建筑力学·作业
1. 截面形心如何计算？
答：
如图表示一任意形状的截面，设截面内任一点的坐标为x 、y ，在该点处取一微小面积dA ，则ydA 和xdA 分别称为该微面积相对于x 和y 轴的静矩（或面积矩）。而将下列两积分
⎰⎰==A
A A S A S xd ,yd y x 式1 分别称为整个截面相对于x 轴和y 轴的静矩。
截面的静矩是相对于一定的轴来说的，同一截面相对于不同轴的静矩是不同的。静矩可以是正值或负值，也可以是零；静矩的常用单位是m ³或mm ³。
如果将微面积看作力，则ydA 和xdA 就相当于力矩，由合力矩定理可知：
xc xd yc yd A A A A A
A ==⎰⎰ 式2-a 式中，xc 、yc 为截面形心C 的坐标.
利用式1可知，截面的静矩也可以表达为：
x c yc y x A S A S == 式2-b 上式表明，截面对某轴的静矩等于截面的面积与其形心到该轴距离的乘积。一般情况下，式中的面积A 是可知的，于是利用此式可由截面的静矩来确定截面的形心位置。
当坐标轴通过截面的形心是，则该轴称为此截面的形心轴。由式2可见，截面对形心轴的静矩为零；反之，若截面对某轴的静矩为零，则该轴必为截面的形心轴。对于有对称轴的截面，对称轴一定是截面的形心轴。
如果截面的图形是由几个简单图形组成的组合截面。有静矩的定义可知，组合截面对某
一轴的静矩应等于其所有组成部分对该轴静矩的代数和，即：
i i yi y i i xj x xc yc ∑∑∑∑====A S S A S S 式3
式中，i A 为任一组成部分的面积；i x c 和i yc 分别为该组成部分的形心坐标。 由式2、式3，进而可得出截面的形心位置：
∑∑∑∑==i
i
i i i
i yc yc xc xc A A A A
2. 纯弯曲杆件的正应力计算公式如何推导得到？
答：
从梁中取出一长度为dx 的微段（如上图（d ）），可以推导出纵向线应变：
ρλεy
dx d ==
式a 式中，y 为距中性轴的距离，ρ为中性层的曲率半径。
由于梁的纵向纤维处于单向拉伸或压缩，在弹性范围内，有胡克定律可得：
ρεσy
E E == 式b
式中E 为材料的弹性模量。由式b 可知，横截面上各点处的正应力与该点离中性轴的距离成正比。见下图a
如上图b 所示，在横截面上取一微面积dA ，其上的微内力A d σ组成一平行力系，可形成三个内力分量：
0d ==⎰A
N A F σ 式c 0d z y ==⎰A A M σ 式d
M
A M A ==⎰d y z σ 式e 将式b 代入式c ，可得： 0yd d y d ===⎰⎰⎰A A A A E A E A ρρσ 式中，ρE 不等于零，故必须0yd =⎰A A 。由前面的介绍可知：⎰=A A S yd z ，即横截面对中性轴的静矩为零，说明中性轴通过形心。因此，中性轴是一根形心轴。
将式b 代入式d ，可得：
0zyd d y z d z ===⎰⎰⎰A A A A E A E A ρρσ 式中，ρE 不等于零，故必须0zyd =⎰A A 。由前面的介绍可知：横截面对y 、z 轴的惯性积0zyd yz ==⎰A A I ，因此y 轴为对称轴。
将式b 代入式e ，可得：
⎰⎰⎰===A A A A E A E A M d y d y y d y 2ρρσ
式中，z 2d y I A A =⎰为截面对中性轴的惯性矩，则上式改写为： z 1
EI M
=ρ
代入式b 得 z y
I M =
σ 上式为纯弯曲杆件上任一点处正应力的表达式。
