1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b b T m 03109.2 ,⋅⨯==-λ。
证明：由普朗克黑体辐射公式：
ννπνρννd e c h d kT h 1
1833-=， 及λνc =、λλ
νd c d 2-=得 1
185-=kT hc e hc λλλπρ， 令kT hc x λ=，再由0=λ
ρλd d ，得λ.所满足的超越方程为 1
5-=x x
e xe 用图解法求得97.4=x ，即得97.4=kT
hc m λ，将数据代入求得C m 109.2 ,03⋅⨯==-b b T m λ 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie 波长. 解：010A 7.09m 1009.72=⨯≈==-mE h p h λ #
1.3. 氦原子的动能为kT E 2
3=，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。 解：010A 63.12m 1063.1232=⨯≈===-mkT
h mE h p h λ 其中kg 1066.1003.427-⨯⨯=m ，123K J 1038.1--⋅⨯=k
#
1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：
（1）一维谐振子的能量。
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123T J 10923.0--⋅⨯=B μ，求动能的量子化间隔E ∆，并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。
解：（1）方法1：谐振子的能量2222
12q p E μωμ+= 可以化为()
122222
22=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+μωμE q E p 的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为22,2μωμE
b E a ==，相空间面积为
,2,1,0,2=====⎰n nh E
E
ab pdq νωππ
所以，能量 ,2,1,0,==n nh E ν 方法2：一维谐振子的运动方程为02=+''q q ω，其解为
()ϕω+=t A q sin
速度为 (
)ϕωω+='t A q c o s ，动量为()ϕωμωμ+='=t A q p cos ，则相积分为
()()nh T A dt t A dt t A pdq T T ==++=+=⎰⎰⎰2)cos 1(2cos 2202202
22μωϕωμωϕωμω， ,2,1,0=n
νμωnh T
nh A E ===222， ,2,1,0=n （2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由R v evB 2
μ=，得eB v R μ= 再由量子化条件⎰== ,3,2,1,n nh pdq ，以22,e B R R
Rv p ===⋅ϕμμϕϕ分别表示广义坐标和相应的广义动量，所以相积分为
nh eBR Rv d p d p ====⎰⎰220
22ππμϕϕπϕϕ， ,2,1=n ，由此得半径为eB n R =， ,2,1=n 。 电子的动能为B n eB n B e eBR v E B μμμμμ==⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛== 2222212121 动能间隔为J B E B 23109-⨯==∆μ
热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为kT E =，所以当K 4=T 时，J E 231052.4-⨯=；当
K 100=T 时，J E 211038.1-⨯=。
1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子波长最大是多少？
解：转化条件为2c h e μν≥，其中e μ为电子的静止质量，而λνc
=，所以c h
e μλ≤，即有
083134max
A 024.0103101.910626.6≈⨯⨯⨯⨯===--c e c h λμλ（电子的康普顿波长）。
