2.1.1第2课时类比推理 学案 2017-2018学年高中数学 苏教版 选修2-2
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1 第2课时 类比推理
1．结合实例，理解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理．(重点、难点)
2．区别归纳推理与类比推理，了解合情推理的合理性．(易混点)
[基础·初探]
教材整理1 类比推理
阅读教材P67“例1”以上部分，完成下列问题．
根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．其思维过程为：
观察、比较→联想、类推→猜测新的结论
1．判断正误：
(1)类比推理是特殊到特殊的推理．( )
(2)类比推理的结论一定正确．( )
【答案】 (1)√ (2)×
2．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的________．
【解析】 “边的中点”类比为“各面的中心”．
【答案】 中心
教材整理2 合情推理
阅读教材P68“练习”以上部分，完成下列问题．
1．合情推理的含义
根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程称为合情推理．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．
2．合情推理的特点
(1)合情推理的结论超越了前提所包容的范围，带有猜想的成分，因此推理所得的结论未必正确；
(2)合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供证明的思路和方向的作用． 2
如图218所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，每个图形总的点数记为an，则a6＝________，an＝________(n>1，n∈N*)．
图218
【解析】 依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2,3,4,5,6的图形特点归纳得an＝3n－3(n>1，n∈N*)．
【答案】 15 3n－3
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问2：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
疑问3：_______________________________________________
解惑：_______________________________________________
[小组合作型]
数列中的类比推理
在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋„＋an＝a1＋a2＋„＋a19－n(n<19，n∈N*)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有什么样的等式成立？
【精彩点拨】 在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和类比等比数列中的积，差类比商，积类比幂．
【自主解答】 在等差数列{an}中，a10＝0，
∴a1＋a2＋„＋an＋„＋a19＝0，
即a1＋a2＋„＋an＝－a19－a18－„－an＋1.
又由a10＝0， 3 得a1＋a19＝a2＋a18＝„＝an＋a20－n
＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0，
∴a1＝－a19，a2＝－a18，„，a19－n＝－an＋1，
∴a1＋a2＋„＋an＝a1＋a2＋„＋a19－n，
若a9＝0，
同理可得a1＋a2＋„＋an＝a1＋a2＋„＋a17－n，
相应的，在等比数列{bn}中，若b9＝1，
则可得b1b2„bn＝b1b2„b17－n(n<17，n∈N*)．
1．有关数列的类比推理必须寻找合适的类比对象，从等差、等比数列的定义、性质、通项公式与前n项和公式探求，充分挖掘事物的本质及内在联系．
2．类比推理的一般步骤为：(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)；(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想；(3)检验这个猜想．
[再练一题]
1．若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则有数列bn＝a1＋a2＋a3＋„＋ann(n∈N*)也是等差数列．类比上述性质，相应地：若数列{cn}(n∈N*)是等比数列，且cn>0，则数列dn＝________(n∈N*)也是等比数列．
【解析】 和类比积，高类比开方，因此dn＝nc1·c2·c3·„·cn
【答案】 nc1·c2·c3·„·cn
类比推理在几何中的应用
如图219所示，在平面上，设ha，hb，hc分别是△ABC三条边上的高，P为△ABC内任意一点，P到相应三边的距离分别为pa，pb，pc，可以得到结论paha＋pbhb＋pchc＝1.
图219
证明此结论，通过类比写出在空间中的类似结论，并加以证明．
【精彩点拨】 三角形类比四面体，三角形的边类比四面体的面，三角形边上的高类比4 四面体以某一面为底面的高．
【自主解答】 paha＝12BC·pa12BC·ha＝S△PBCS△ABC，
同理，pbhb＝S△PACS△ABC，pchc＝S△PABS△ABC.
∵S△PBC＋S△PAC＋S△PAB＝S△ABC，
∴paha＋pbhb＋pchc＝S△PBC＋S△PAC＋S△PABS△ABC＝1.
类比上述结论得出以下结论：如图所示，在四面体ABCD中，设ha，hb，hc，hd分别是该四面体的四个顶点到对面的距离，P为该四面体内任意一点，P到相应四个面的距离分别为pa，pb，pc，pd，可以得到结论paha＋pbhb＋pchc＋pdhd＝1.
证明如下：paha＝13S△BCD·pa13S△BCD·ha＝VPBCDVABCD，
同理，pbhb＝VPACDVABCD，pchc＝VPABDVABCD，pdhd＝VPABCVABCD.
∵VPBCD＋VPACD＋VPABD＋VPABC＝VABCD，
∴paha＋pbhb＋pchc＋pdhd
＝VPBCD＋VPACD＋VPABD＋VPABCVABCD＝1.
1．一般地，平面图形与空间图形类比如下：
平面
图形 点 线 边长 面积 线线角 三角形
空间
图形 线 面 面积 体积 二面角 四面体
2.类比推理的一般步骤
(1)找出两类事物之间的相似性或一致性； 5 (2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．
[再练一题]
2．在上例中，若△ABC的边长分别为a，b，c，其对角分别为A，B，C，那么由a＝b·cos
C＋c·cos B可类比四面体的什么性质？
【解】 在如图所示的四面体中，S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，
α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．
猜想S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.
[探究共研型]
类比推理在其他问题中的应用
探究1 鲁班发明锯子的思维过程为：带齿的草叶能割破行人的腿，“锯子”能“锯”开木材，它们在功能上是类似的．因此，它们在形状上也应该类似，“锯子”应该是齿形的．你认为该过程为归纳推理还是类比推理？
【提示】 类比推理．
探究2 在计算“1×2＋2×3＋„＋n(n＋1)”时，有如下方法：
先改写第k项：k(k＋1)＝13[k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k(k＋1)]，由此得
1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，
2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，
„„
n(n＋1)＝13[n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]，
相加得1×2＋2×3＋„＋n(n＋1)＝13n(n＋1)(n＋2)．
类比上述方法，请你计算“1×3＋2×4＋„＋n(n＋2)”，其结果写成关于n的一次因式的积的形式为________．
【提示】 1×3＝16×(1×2×9－0×1×7)，
2×4＝16×(2×3×11－1×2×9)， 6 3×5＝16×(3×4×13－2×3×11)，
„„
n(n＋2)＝16[n(n＋1)(2n＋7)－(n－1)n(2n＋5)]，
各式相加，得1×3＋2×4＋3×5＋„＋n(n＋2)＝16n(n＋1)(2n＋7)．
已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率kPM，kPN都存在时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值，试写出双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)具有类似特征的性质，并加以证明．
【精彩点拨】 双曲线与椭圆类比→椭圆中的结论→双曲线中的相应结论
→理论证明
【自主解答】 类似性质：若M，N为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率kPM，kPN都存在时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．
证明如下：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则
N(－m，－n)．因为点M(m，n)是双曲线上的点，
所以n2＝b2a2m2－b2.同理y2＝b2a2x2－b2.
则kPM·kPN＝y－nx－m·y＋nx＋m＝y2－n2x2－m2＝b2a2·x2－m2x2－m2＝b2a2(定值)．
1．两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征．
2．进行类比推理时，首先，找出两类对象之间可以确切表达的相似特征；然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想．
[再练一题]
3．三角形的面积为S＝12(a＋b＋c)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为________．
【解析】 △ABC的内心为O，连结OA，OB，OC(图略)，将△ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a，b，c；类比：设四面体ABCD的内切球球心为O，连结OA，OB，OC，OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，
