2019届河南省高考模拟试题精编理科数学

河南省濮阳市2019届高三数学5月模拟考试试题 理（含解析）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.已知集合{}|22A x x =-<≤，3|1B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=（ ） A. {|0}x x <B. {|2}x x ≤C. }02|{<<-x xD.{|32}-≤≤x x【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式求出集合B ，根据交集定义求出结果. 【详解】{}3130B xx x x ⎧⎫=≤-=-≤<⎨⎬⎩⎭则{}20A B x x ⋂=-<< 本题正确选项：C【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.已知i 是虚数单位，若2(1)i z i +=-，则z 的共轭复数z 对应的点在复平面的( ) A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案．【详解】解：由2+i ＝z （1﹣i ），得z ()()()()1221311122i i i i i i i +++===+--+， ∴1322z i =-，则z 的共轭复数z 对应的点的坐标为（1322-，），在复平面的第四象限． 故选：D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.若[]x 表示不超过x 的最大整数，则下图的程序框图运行之后输出的结果为( )A. 49850B. 49900C. 49800D. 49950【答案】A 【解析】由已知可得()0495004014024049405017408502S +⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+=49850，故选A.4.要得到cos(2)4y x π=-的图象，只需将sin 2y x =的图象（ ）A. 向左平移4π个单位 B. 向左平移8π个单位 C. 向右平移4π个单位D. 向右平移8π个单位【答案】B 【解析】试题分析：cos(2)sin (2)sin(2)sin 2()44248y x x x x πππππ⎡⎤=-=-+=+=+⎢⎥⎣⎦，故要得到cos(2)4y x π=-的图象，只需将sin 2y x =的图象向左平移8π个单位考点：函数sin()y A x ωφ=+的图像和性质5.若变量x ，y 满足约束条件3123x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-≤⎩……，则x y z ln ln -=的最大值为（ ）A. 2B. 2ln2C. 2ln -D. ln 2【答案】D 【解析】 【分析】根据约束条件得到可行域，将x y z ln ln -=化为lny z x=，根据yx 的几何意义可求得取()2,1C 时，yx最大，代入可求得z 的最大值. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：ln ln lny z y x x=-= z ∴取最大值时，yx 最大yx的几何意义为：(),x y 与原点连线的斜率 由上图可知，点C 与原点连线斜率最大由31x y x y +=⎧⎨-=-⎩得：()2,1C max 2y x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ max ln 2z ∴= 本题正确选项：D【点睛】本题考查线性规划中斜率型的最值的求解，关键是能够明确分式类型的目标函数的几何意义，属于常规题型.6.设四面体ABCD 各棱长均相等，S 为AD 的中点，Q 为BC 上异于中点和端点的任一点，则SQD ∆在四面体的面BCD 上的的射影可能是（ ）A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知四面体为正四面体，根据正四面体的特点可求得S 在平面BCD 上的射影点T 在中线DE 上，且13DT DE =，又,D Q ∈平面BCD ，可得射影三角形，从而得到结果. 【详解】四面体各棱长相等，可知四面体ABCD 为正四面体 取BC 中点E ，连接DE ，如下图所示：作⊥AF 平面BCD ，垂足为F ，由正四面体特点可知，F 为BCD ∆中心，且23DF DE = 作ST ⊥平面BCD ，垂足为T ，可知//ST AF ，且T 为DF 中点，则13DT DE = 即S 在平面BCD 上的射影点为T又,D Q ∈平面BCDDQT ∴∆即为SQD ∆在平面BCD 上的射影，可知③正确本题正确选项：C【点睛】本题考查投影图形的求解问题，关键是能够确定射影点所处的位置，属于基础题.7.设双曲线22143x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F 过1F 的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则22AF BF +的最小值为（ ） A. 10 B. 11C. 12D. 13【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线定义可知求解22AF BF +的最小值即为求解4a AB +的最小值；当AB 最小时，AB 为通径，从而利用通径长和双曲线方程可求得所求最小值.【详解】由22143x y -=得：2a =，b =由双曲线定义可知：2124AF AF a -==；2124BF BF a -==2211448AF BF AF BF AB ∴+=+++=+又AB 为双曲线的焦点弦 AB ∴最小时，AB 为通径2min22332b AB a ⨯∴=== ()22min8311AF BF ∴+=+=本题正确选项：B【点睛】本题考查双曲线的定义和几何性质的应用，关键是能够利用双曲线的定义将问题转化为最短焦点弦的问题，根据双曲线几何性质可知最短的焦点弦为通径，从而使问题得以求解.8.安排A ，B ，C ，D ，E ，F 6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，义工B 不安排照顾老人乙，则安排方法共有（ ） A. 30种 B. 40种 C. 42种 D. 48种【答案】C 【解析】 【分析】利用间接法求解，首先计算出所有的安排方法，减掉A 照顾老人甲的情况和B 照顾老人乙的情况，再加回来多减一次的A 照顾老人甲的同时B 照顾老人乙的情况，从而得到结果.【详解】6名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有：226490C C =种安排方法其中A 照顾老人甲的情况有：125430C C =种 B 照顾老人乙的情况有：125430C C =种A 照顾老人甲，同时B 照顾老人乙的情况有：114312C C =种∴符合题意的安排方法有：9030301242--+=种本题正确选项：C【点睛】本题考查利用排列组合解决实际问题，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解.9.已知O 为ABC ∆内一点，且1()2AO OB OC =+，AD t AC =，若B ,O ,D 三点共线，则t 的值为（ ）A.14B.13C.12D.23【答案】B 【解析】设线段BC 的中点为M ，则2OB OC OM +=，因为2OA OB OC =+，所以AO OM =，则111111()()24444AO AM AB AC AB AD AB AD t t==+=+=+，由,,B O D 三点共线，得11144t+=，解得13t =；故选B.点睛：利用平面向量判定三点共线往往有以下两种方法：①,,A B C 三点共线AB AC λ⇔=；②O 为平面上任一点，,,A B C 三点共线OA OB OC λμ⇔=+，且1λμ+=.10.已知直线l 与曲线31y x x =-+有三个不同的交点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，且||||A B A C =，则()31=+∑i i i x y （ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式可判断出曲线31y x x =-+关于点()0,1对称，由AB AC =可知()0,1A 且,B C 关于点A 对称，从而可求得232302x x y y +=⎧⎨+=⎩，代入求得结果.【详解】设()31f x x x =-+，则()()33112f x f x x x x x +-=-+-++=()f x ∴关于()0,1对称，即曲线31y x x =-+关于点()0,1对称AB AC =，根据对称性可知：()0,1A23230212x x y y +⎧=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪⎩ 232302x x y y +=⎧⇒⎨+=⎩()()()()31122331123i i i x y x y x y x y =∴+=+++++=+=∑本题正确选项：D【点睛】本题考查函数对称性的应用问题，解题关键是能够根据解析式得到曲线的对称点，从而使问题得以求解.11.已知抛物线x y C 4:21=，焦点(1,0)F 和圆1)1(:222=+-y x C ，直线:(1)l y k x =-与1C ，2C 依次相交于()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，（其中4321x x x x <<<），则AB CD ⋅的值为（ ）A. 1B. 2C. 24kD. 2k【答案】A 【解析】∵y 2=4x ，焦点F （1，0），准线 l 0：x=-1．由定义得：|AF|=x A +1， 又∵|AF|=|AB|+1，∴|AB|=x A ， 同理：|CD|=x D ，l ：y=k （x-1）时，代入抛物线方程，得：k 2x 2-（2k 2+4）x+k 2=0， ∴x A x D =1，则|AB|•|CD|=1． 综上所述，|AB|•|CD|=1， 故选A ．点睛：本题主要考查抛物线定义应用、一元二次方程的根与系数关系，考查学生的计算能力，利用抛物线定义表示出点到焦点的距离是关键.12.如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -面对角线1BC 上运动，则下列四个结论：①三棱锥1A D PC -的体积不变；1//A P ②平面1ACD ； 1DP BC ⊥③；④平面1PDB ⊥平面1ACD ．其中正确的结论的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【详解】对于①，由题意知11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故BC 1上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，所以以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，故①正确； 对于②，连接1A B ，11A C ，111//AC AD 且相等，由于①知：11//AD BC ， 所以11//BA C 面1ACD ，从而由线面平行的定义可得，故②正确； 对于③，由于DC ⊥平面11BCB C ，所以1DC BC ⊥， 若1DP BC ⊥，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，从而由面面垂直的判定知，故④正确． 故选：C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）.13.56⎛⎝x 展开式的常数项为__________.【答案】5 【解析】 【分析】写出展开式的通项，整理可知当4r =时为常数项，代入通项公式求得结果.【详解】56⎛-⎝x 展开式的通项公式为：()()15305621551rr rr r rr T C xC x --+⎛=⋅⋅=⋅- ⎝ 当153002r -=，即4r =时，常数项为：()44515C ⋅-= 本题正确结果：5【点睛】本题考查二项式定理中的求解指定项系数的问题，属于基础题.14.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是___________.【答案】⎤⎥⎣⎦【解析】【分析】由题意可得直线OP 于平面A 1BD 所成的角α的取值范围是111,,22AOA C OA ππ⎡⎤⎡⎤∠⋃∠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出取值范围． 【详解】由题意可得：直线OP 于平面A 1BD 所成的角α的取值范围是111,,22AOA C OA ππ⎡⎤⎡⎤∠⋃∠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 不妨取AB =2．在Rt △AOA 1中，sin ∠AOA 1=11AA AO == sin ∠C 1OA 1=()1111sin 2sin 22sin cos AOA AOA AOA AOA π-∠=∠=∠∠23==>， ∴sin α的取值范围是⎤⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题．15.如图，设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos sin a C c A b B +=，且.6CAB π∠=若点D 是ABC 外一点，2DC =，3DA =，则当四边形ABCD 面积最大值时，sin D =____．【答案】772 【解析】分析：由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得2sin()sin sin 1.2A CB B B π+=⇒=∴=，根据范围B ∈（0，π），可求B 的值．由余弦定理可得AC2=13﹣12cosD，由△ABC为直角三角形，可求，2ABCS AC=,S△BDC=3sinD，由三角函数恒等变换的应用可求四边形的面积为()+3sinD D Dφ=-+利用三角函数化一公式得到最值时的角C值.详解：cosC cos sina c Ab B+=，由正弦定理得到2sin()sin sin1.2A CB B Bπ+=⇒=∴=在三角形ACD中由余弦定理得到21312cosAC D=-，三角形ABC的面积为212AC AC AC D==()+3sinD D Dφ=-当三角形面积最大时，sin()1,sin cosD Dφφ-====点睛：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．16.对于函数()y f x=，若存在区间[],a b，当[,]x a b∈时的值域为[,](0)ka kb k>，则称()y f x=为k倍值函数.若()lnxf x x=+是k倍值函数，则实数k的取值范围是________. 【答案】1(1,1)e+【解析】试题分析：由题意得ln x x kx+=有两个不同的解，ln1xkx=+，则21l nxk x ex='-=⇒=，因此当0x e<<时，1(,1)ke∈-∞+，当x e>时，1(0,1)ke∈+，从而要使ln x x kx+=有两个不同的解，需1(0,1)k e∈+ 考点：函数与方程【思路点睛】（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答）.17.已知数列}{n b 的前n 项和为n S ，2n n S b +=，等差数列}{n a 满足123b a =，157b a += （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）证明：122313n n a b a b a b ++++<.【答案】（Ⅰ）1n a n =+,112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（Ⅱ）详见解析.【解析】 【分析】（Ⅰ）根据1n n n b S S -=-，整理可得121-=n n b b ，从而可知{}n b 为等比数列，将1n =代入2n n S b +=可求得1b ，根据等比数列通项公式求出n b ；将123b a =，157b a +=化为1a 和d 的形式，求解出基本量，根据等差数列通项公式求得n a ；（Ⅱ）利用错位相减法求解出12231332n n n n a b a b a b -+++⋅⋅⋅+=-，由302nn +>可证得结论. 【详解】（Ⅰ）2n n S b += ∴当1n =时，1112b S b ==- 11b ∴=当2n ≥时，1122n n n n n b S S b b --=-=--+，整理得：121-=n n b b ∴数列{}n b 是以1为首项，12为公比的等比数列 121-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴n n b设等差数列{}n a 的公差为d123b a =，157b a += 11346a d a d +=⎧∴⎨+=⎩，解得：121a d =⎧⎨=⎩()()112111n a a n d n n ∴=+-=+-⨯=+（Ⅱ）证明：设()212231111231222nn n n T a b a b a b n -⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()23111112312222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减可得：()()23111111111111421111122222212n n n n n T n n ++-⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-+⋅=-+⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-13322n n ++=- nn n T 233+-=即12231332n n n n a b a b a b -+++⋅⋅⋅+=-302nn +> 122313n n a b a b a b -∴++⋅⋅⋅+< 【点睛】本题考查等差数列、等比数列通项公式的求解、错位相减法求解数列的前项和的问题，属于常规题型.18.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB PC ⊥，AD BC ∕∕，AD CD ⊥，且2PCBC AD ==2CD ==2=PA ．(1)PA ⊥平面ABCD ；(2)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为60︒？如果存在，求PMPD的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)见证明 (2)见解析 【解析】 【分析】（1）推导出AB ⊥AC ，AP ⊥AC ，AB ⊥PC ，从而AB ⊥平面PAC ，进而PA ⊥AB ，由此能证明PA ⊥平面ABCD ；（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段PD 上，存在一点M ，使得二面角M ﹣AC ﹣D 的大小为60°，PMPD=4﹣． 【详解】（1）∵在底面ABCD 中，AD BC ，ADCD ⊥ 且22BC AD CD ===∴2AB AC ==，BC =∴AB AC ⊥又∵AB PC ⊥，AC PC C ⋂=，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ∴AB ⊥平面PAC 又∵PA ⊂平面PAC ∴AB PA ⊥ ∵2PA AC ==，PC = ∴PA AC ⊥又∵PA AB ⊥，AB AC A ⋂=，AB ⊂平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ∴PA ⊥平面ABCD（2）方法一：在线段AD 上取点N ，使2AN ND = 则MN PA又由（1）得PA ⊥平面ABCD ∴MN ⊥平面ABCD 又∵AC ⊂平面ABCD∴MN AC ⊥作NO AC ⊥于O 又∵MN NO N ⋂=，MN ⊂平面MNO ，NO ⊂平面MNO ∴AC ⊥平面MNO 又∵MO ⊂平面MNO ∴AC MO ⊥ 又∵AC NO ⊥ ∴MON ∠是二面角M AC D --的一个平面角 设PM x PD = 则()122MN x AP x =-=-，ON AN xAD x == 这样，二面角M AC D --的大小为60︒ 即tan MON ∠=22tan60MN xON x-==︒=即4PMx PD==-∴满足要求的点M存在，且4PMPD=-方法二：取BC 的中点E ，则AE 、AD 、AP 三条直线两两垂直 ∴可以分别以直线AE 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系 且由（1）知()0,0,2AP =是平面ACD 的一个法向量 设()0,1PMx PD=∈ 则()122MN x AP x =-=-，AN xAD ==∴(),22AM x =-，()2,AC =设(),,AQ a b c =是平面ACM 的一个法向量则()222020AQAM xb x c AQ AC a ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩∴22a b c b x =-⎧⎪⎨=⎪-⎩令22b x =-，则()22,2AQ x x =-+-，它背向二面角 又∵平面ACD 的法向量()0,0,2AP =，它指向二面角 这样，二面角M AC D --的大小为60︒即cos ,AP AQ =AP AQ AP AQ⋅=⋅1cos602=︒=即4x =-∴满足要求的点M 存在，且4PMPD=-【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查满足二面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式.某机构对“使用微信支付”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数如下表.（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面22 列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信支付”的态度与人的年龄有关；（Ⅱ）若从年龄在[45,65)的被调查人中按照赞成与不赞成分层抽样，抽取5人进行追踪调查，在5人中抽取3人做专访，求3人中不赞成使用微信支付的人数的分布列和期望值.参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据频数分布表补全列联表，代入公式可求得29.98 6.635K ≈>，从而可知有99%的把握；（Ⅱ）根据分层抽样的方法可知抽取的5人中，支持微信支付3人，不支持微信支付2人，根据超几何分布的特点求得分布列和数学期望. 【详解】（Ⅰ）由频数分布表得22⨯列联表如下：2250(3102710)9.979 6.63537301320K ⨯⨯-⨯∴=≈>⨯⨯⨯∴有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关（Ⅱ）年龄在[)45,65中支持微信支付9人，不支持微信支付6人由分层抽样方法可知：抽取的5人中，支持微信支付3人，不支持微信支付2人 设3人中不支持微信支付的人数为ξ，则ξ所有可能的取值为：2,1,0()33351010C P C ξ===，()213235631105C C P C ξ====，()1232353210C C P C ξ===ξ∴的分布列为：()00.110.620.3 1.2E ξ∴=⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查独立性检验、超几何分布的分布列和数学期望的求解，对于学生的基础计算能力有一定的考查，属于常规题型.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1F 、2F ，221=F F ，点Q 在椭圆上，且12QF F ∆的周长为6 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点P 的坐标为()2,1，不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，点P 到直线l 的距离为d ，且M ，O ，P 三点共线，求221213||1316AB d +的最大值.【答案】（Ⅰ）13422=+y x ；（Ⅱ）523. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据焦距和焦点三角形周长可求得,a c ，利用222c a b -=求得b ，从而可得椭圆的方程；（Ⅱ）当直线l 斜率不存在时，可判断出M ，O ，P 三点不共线，不符合题意；所以可假设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出12x x +和12x x ；由三点共线得到斜率相等关系，从而可求得32k =-；利用弦长公式和点到直线距离公式求得AB 和d ，代入可整理出：22212133452||1316433AB d m ⎛⎫+=-++⎪⎝⎭，可知当34-=m 时取最大值. 【详解】（Ⅰ）由题意得：22c =，622=+c a 解得：2a =，1c = 3222=-=∴c a b∴椭圆C 的方程为13422=+y x（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y当直线l 与x 轴垂直时，由椭圆的对称性可知，点M 在x 轴上，且与O 点不重合 显然M ，O ，P 三点不共线，不符合题设条件 故可设直线l 的方程()0y kx m m =+≠由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 整理得：()2223484120k x kmx m +++-=……① 则()()2222644344120k m km∆=-+->122834km x x k -∴+=+，212241234m x x k-=+ ∴点M 的坐标为2243,3434km m k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭ M ，O ，P 三点共线 OMOP k k ∴= 2231344234mk km k +∴=-+0m ≠ 32k ∴=-此时方程①为：223330x mx m -+-=，则()23120m∆=->(m ∴∈-则12x x m +=，21233m x x -=()()()2222121213141212k x x x x m AB ⎡⎤=++-∴=-⎣⎦又d ==()()22222412133452||1213164433m AB d m m -⎛⎫∴+=-+=-++ ⎪⎝⎭∴当(43m =-∈-时，2212131316AB d +的最大值为523【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、直线与椭圆综合应用中的求解最值的问题，解决直线与椭圆综合问题时，常采用联立的方式整理出韦达定理的形式，利用韦达定理表示出所求的距离或弦长，从而将所求问题转变为函数最值的求解问题.21.已知a R ∈，函数()()2ln 12f x x x ax =+-++（Ⅰ）若函数()f x 在[)2,+∞上为减函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设正实数121m m +=，求证：对)1()(f x f ≥上的任意两个实数1x ，2x ，总有()()()11221122f m x m x m f x m f x +≥+成立【答案】（Ⅰ）11,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（Ⅱ）详见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）将问题转化为()0f x '≤在[)+∞∈,2x 上恒成立，可得112+-≤x x a ，令()121h x x x =-+，可判断出()h x 在[)2,+∞上单调递增，即()()min 2h x h =，从而可得a 的范围；（Ⅱ）构造函数()()()122122()F x f m x m x m f x m f x =+--，(]21,x x ∈-，且121x x -<≤；利用导数可判断出()F x 在(]21,x x ∈-上是减函数，得到()()2F x F x ≥，经验算可知()20F x =，从而可得()()()122122f m x m x m f x m f x +≥+，从而可证得结论. 【详解】（Ⅰ）由题意知：()121f x x a x '=-++ 函数()f x 在[)2,+∞上为减函数，即()0f x '≤在[)+∞∈,2x 上恒成立即：112+-≤x x a 在[)+∞∈,2x 上恒成立 设()121h x x x =-+当2≥x 时，11x +单调递减，2x 单调递增 ()h x ∴在[)2,+∞上单调递增 ()()min 1112433h x h ∴==-= 113a ∴≤即a 的取值范围为：11,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（Ⅱ）设121x x -<≤，令：()()()122122()F x f m x m x m f x m f x =+--，(]21,x x ∈- 则()()()()21221220F x f m m x m m f x =+-+=⎡⎤⎣⎦()()()()()112211122F x m f m x m x m f x m f m x m x f x '''''∴=+-=+-⎡⎤⎣⎦()()1221222222210m x m x x x m m x m x m x m x x +-=-+=-+=-≥122m x m x x ∴+≥()121f x x a x '=-++，令()()g x f x ='，则()()21201g x x '=--<+ ()f x ∴'在()1,x ∈-+∞上为减函数 ()()122f m x m x f x ''∴+≤ ()()11220m f m x m x f x ''∴+-≤⎡⎤⎣⎦，即()0F x '≤()F x ∴在(]21,x x ∈-上是减函数 ()2()0F x F x ∴≥=，即()0F x ≥ ()()()1221220f m x m x m f x m f x ∴+--≥(]21,x x ∴∈-时，()()()122122f m x m x m f x m f x +≥+121x x -<≤ ()()()11221122f m x m x m f x m f x ∴+≥+【点睛】本题考查利用函数在区间内的单调性求解参数范围、利用导数证明不等式成立的问题.本题证明不等式的关键是能够通过构造函数，将问题转化为求解新函数单调性和最值的问题，根据最值可证得对应的结论.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，将曲线C 向左平移2个单位长度得到曲线D . （1）求曲线D 的参数方程；（2）已知P 为曲线D 上的动点，,A B 两点的极坐标分别为)6π，求A P B P ⋅的最大值.【答案】（1）曲线D 的参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）；（2）13-【解析】试题分析：（1）题设给出的是曲线C 的极坐标方程，把它变形为24cos ρρθ=后利用222,cos x y x ρρθ=+=把后者化为()2224x y -+=，向左平移2个单位长度后得到曲线D ，其方程为224x y +=，其参数方程为2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩ （α为参数）.（2）,A B 两点的直角坐标为()(3,0,3，利用（1）算出的曲线D 的参数方程计算·1312cos AP BP αα=--，利用辅助角公式可以求其最大值.解析：（1）2224cos ,4cos ,4x y x ρθρρθ=∴=∴+=,则曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=，易知曲线C 为圆心是()2,0，半径为2的圆，从而得到曲线D 的直角坐标方程为224x y += ，故曲线D 的参数方程为 ()2cos 2sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数.（2）,A B 两点的直角坐标分别为()(3,03，，依题意可设()ααsin 2,cos 2P ，则 ()(2cos 3,2sin ,2cos 3,2sin AP BP αααα=-=--，()(22cos 32sin 2sin 412cos 9AP BP a a ααα∴⋅=-+-=--+()13239sin αφ=-+，故AP BP ⋅的最大值为13-23.已知函数()2f x x a x =++-． （1）若4a =-求不等式()6f x ≥的解集；（2）若()3f x x ≤-的解集包含[]0,1，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)(][),06,-∞⋃+∞;(2)10a -≤≤. 【解析】试题分析：（1）当4a =-时，()6f x ≥，利用零点分段法将表达式分成三种情况，分别解不等式组，求得解集为(][),06,-∞⋃+∞；（2）()3f x x ≤-等价于23x a x x ++-≤-，即11x a x --≤≤-在[]0,1上恒成立，即10a -≤≤.试题解析：（1）当4a =-时，()6f x ≥，即2{426x x x ≤-+-≥或24{426x x x <<-+-≥或4{426x x x ≥-+-≥， 解得0x ≤或6x ≥，不等式的解集为(][),06,-∞⋃+∞； （2）原命题等价于()3f x x ≤-在[]0,1上恒成立，即23x a x x ++-≤-在[]0,1上恒成立，即11x a x --≤≤-在[]0,1上恒成立，即10a -≤≤，实数a 的取值范围为[]1,0-． 考点：不等式选讲．。

2019届全国高考仿真模拟（六）理科数学本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集U R=，集合{|14}A x x x=<->或，{|23}B x x=-≤≤，那么阴影部分表示的集合为（）A．{|24}x x-≤< B．{|34}x x x≤≥或 C．{|21}x x-≤≤- D．{|13}x x-≤≤2.（2018·河南九校联考）已知复数z的共轭复数112izi-=+，则复数z的虚部是（）A．35B．35i C．35- D．35i-3.（2019·海口市调研）设nS为等比数列{}na的前n项和，2580a a-=，则84SS=（）A ．12 B ．1716C ．2D ．17 4.（2018·贵州省适应性考试）已知α，β表示两个不同平面，a ，b 表示两条不同直线.对于下列两个命题：①若b α⊂，a α⊄，则“//a b ”是“//a α”的充分不必要条件； ②若a α⊂，b α⊂，则“//αβ”是“//a β且//b β”的充要条件. 判断正确的是（ ）A ．①，②都是真命题B ．①是真命题，②是假命题C ．①是假命题，②是真命题D ．①，②都是假命题5.（2018·菏泽市模拟）若62b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 6.执行如图所示的算法框图，输出的S 值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16 7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱8.（2018·唐山市二模）已知3log 4a =，log 3b π=，0.55c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<9.（2017·合肥市质检）已知实数x ，y 满足103101x y x y x -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，若z kx y =-的最小值为5-，则实数k 的值为（ ）A ．3-B ．3或5-C ．3-或5-D ．3± 10.（2017·甘肃省二诊）设函数()f x x x bx c =++，给出下列四个命题： ①当0c =时，()y f x =是奇函数；②当0b =，0c >时，方程()0f x =只有一个实数根； ③函数()f x 可能是R 上的偶函数； ④方程()0f x =最多有两个实根. 其中正确的命题是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③④D ．①②④11.（2017·银川市质检）已知抛物线C ：216y x =，焦点为F ，直线l ：1x =-，点A l ∈，线段AF 与抛物线C 的交点为B ，若5FA FB =，则FA =（ ） A．．35 C．．40 12.已知'()f x 是函数()()f x x R ∈的导数，满足'()()f x f x =，且(0)2f =，设函数3()()ln ()g x f x f x =-的一个零点为0x ，则以下正确的是（ ）A ．0(0,1)x ∈B ．0(1,2)x ∈C ．0(2,3)x ∈D ．0(3,4)x ∈第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）13.（2017·武汉市调研）将函数()sin f x x x =-的图象向右平移θ个单位长度后得到的图象关于直线6x π=对称，则θ的最小正值为 ．14.（2017·郑州一预）抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为a ，b ，那么直线1bx ay +=的斜率25k ≥-的概率是 ． 15.（2017·长沙市模拟）M 、N 分别为双曲线22143x y -=左、右支上的点，设v 是平行于x 轴的单位向量，则MN v ⋅u u u u r的最小值为 ．16.已知数列{}n a 中，对任意的*n N ∈若满足123n n n n a a a a S ++++++=（S 为常数），则称该数列为4阶等和数列，其中S 为4阶公和；若满足12n n n a a a T ++⋅⋅=（T 为常数），则称该数列为3阶等积数列，其中T 为3阶公积.已知数列{}n p 为首项为1的4阶等和数列，且满足3423212p p p p p p ===；数列{}n q 为公积为1的3阶等积数列，且121q q ==-，设n S 为数列{}n n p q ⋅的前n 项和，则2016S = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知向量3sin ,14x m ⎛⎫= ⎪⎝⎭u r ，2cos ,cos 44x n π⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()f x m n =⋅u r r .（1）求()f x 的最大值，并求此时x 的值；（2）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足31()f B +=，2a =，3c =，求sin A 的值.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PA PB =，O 为AB 的中点，OD PC ⊥.（1）求证：OC PD ⊥；（2）若PD 与平面PAB 所成的角为30o，求二面角D PC B --的余弦值.19.为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：（1）试判断能否有90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关；附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -++++（2）为了宣传消防知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出6人组成宣传小组.现从这6人中随机抽取2人到校外宣传，求到校外宣传的同学中男生人数X 的分布列和数学期望.20.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>经过点2)，且离心率为2，1F ，2F 是椭圆E 的左，右焦点.（1）求椭圆E 的方程；（2）若点A ，B 是椭圆上E 关于y 轴对称两点（A ，B 不是长轴的端点），点P 是椭圆E 上异于A ，B 的一点，且直线PA ，PB 分别交y 轴于点M ，N ，求证：直线1MF 与直线2MF 的交点G 在定圆上. 21.设()ln af x x x x=+，32()3g x x x =--. （1）如果存在12,[0,2]x x ∈使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数M ； （2）如果对于任意的1,,22s t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=，[0,2)θπ∈. （1）求1C 的直角坐标方程；（2）曲线2C 的参数方程为cos 6sin6x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），求1C 与2C 的公共点的极坐标.23.选修4-5：不等式选讲 设α，β，γ均为实数.（1）证明：cos()cos sin αβαβ+≤+，sin()cos cos αβαβ+≤+. （2）若0αβγ++=.证明：cos cos cos 1αββ++≥.普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟（六）理科数学一、选择题1-5: DABBC 6-10: CADDA 11、12：BA 二、填空题 13.3π14. 16 15. 4 16. 2520-三、解答题17.解析：（1）2()cos cos 444x x x f x =+1cos2222xx+=+1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当2262x k πππ+=+，k Z ∈，即243x k ππ=+，k Z ∈时， ()f x 的最大值为32.（2）∵1()sin 262B f B π⎛⎫=++=⎪⎝⎭，∴sin 26B π⎛⎫+=⎪⎝⎭， ∵0B π<<，∴26263B πππ<+<，∴263B ππ+=， ∴3B π=，在ABC ∆中，由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-14922372=+-⨯⨯⨯=，∴b =在ABC ∆中，由正弦定理得， sin sin a bA B=，∴2sin 7A ==.18.解析：（1）证明：连接OP （图略），因PA PB =，O 为AB 的中点，故OP AB ⊥. ∵侧面PAB ⊥底面ABCD ， ∴OP ⊥平面ABCD ， ∴OP OD ⊥，OP OC ⊥，∵OD PC ⊥，∴OD ⊥平面OPC ， ∴OD OC ⊥，又∵OP OC ⊥，故OC ⊥平面OPD ， 所以OC PD ⊥.（2）取CD 的中点E ，连接OE ，以O 为原点，OE ，OB ，OP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.不妨设1AD =，则2AB =，所以(0,1,0)B ，(1,1,0)C ，(1,1,0)D -，P ，从而(1,1,PC =u u u r ，(0,2,0)CD =-u u u r.设平面PCD 的法向量为1111(,,)n x y z =u r，由1100PC n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r，得1111020x y y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，可取1n =u r.同理，可取平面PCB的一个法向量为2(0,1)n =-u u r.于是1212121cos,3n nn nn n⋅<>==-⋅u r u u ru r u u ru r u u r，所以二面角D PC B--的余弦值为13-.19.解析：（1）因为2K的观测值2120(15403530)45755070k⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯2.057 2.706≈<，所以没有90%的把握认为测试成绩优秀与否与性别有关.（2）用分层抽样的方法抽取时抽取比例是624515=，则抽取女生230415⨯=人，抽取男生215215⨯=人.依题意，X可能的取值为0，1，2.242662(0)155CP XC====；1142268(1)15C CP XC===；22261(2)15CP XC===.X的分布列为：X012P25815115X的数学期望为：()012515153E X=⨯+⨯+⨯=.20.解析：（1）由条件得4a=，22b c==所以椭圆E的方程为221168x y+=.（2）设00(,)B x y ，11(,)P x y ，则00(,)A x y -， 直线PA 的方程为101110()y y y y x x x x --=-+，令0x =，得100110x y x y y x x +=+，故1001100,x y x y M x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，同理可得1001100,x y x y N x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，1001110x y x y F M x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭u u u u r ，1001210x y x y F N x x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭u u u u r ，所以，10011210x y x y F M F N x x ⎛⎫+⋅= ⎪+⎝⎭u u u u r u u u ur 100110x y x y x x ⎛⎫-⋅- ⎪-⎝⎭22221001108x y x y x x -=-+- 222201102210818116168x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⨯--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+- 880=-+=，所以，12F M F N ⊥，所以直线1F M 与直线2F N 交于点G 在以12F F 为直径的圆上. 21.解析：（1）存在12,[0,2]x x ∈使得12()()g x g x M -≥成立，等价于12max [()()]g x g x M -≥.由32()3g x x x =--，得22'()3233g x x x x x ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭. 令'()0g x >得0x <，或23x >， 又[0,2]x ∈，所以()g x 在区间20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以min 285()327g x g ⎛⎫==-⎪⎝⎭， max ()(2)1g x g ==.故12max max min [()()]()()g x g x g x g x -=-11227M =≥， 则满足条件的最大整数4M =.（2）对于任意的1,,22s t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()f s g t ≥成立，等价于在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上， 函数min max ()()f x g x ≥.由（1）可知在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()g x 的最大值为(2)1g =. 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()ln 1af x x x x =+≥恒成立等价于2ln a x x x ≥-恒成立.设2()ln h x x x x =-，'()12ln h x x x x =--，可知'()h x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，又'(1)0h =，所以当12x <<时，'()0h x <；当112x <<时，'()0h x >. 即函数2()ln h x x x x =-在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在区间(1,2)上单调递减， 所以max ()(1)1h x h ==，所以1a ≥，即实数a 的取值范围是[1,)+∞.22.解析：（1）将222cos x y xρρθ⎧=+⎨=⎩代入24cos 30ρρθ-+=，得：22(2)1x y -+=.（2）由题设可知，2C 是过坐标原点，倾斜角为6π的直线. 因此2C 的极坐标方程为6πθ=或76πθ=，0ρ>.将6πθ=代入1C ：230ρ-+=，解得ρ=- 11 - 同理，将76πθ=代入1C得，ρ=. 故1C ，2C公共点的极坐标为6π⎫⎪⎭. 23.证明：（1）cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-cos cos sin sin αβαβ≤+cos sin αβ≤+； sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin cos cos sin αβαβ≤+cos cos αβ≤+.（2）由（1）知，cos(())cos sin()αβγαβγ++≤++cos cos cos αβγ≤++，而0αβγ++=，故cos cos cos 1αββ++≥.。

2019届河南省濮阳市高三5月模拟考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|22A x x =-<≤，3|1B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=（ ） A ．{|0}x x < B ．{|2}x x ≤ C ．}02|{<<-x xD ．{|32}-≤≤x x【答案】C【解析】解分式不等式求出集合B ，根据交集定义求出结果. 【详解】{}3130B x x x x ⎧⎫=≤-=-≤<⎨⎬⎩⎭则{}20A B x x ⋂=-<< 本题正确选项：C 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 2．已知是虚数单位，若，则的共轭复数对应的点在复平面的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案． 【详解】解：由2+i ＝z （1﹣i ），得z，∴，则z 的共轭复数z 对应的点的坐标为（），在复平面的第四象限．故选：D ． 【点睛】3．若表示不超过的最大整数，则下图的程序框图运行之后输出的结果为( )A ．49850B ．49900C ．49800D ．49950 【答案】A【解析】由已知可得，故选A.4．要得到cos(2)4y x π=-的图象，只需将sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向左平移8π个单位 C ．向右平移4π个单位 D ．向右平移8π个单位【答案】B 【解析】试题分析：cos(2)sin (2)sin(2)sin 2()44248y x x x x πππππ⎡⎤=-=-+=+=+⎢⎥⎣⎦，故要得到cos(2)4y x π=-的图象，只需将sin 2y x =的图象向左平移8π个单位【考点】函数sin()y A x ωφ=+的图像和性质5．若变量x ，y 满足约束条件3123x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-≤⎩……，则x y z ln ln -=的最大值为（ ）A ．2B ．2ln2C ．2ln -D ．ln 2【解析】根据约束条件得到可行域，将x y z ln ln -=化为ln y z x=，根据yx 的几何意义可求得取()2,1C 时，yx最大，代入可求得z 的最大值. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：ln ln lny z y x x=-= z ∴取最大值时，yx 最大yx的几何意义为：(),x y 与原点连线的斜率 由上图可知，点C 与原点连线斜率最大 由31x y x y +=⎧⎨-=-⎩得：()2,1C m a x 2y x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ m a x l n 2z ∴= 本题正确选项：D 【点睛】本题考查线性规划中斜率型的最值的求解，关键是能够明确分式类型的目标函数的几何意义，属于常规题型.6．设四面体ABCD 各棱长均相等，S 为AD 的中点，Q 为BC 上异于中点和端点的任一点，则SQD ∆在四面体的面BCD 上的的射影可能是（ ）【答案】C【解析】由题意可知四面体为正四面体，根据正四面体的特点可求得S 在平面BCD 上的射影点T 在中线DE 上，且13DT DE =，又,D Q ∈平面BCD ，可得射影三角形，从而得到结果. 【详解】四面体各棱长相等，可知四面体ABCD 为正四面体 取BC 中点E ，连接DE ，如下图所示：作⊥AF 平面BCD ，垂足为F ，由正四面体特点可知，F 为BCD ∆中心，且23DF DE =作ST ⊥平面BCD ，垂足为T ，可知//ST AF ，且T 为DF 中点，则13DT DE = 即S 在平面BCD 上的射影点为T 又,D Q ∈平面BCDDQT ∴∆即为SQD ∆在平面BCD 上的射影，可知③正确本题正确选项：C 【点睛】本题考查投影图形的求解问题，关键是能够确定射影点所处的位置，属于基础题.7．设双曲线22143x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F 过1F 的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则22AF BF +的最小值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】B【解析】利用双曲线定义可知求解22AF BF +的最小值即为求解4a AB +的最小值；当AB 最小时，AB 为通径，从而利用通径长和双曲线方程可求得所求最小值.由22143x y -=得：2a =，b =由双曲线定义可知：2124AF AF a -==；2124BF BF a -==2211448AF BF AF BF AB ∴+=+++=+又AB 为双曲线的焦点弦 AB ∴最小时，AB 为通径2min22332b AB a ⨯∴=== ()22min8311AF BF ∴+=+=本题正确选项：B 【点睛】本题考查双曲线的定义和几何性质的应用，关键是能够利用双曲线的定义将问题转化为最短焦点弦的问题，根据双曲线几何性质可知最短的焦点弦为通径，从而使问题得以求解.8．安排A ，B ，C ，D ，E ，F 6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，义工B 不安排照顾老人乙，则安排方法共有（ ） A ．30种 B ．40种 C ．42种 D ．48种【答案】C【解析】利用间接法求解，首先计算出所有的安排方法，减掉A 照顾老人甲的情况和B 照顾老人乙的情况，再加回来多减一次的A 照顾老人甲的同时B 照顾老人乙的情况，从而得到结果. 【详解】6名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有：226490C C =种安排方法其中A 照顾老人甲的情况有：125430C C =种 B 照顾老人乙的情况有：125430C C =种A 照顾老人甲，同时B 照顾老人乙的情况有：114312C C =种∴符合题意的安排方法有：9030301242--+=种本题正确选项：C 【点睛】本题考查利用排列组合解决实际问题，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进9．已知为内一点，且，，若,,三点共线，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B 【解析】设线段的中点为，则，因为，所以，则，由三点共线，得，解得；故选B.点睛：利用平面向量判定三点共线往往有以下两种方法： ①三点共线； ②为平面上任一点，三点共线，且.10．已知直线l 与曲线31y x x =-+有三个不同的交点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，且||||AB AC =，则()31=+∑i i i x y （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】根据函数解析式可判断出曲线31y x x =-+关于点()0,1对称，由AB AC=可知()0,1A 且,B C 关于点A 对称，从而可求得232302x x y y +=⎧⎨+=⎩，代入求得结果.【详解】设()31f x x x =-+，则()()33112f x f x x x x x +-=-+-++=()f x ∴关于()0,1对称，即曲线31y x x =-+关于点()0,1对称AB AC =，根据对称性可知：()0,1A2302x x y y +⎧=⎪⎪∴⎨+ 2302x x y y +=⎧⇒⎨+=()()()()31122331123i i i x y x y x y x y =∴+=+++++=+=∑本题正确选项：D 【点睛】本题考查函数对称性的应用问题，解题关键是能够根据解析式得到曲线的对称点，从而使问题得以求解. 11．已知抛物线，焦点和圆，直线与，依次相交于，，，，（其中），则的值为（ ）A ．1B ．2C ．D ．【答案】A【解析】∵y 2=4x ，焦点F （1，0），准线 l 0：x=-1．由定义得：|AF|=x A +1， 又∵|AF|=|AB|+1，∴|AB|=x A ， 同理：|CD|=x D ，l ：y=k （x-1）时，代入抛物线方程，得：k 2x 2-（2k 2+4）x+k 2=0， ∴x A x D =1，则|AB|•|CD|=1． 综上所述，|AB|•|CD|=1， 故选A ．点睛：本题主要考查抛物线的定义应用、一元二次方程的根与系数关系，考查学生的计算能力，利用抛物线定义表示出点到焦点的距离是关键. 12．如图，点P 在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论：平面；；平面平面．其中正确的结论的个数是A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【详解】对于，由题意知，从而平面，故BC上任意一点到平面的距离均相等，所以以P为顶点，平面为底面，则三棱锥的体积不变，故正确；对于，连接，，且相等，由于知：，所以面，从而由线面平行的定义可得，故正确；对于，由于平面，所以，若，则平面DCP，，则P为中点，与P为动点矛盾，故错误；对于，连接，由且，故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．二、填空题13．56⎛⎝x 展开式的常数项为__________.【答案】5【解析】写出展开式的通项，整理可知当4r =时为常数项，代入通项公式求得结果. 【详解】56⎛-⎝x 展开式的通项公式为：()()15305621551rr rr r rr T C xC x --+⎛=⋅⋅=⋅- ⎝ 当153002r -=，即4r =时，常数项为：()44515C ⋅-= 本题正确结果：5 【点睛】本题考查二项式定理中的求解指定项系数的问题，属于基础题. 14．如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是___________.【答案】【解析】由题意可得直线OP 于平面A 1BD 所成的角α的取值范围是，再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出取值范围．由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是，不妨取AB=2．在Rt△AOA1中，sin∠AOA1=，sin∠C1OA1=，∴的取值范围是.【点睛】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题．15．如图，设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且若点D是外一点，，，则当四边形ABCD面积最大值时，____．【答案】【解析】分析：由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得，根据范围B∈（0，π），可求B的值．由余弦定理可得AC2=13﹣12cosD，由△ABC为直角三角形，可求，,S△BDC=3sinD，由三角函数恒等变换的应用可求四边形的面积为，利用三角函数化一公式得到最值时详解：，由正弦定理得到在三角形ACD中由余弦定理得到，三角形ABC的面积为四边形的面积为当三角形面积最大时，故答案为：点睛：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．16．对于函数，若存在区间，当时的值域为，则称为倍值函数.若是倍值函数，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】试题分析：由题意得有两个不同的解，，则，因此当时，，当时，，从而要使有两个不同的解，需【考点】函数与方程【思路点睛】（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.三、解答题17．已知数列}{n b 的前n 项和为n S ，2n n S b +=，等差数列}{n a 满足123b a =，157b a +=（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）证明：122313n n a b a b a b ++++<.【答案】（Ⅰ）1n a n =+,112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）根据1n n n b S S -=-，整理可得121-=n n b b ，从而可知{}n b 为等比数列，将1n =代入2n n S b +=可求得1b ，根据等比数列通项公式求出n b ；将123b a =，157b a +=化为1a 和d 的形式，求解出基本量，根据等差数列通项公式求得n a ；（Ⅱ）利用错位相减法求解出12231332n n n n a b a b a b -+++⋅⋅⋅+=-，由302nn +>可证得结论. 【详解】 （Ⅰ）2n n S b += ∴当1n =时，1112b S b ==- 11b ∴=当2n ≥时，1122n n n n n b S S b b --=-=--+，整理得：121-=n n b b ∴数列{}n b 是以1为首项，12为公比的等比数列 121-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴n n b设等差数列{}n a 的公差为d123b a =，157b a += 11346a d a d +=⎧∴⎨+=⎩，解得：121a d =⎧⎨=⎩()()112111n a a n d n n ∴=+-=+-⨯=+（Ⅱ）证明：设()212231111231222nn n n T a b a b a b n -⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()23111112312222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减可得：()()23111111111111421111122222212n n n n n T n n ++-⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-+⋅=-+⋅+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-13322n n ++=-nn n T 233+-=即12231332n n n n a b a b a b -+++⋅⋅⋅+=-302nn +> 122313n n a b a b a b -∴++⋅⋅⋅+< 【点睛】本题考查等差数列、等比数列通项公式的求解、错位相减法求解数列的前项和的问题，属于常规题型. 18．如图所示，在四棱锥中，，，，且，．(1)平面；(2)在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)见证明 (2)见解析【解析】（1）推导出AB ⊥AC ，AP ⊥AC ，AB ⊥PC ，从而AB ⊥平面P AC ，进而P A ⊥AB ，由此能证明P A ⊥平面ABCD ；（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段PD 上，存在一点M ，使得二面角M ﹣AC ﹣D 的大小为60°，4﹣2．【详解】（1）∵在底面中，，且∴，∴又∵，，平面，平面∴平面又∵平面∴∵，∴又∵，，平面，平面∴平面（2）方法一：在线段上取点，使则又由（1）得平面∴平面又∵平面∴作于又∵，平面，平面∴平面又∵平面∴又∵∴是二面角的一个平面角设则，这样，二面角的大小为即即∴满足要求的点存在，且方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系且由（1）知是平面的一个法向量设则，∴，设是平面的一个法向量则∴令，则，它背向二面角又∵平面的法向量，它指向二面角这样，二面角的大小为即即∴满足要求的点存在，且【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查满足二面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 19．随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式.某机构对“使用微信支付”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信支付”的态度与人的年龄有关；（Ⅱ）若从年龄在[45,65)的被调查人中按照赞成与不赞成分层抽样，抽取5人进行追踪调查，在5人中抽取3人做专访，求3人中不赞成使用微信支付的人数的分布列和期望值.参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）根据频数分布表补全列联表，代入公式可求得29.98 6.635K ≈>，从而可知有99%的把握；（Ⅱ）根据分层抽样的方法可知抽取的5人中，支持微信支付3人，不支持微信支付2人，根据超几何分布的特点求得分布列和数学期望. 【详解】（Ⅰ）由频数分布表得22⨯列联表如下：2250(3102710)9.979 6.63537301320K ⨯⨯-⨯∴=≈>⨯⨯⨯∴有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关（Ⅱ）年龄在[)45,65中支持微信支付9人，不支持微信支付6人由分层抽样方法可知：抽取的5人中，支持微信支付3人，不支持微信支付2人 设3人中不支持微信支付的人数为ξ，则ξ所有可能的取值为：2,1,0()33351010C P C ξ===，()213235631105C C P C ξ====，()1232353210C C P C ξ===ξ∴的分布列为：()00.110.620.3 1.2E ξ∴=⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查独立性检验、超几何分布的分布列和数学期望的求解，对于学生的基础计算能力有一定的考查，属于常规题型.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1F 、2F ，221=F F ，点Q在椭圆上，且12QF F ∆的周长为6（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点P 的坐标为()2,1，不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，点P 到直线l 的距离为d ，且M ，O ，P 三点共线，求221213||1316AB d +的最大值. 【答案】（Ⅰ）13422=+y x ；（Ⅱ）523. 【解析】（Ⅰ）根据焦距和焦点三角形周长可求得,a c ，利用222c a b -=求得b ，从而可得椭圆的方程；（Ⅱ）当直线l 斜率不存在时，可判断出M ，O ，P 三点不共线，不符合题意；所以可假设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出12x x +和12x x ；由三点共线得到斜率相等关系，从而可求得32k =-；利用弦长公式和点到直线距离公式求得AB 和d ，代入可整理出：22212133452||1316433AB d m ⎛⎫+=-++ ⎪⎝⎭，可知当34-=m 时取最大值. 【详解】（Ⅰ）由题意得：22c =，622=+c a 解得：2a =，1c = 3222=-=∴c a b∴椭圆C 的方程为13422=+y x（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y当直线l 与x 轴垂直时，由椭圆的对称性可知，点M 在x 轴上，且与O 点不重合 显然M ，O ，P 三点不共线，不符合题设条件 故可设直线l 的方程()0y kx m m =+≠由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 整理得：()2223484120k x kmx m +++-=……① 则()()2222644344120k m km∆=-+->122834km x x k -∴+=+，212241234m x x k-=+ ∴点M 的坐标为2243,3434km m k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭M ，O ，P 三点共线 OMOP k k ∴= 2231344234mk km k+∴=-+ 0m ≠ 32k ∴=-此时方程①为：223330x mx m -+-=，则()23120m∆=->(,3m ∴∈则12x x m +=，21233m x x -= ()()()2222121213141212k x x x x m AB ⎡⎤=++-∴=-⎣⎦又d ==()()22222412133452||1213164433m AB d m m -⎛⎫∴+=-+=-++ ⎪⎝⎭∴当(43m =-∈-时，2212131316AB d +的最大值为523【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、直线与椭圆综合应用中的求解最值的问题，解决直线与椭圆综合问题时，常采用联立的方式整理出韦达定理的形式，利用韦达定理表示出所求的距离或弦长，从而将所求问题转变为函数最值的求解问题.21．已知a R ∈，函数()()2ln 12f x x x ax =+-++（Ⅰ）若函数()f x 在[)2,+∞上为减函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）设正实数121m m +=，求证：对)1()(f x f ≥上的任意两个实数1x ，2x ，总有()()()11221122f m x m x m f x m f x +≥+成立【答案】（Ⅰ）11,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）将问题转化为()0f x '≤在[)+∞∈,2x 上恒成立，可得112+-≤x x a ，令()121h x x x =-+，可判断出()h x 在[)2,+∞上单调递增，即()()min 2h x h =，从而可得a 的范围；（Ⅱ）构造函数()()()122122()F x f m x m x m f x m f x =+--，(]21,x x ∈-，且121x x -<≤；利用导数可判断出()F x 在(]21,x x ∈-上是减函数，得到()()2F x F x ≥，经验算可知()20F x =，从而可得()()()122122f m x m x m f x m f x +≥+，从而可证得结论.【详解】（Ⅰ）由题意知：()121f x x a x '=-++ 函数()f x 在[)2,+∞上为减函数，即()0f x '≤在[)+∞∈,2x 上恒成立即：112+-≤x x a 在[)+∞∈,2x 上恒成立 设()121h x x x =-+ 当2≥x 时，11x +单调递减，2x 单调递增 ()h x ∴在[)2,+∞上单调递增 ()()min 1112433h x h ∴==-= 113a ∴≤即a 的取值范围为：11,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦（Ⅱ）设121x x -<≤，令：()()()122122()F x f m x m x m f x m f x =+--，(]21,x x ∈- 则()()()()21221220F x f m m x m m f x =+-+=⎡⎤⎣⎦()()()()()112211122F x m f m x m x m f x m f m x m x f x '''''∴=+-=+-⎡⎤⎣⎦()()1221222222210m x m x x x m m x m x m x m x x +-=-+=-+=-≥122m x m x x ∴+≥()121f x x a x '=-++，令()()g x f x ='，则()()21201g x x '=--<+ ()f x ∴'在()1,x ∈-+∞上为减函数 ()()122f m x m x f x ''∴+≤ ()()11220m f m x m x f x ''∴+-≤⎡⎤⎣⎦，即()0F x '≤()F x ∴在(]21,x x ∈-上是减函数 ()2()0F x F x ∴≥=，即()0F x ≥ ()()()1221220f m x m x m f x m f x ∴+--≥(]21,x x ∴∈-时，()()()122122f m x m x m f x m f x +≥+121x x -<≤ ()()()11221122f m x m x m f x m f x∴+≥+ 【点睛】本题考查利用函数在区间内的单调性求解参数范围、利用导数证明不等式成立的问题.本题证明不等式的关键是能够通过构造函数，将问题转化为求解新函数单调性和最值的问题，根据最值可证得对应的结论.22．在平面角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，将曲线C 向左平移2个单位长度得到曲线D .（1）求曲线D 的参数方程；（2）已知P 为曲线D 上的动点， ,A B 两点的极坐标分别为()3,0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求AP BP ⋅的最大值.【答案】（1）曲线D 的参数方程为2{ 2x cos y sin αα==（α为参数）；（2）13-【解析】试题分析：（1）题设给出的是曲线C 的极坐标方程，把它变形为24cos ρρθ=后利用222,cos x y x ρρθ=+=把后者化为()2224x y -+=，向左平移2个单位长度后得到曲线D ，其方程为224x y +=，其参数方程为2{ 2x cos y sin αα== （α为参数）.（2）,A B 两点的直角坐标为()(3,0,，利用（1）算出的曲线D 的参数方程计算·1312cos AP BP αα=--，利用辅助角公式可以求其最大值.解析：（1）2224cos ,4cos ,4x y x ρθρρθ=∴=∴+=,则曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=，易知曲线C 为圆心是()2,0，半径为2的圆，从而得到曲线D 的直角坐标方程为224x y += ，故曲线D 的参数方程为 ()2{ 2x cos y sin ααα==为参数.（2）,A B 两点的直角坐标分别为()(3,03，，依题意可设()2cos ,2sin P αα ，则 ()(2c o s 3,s i n ,A PB P αααα=-=--， ()()22cos 32sin 2sin 3423sin 12cos 9AP BP a a ααα∴⋅=-+-=--+ ()13239sin αφ=-+，故AP BP ⋅的最大值为13-23．已知函数()2f x x a x =++-．（1）若4a =-求不等式()6f x ≥的解集；（2）若()3f x x ≤-的解集包含[]0,1，求实数a 的取值范围．【答案】(1)(][),06,-∞⋃+∞;(2)10a -≤≤.【解析】试题分析：（1）当4a =-时，()6f x ≥，利用零点分段法将表达式分成三种情况，分别解不等式组，求得解集为(][),06,-∞⋃+∞；（2）()3f x x ≤-等价于23x a x x ++-≤-，即11x a x --≤≤-在[]0,1上恒成立，即10a -≤≤. 试题解析：（1）当4a =-时，()6f x ≥，即2{426x x x ≤-+-≥或24{426x x x <<-+-≥或4{426x x x ≥-+-≥，解得0x ≤或6x ≥，不等式的解集为(][),06,-∞⋃+∞；（2）原命题等价于()3f x x ≤-在[]0,1上恒成立，即 23x a x x ++-≤-在[]0,1上恒成立，即11x a x --≤≤-在[]0,1上恒成立，即10a -≤≤，实数a 的取值范围为[]1,0-．【考点】不等式选讲．。

河南省普通高中毕业班2019年高考适应性模拟练习理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 函数2()lg(31)f x x =++ 的定义域是 A ．（- 13 ,1）B ．（- 13,+∞）C ．（- 13 , 13）D ．(-∞,- 13)2. A ．-1-i C ．1+i D ．1-i3.抛物线24y x =的焦点到准线的距离是A ．2B ．4C ．18D ．144．一个几何体的三视图如图所示，其俯视图 为正三角形，则这个几何体的体积为 A.12 3 B.36 3C.27 3D.65. 22)nx 展开式中只有第六项二项式系数最大，则展开式中的常数项是A. 180B. 90C. 45D.3606.设有算法如图所示：如果输入A=144，B=39，则输出的结果是 A ．144 B ．3 C ．0 D ．127. 已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q ，则q 的一个可能的值是 A. 52 B. 12C. 2D. 328.已知直线l 和双曲线22194x y -=相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M.设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OM 的斜率为k ,则k k =A. 23B. -23C. -49D. 499. 已知命题p:∃,ln 20x R x x ∈+-=,命题q:∀2,2xx R x ∈≥,则下列命题中为真命题的是 A ．p ∧q B ．⌝p ∧qC ．p ∧⌝qD ．⌝p ∧⌝q10.对于下列命题：①在∆ABC 中，若cos2A=cos2B, 则∆ABC 为等腰三角形； ②∆ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ,若2,5,6a b A π===，则∆ABC 有两组解；③设201420142014sin,cos ,tan ,333a b c πππ=== 则;a b c << ④将函数2sin(3)6y x π=+的图象向左平移π6个单位，得到函数y =2cos(3x +π6)的图象.其中正确命题的个数是 A.0B.1C.2D.311. 四面体ABCD 中，已知AB=CD=29，AC=BD=34，AD=BC=37，则四面体ABCD 的外接球的表面积为A ．25πB ．45πC ．50πD ．100π12.设3,0,()(1),0.x x f x f x x -⎧≤=⎨->⎩若()f x x a =+有且仅有三个解，则实数a 的取值范围是A. [1,2]B.(-∞,2)C.[1,+∞)D.(-∞,1) 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.2(sin )x x dx π+=⎰.14. 已知实数,x y 满足2268230(3)x y x y x +--+<> ，则z x y =-的取值范围是15. 已知P 为三角形ABC 内部任一点（不包括边界），且满足(→PB -→P A )·(→PB +→P A -2→PC )=0，则∆ABC 的形状一定为___________.16.已知对于任意的自然数n, 抛物线22()(21)1y n n x n x =+-++与x 轴相交于A n ,B n 两点，则|A 1B 1|+|A 2B 2|+|A 3B 3|…+|A 2019B 2019|= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在锐角∆ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ,且满足cos 2A-cos 2B=cos(π6-A)cos(π6+A).（Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若b=1, 求a c +的取值范围.CBDEA18.（本小题满分12分）某次围棋比赛的决赛阶段实行三番棋决定冠军归属（即三局两胜制，和棋无效，加赛直至分出胜负）.打入决赛的两名选手甲、乙平时进行过多次对弈，有记录的30局结果如下表：请根据表中的信息(用样本频率估计概率),回答下列问题：（Ⅰ）如果比赛第一局由掷一枚硬币的方式决定谁先，试求第一局甲获胜的概率； （Ⅱ）若第一局乙先，此后每局负者先， ①求甲以二比一获胜的概率；②该次比赛设冠军奖金为40万元，亚军奖金为10万元，如果冠军“零封”对手（即2:0夺冠）则另加5万元.求甲队员参加此次决赛获得奖金数X 的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图，四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面BCD, AC=AB,CB=CD,∠DCB=120°.点E 在BD 上，且DE=13DB=2.(Ⅰ)求证：AB ⊥CE ；（Ⅱ）若AC=CE ，求二面角A-CD-B 的余弦值.20.（本小题满分12分）已知点F 是椭圆C 的右焦点，A ，B 是椭圆短轴的两个端点，且 ABF 是正三角形． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）直线l 与以AB 为直径的圆O 相切，并且被椭圆C 截得的弦长的最大值为23,求椭圆C 的标准方EOACFBGD21.（本小题满分12分）已知函数31()ln (),()()(1)6f x x x x ax a R f xg x a x '=--∈=+-. （Ⅰ）当a =2时，求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）对于函数F()x 定义域内的两个自变量的值1212121212()(),(),()02F x F x x xx x x x F x x -+'<-=-若,则我们把有序数对12(,)x x 叫作函数F()x 的“零点对”.试问，函数()f x 是否存在这样的“零点对”？如果存在，请你求出其中一个；如果不存在，请说明理由.请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在⊙O 的直径AB 的延长线上任取一点C ，过点C 引直线与⊙O 交于点D 、E ，在⊙O 上再取一点F,使⌒AE=⌒AF.（1）求证：E 、D 、G 、O 四点共圆； （2）如果CB=OB ，试求 CBCG 的值.23. (本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线l 的参数方程为1cos (sin x t t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴的正半轴为极轴）中，曲线C 的方程为（Ⅰ）判断直线l 与曲线C 公共点个数，并说明理由；（Ⅱ）当4πα=时，求直线l 与曲线C 公共点的坐标.24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲（I。