中考数学复习专题讲座动点型问题（双动点问题、考点四：因动点产生的最值问题）一、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”.从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二、中考考点精讲考点三：双动点问题动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为中考试题的热点中的热点，双动点问题对同学们获取信息和处理信息的能力要求更高高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动.（一）以双动点为载体，探求结论开放性问题例1如图，在矩形ABCD中，AO=3，tan∠ACB=．以O为坐标原点，OC为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系，设D、E分别是线段AC、OC上的动点，它们同时出发，点D以每秒3个单位的速度从点A向点C运动，点E以每秒1个单位的速度从点C向点O运动．设运动时间为t（秒）（1）求直线AC的解析式；（2）用含t的代数式表示点D的坐标；（3）在t为何值时，△ODE为直角三角形？（4）在什么条件下，以Rt△ODE的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线？并请选择一种情况，求出所确定的抛物线的解析式．例2 已知，如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣2，0），点B坐标为（0，2），点E为线段AB上的动点（点E不与点A，B重合），以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段0B于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=﹣x2+mx+n的图象经过A，C两点．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）求证：∠BEF=∠AOE；（3）当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；（4）在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1）中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（2+1）倍？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．例3 如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于C、A两点，与y轴交于点B，OB=2．点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点．（1）分别求出点A、点B的坐标；（2）求直线AB的解析式；（3）若反比例函数y=的图象过点D，求k值；（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．考点四：因动点产生的最值问题因动点产生的最值问题与一般最值问题一样，一般都归于两类基本模型： 1．归于函数模型2．归于几何模型（1两线段之和的最小值”时 （2） 例4 已知点A （3，4），点B 为直线x=﹣1上的动点，设B （﹣1，y ）．（1）如图1，若点C （x ，0）且﹣1＜x ＜3，BC ⊥AC ，求y 与x 之间的函数关系式； （2）在（1）的条件下，y 是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由；（3）如图2，当点B 的坐标为（﹣1，1）时，在x 轴上另取两点E ，F ，且EF=1．线段EF 在x 轴上平移，线段EF 平移至何处时，四边形ABEF 的周长最小？求出此时点E 的坐标．对应练习1．如图1，A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点，AD=4cm ，AB=dcm ．动点E 、F 分别从点D 、B 出发，点E 以1cm/s 的速度沿边DA 向点A 移动，点F 以1cm/s 的速度沿边BC 向点C 移动，点F 移动到点C 时，两点同时停止移动．以EF 为边作正方形EFGH ，点F 出发xs 时，正方形EFGH 的面积为ycm 2．已知y 与x 的函数图象是抛物线的一部分，如图2所示．请根据图中信息，解答下列问题： （1）自变量x 的取值范围是 ；（2）d= ，m= ，n= ； （3）F 出发多少秒时，正方形EFGH 的面积为16cm 2？2．如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上．O为原点，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，8）．动点M从点O出发．沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动．当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、N运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t=3秒时．直接写出点N的坐标，并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式；（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；（3）当t为何值时，△MNA是一个等腰三角形？3．如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E 处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx﹣3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．（1）求a、b及sin∠ACP的值；（2）设点P的横坐标为m．①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，直接写出m的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．5．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，三个交点的坐标分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M求四边形PMAC面积的最大值和此时P点的坐标；（3）若P为抛物线在第一象限上的一个动点，过点P作PQ∥AC交x轴于点Q．当点P的坐标为时，四边形PQAC是平行四边形；当点P的坐标为时，四边形PQAC是等腰梯形（直接写出结果，不写求解过程）．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=．（1）求过A、C、D三点的抛物线的解析式；（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B 两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．8.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．。
中考数学复习专题讲座：动点型问题（建立动点问题的函数解析式（或函数图像）、动态几何型压轴题、双动点问题、因动点产生的最值问题）一、中考专题诠释所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。
二、解题策略和解法精讲解决动点问题的关键是“动中求静”•从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
在动点的运动过程屮观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态儿何数学问题中最核心的数学本质。
三、中考考点精讲函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律，是初中数学的重要内容•动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形的有条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系，这种变化关系就是动点问题中的函数关系.（一）应用勾股定理建立函数解析式（或函数图像）例1如图，正AABC的边长为3cm,动点P从点A出发，以每秒lcm的速度，沿A-B-C的方向运动，到达点C（二）应用比例式建立函数解析式（或函数图像）例2如图，直角梯形AOCD的边0C在x轴上，0为坐标原点，CD垂直于x轴，D （5, 4）, AD二2.若动点E、F同时从点0出发，E点沿折线OA-AD-DC运动，到达C点时停止；F点沿0C运动，到达C点是停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度.设E运动x秒时,AEOF的面积为y（平方单位），则y关于x的函数图象大致为（）（三）应用求图形面积的方法建立函数关系式例3如图，在AABC中，ZBAC=90°，八B二AC二6, D为BC的中点.（1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE二CF,求证：△AED^ACFD；（2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF 的面积为y, F点运动的时间为x,求y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F、E分别沿CA. AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式.（四）以双动点为载体，探求函数图象问题例4如图（1）所示，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，动点P 、Q 同时从点B 出发，点P 沿折线BE ・ED - DC 运动 到点C 时停止，点Q 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是lcm/秒.设P 、Q 同发t 秒时，ABPO 的面积为ycm 2.已知y 与t 的函数关系图象如图（2）（曲线0M 为抛物线的一部分）,②cosZABE 二25④当t 二咨秒时，△AB E S ^QBP ；4（填序号）.（五） 以双动点为载体，探求函数最值问题例5如图，抛物线y 二・疋+邑3X +2与X 轴交于C 、A 两点，与y 轴交于点B, 0B 二2.点0关于直线AB 的对称点3为D, E 为线段AB 的屮点.f （1）分别求出点八、点B 的坐标；（2）求直线AB 的解析式； 厂\（3）若反比例函数y 二上的图象过点D,求k 值；/ * \X\（4）两动点P 、Q 同时从点A 出发，分别沿AB 、A0方向向B 、0移动，点P 每秒移动1\个单位，点Q 每秒移动寺个单位，设AP0Q 的面积为S,移动时间为t,问：S 是否存在最 大值？若存在，求山这个最大值，并求出此时的t 值；若不存在，请说明理由. （六） 因动点产生的最值问题因动点产生的最值问题与一般最值问题一样，一般都归于两类基本模型：1.归于函数模型即利用一次函 数的增减性和二次函数的对称性及增减性确定某范围内函数的最大或最小值；2.归于几何模型这类模型又 分为两种情况：⑴归于“两点之间的连线中 线段最短”。
