，∴m≤6,又22m＞0，即m＞2,
∴2＜m≤6，∴正整数m＝3，4，5，6
⑴ m＝3时，13n≥11n＋21n＋31n＝21，∴n1≤6, ∴n1＝3，4，5，6，

（ⅰ）n1＝3时，22n≥21n＋31n＝61，∴n2≤12，又21n＜61，即n2＞6，
∴n2＝7， 8， 9，10， 11， 12
∴n3＝42，24，18，15，分数，12
n1 3 3 3 3 3
n2 7 8 9 10 12
n3 42 24 18 15 12

(ⅱ) n1＝4时，22n≥21n＋31n＝41，∴n2≤8，又21n＜41，即n2＞4
∴n2＝5， 6， 7， 8
∴n3＝20，12，328，8
n1 4 4 4
n2 5 6 8
n3 20 12 8

(ⅲ) n1＝5时，22n≥21n＋31n＝103，∴5≤n2≤320，
∴n2＝ 5， 6，
∴n3＝10，7.5，
n1 5
n2 5
n3 10
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（ⅳ）n1＝6时，22n≥21n＋31n=31，∴6≤n2≤6，
∴n2＝6
∴n3＝6
n1 6
n2 6
n3 6
∴m＝3时，共有10组解
n1 3 3 3 3 3 4 4 4 5 6
n2 7 8 9 10 12 5 6 8 5 6
n3 42 24 18 15 12 20 12 18 10 6
经检验，能大面积平面镶嵌的只有3组:
n1 3 4 4 6
n2 12 6 8 6
n3 12 12 8 6

⑵ m＝4时，14n≥11n＋21n＋31n＋41n＝1,∴3≤n1≤4, ∴n1＝3，4，

（ⅰ）n1＝3时，23n≥21n＋31n＋41n=32，∴3≤n2≤29，∴n2＝3，4
同理n2＝3时，n3＝4， 5， 6
n4＝12，分数，6
n2＝4时，n3＝4，n4＝6
n1
3 3 3

n2
3 3 4

n3
4 6 4

n4
12 6 6

(ⅱ) n1＝4时，23n≥21n＋31n＋41n＝43,∴4≤n2≤4, ∴n2＝4, ∴32n≥31n＋41n＝21
∴4≤n３≤4, ∴n3＝4， ∴n4＝4
∴m＝4时，共有4组解
n1
3 3 3 4

n2
3 3 4 4

n3
4 6 4 4

n4
12 6 6 4

经检验，这4组都能大面积平面镶嵌。

⑶ m＝5时，15n≥11n＋21n＋31n＋41n＋51n＝23，∴3≤n1≤310，∴n1＝3，
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∴24n≥21n＋31n＋41n＋51n＝67，∴3≤n2≤724，∴n2＝3
∴33n≥31n＋41n＋51n＝65，∴3≤n３≤518，∴n3＝3
∴42n≥41n＋51n＝21，∴3≤n4≤4,
∴n4＝3，4
∴n5＝6，4
∴m＝5时，共有2组解
n1
3 3

n2
3 3

n3
3 3

n4
3 4

n5
6 4

经检验，这2组都能大面积平面镶嵌。

⑷ m＝6时，16n≥11n＋21n＋31n＋41n＋51n＋61n＝2， ∴3≤n1≤3，∴n1＝3，

∴25n≥21n＋31n＋41n＋51n＋61n＝35，∴3≤n2≤3，∴n2＝3，
∴34n≥31n＋41n＋51n＋61n＝34，∴3≤n3≤3，∴n3＝3，
∴43n≥41n＋51n＋61n＝1，∴3≤n4≤3，∴n4＝3，
∴52n≥51n＋61n＝32，∴3≤n5≤3，∴n5＝3，∴n6＝3，
∴m＝6时，有1组解：n1＝n2＝n3＝ n4＝n5＝ n6＝3
经检验，这1组能大面积平面镶嵌。
综上所述：能大面积平面镶嵌的有11种情况
n1
3 4 4 6 3 3 3 4 3 3 3

n2
12 6 8 6 3 3 4 4 3 3 3

n3
12 12 8 6 4 6 4 4 3 3 3

n4
12 6 6 4 3 4 3

n5
6 4 3

n6
3
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用一种正多边形进行平面镶嵌的有：
正三角形（每个顶点处有6个）；
正四边形（每个顶点处有4个）；
正六边形（每个顶点处有3个）。
用两种正多边形进行平面镶嵌的有：
正三角形和正十二边形（每个顶点处有1个正三角形和2个正十二边形）；
正三角形和正六边形（每个顶点处有2个正三角形和2个正六边形或者4个正三角形和1个正六边形）；
正三角形和正四边形（每个顶点处有3个正三角形和2个正四边形）；
正四边形和正八边形（每个顶点处有1个正四边形和2个正八边形）。
用三种正多边形进行平面镶嵌的有：
正四边形和正六边形和正十二边形（每个顶点处各1个）；
正三角形和正四边形和正十二边形(每个顶点处有2个正三角形和1个正四边形和1个正十二边形)；
正三角形和正四边形和正六边形（每个顶点处有1个正三角形和2个正四边形和1个正六边形）。