当前位置：文档之家 › 高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第7讲解三角形应用举例讲义理(含解析)

高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第7讲解三角形应用举例讲义理(含解析)

  • 格式：doc
  • 大小：286.00 KB
  • 文档页数：10

[考纲解读] 1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．(重点) 2.利用正、余弦定理解决实际问题，主要考查根据实际问题建立三角函数模型，将实际问题转化为数学问题．(难点)

[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个考查内容．预计2020年会强化对应用问题的考查．以与三角形有关的应用问题为主要命题方向，结合正、余弦定理求解平面几何中的基本量，实际背景中求距离、高度、角度等均可作为命题角度．试题可以为客观题也可以是解答题，难度以中档为主.

1．仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线□01上方的角叫仰角，在水平线□02下方的角叫俯角(如图①)．

2．方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)． 3．方向角 相对于某一正方向的水平角． (1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)． (2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似． 4．坡角与坡度 (1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)． (2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．

1．概念辨析 (1)东北方向就是北偏东45°的方向．( ) (2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( ) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( ) (4)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是0，π2.( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√

2．小题热身 (1)已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为( ) A．10 km B．103 km C．105 km D．107 km 答案 D 解析 由余弦定理可得，AC2＝AB2＋CB2－2AB·CB·cos120°＝102＋202－

2×10×20×－12＝700. ∴AC＝107(km)． (2)如图，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，在A，B两点分别测得树顶的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为10 m，则树的高度h为( )

A．(5＋53) m B．(30＋153) m C．(15＋303) m D．(15＋33) m 答案 A 解析 在△PAB中，由正弦定理得

10－＝PBsin30°，所以PB＝10×12sin15°＝5sin15°，

所以h＝PBsin45°＝5sin45°sin15°＝5×226－24＝(5＋53) m. (3)如图，从无人机A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时无人机的高度是46 m，则河流的宽度BC约等于________ m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，3≈1.73) 答案 60 解析 由图可知，AB＝46sin67°，在△ABC中，由正弦定理可知ABsin30°＝BCsin37°，所

以BC＝ABsin37°sin30°＝46sin37°sin67°sin30°≈46×0.600.92×0.5＝60(m)． (4)在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30 m，至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进103 m至D点，测得顶端A的仰角为4θ，则θ的大小为________．

答案 15° 解析 在△ACD中，AC＝BC＝30，AD＝CD＝103， ∠ADC＝180°－4θ，

由正弦定理得103sin2θ＝30s－4θ，

所以103sin2θ＝302sin2θcos2θ，cos2θ＝32， 所以2θ＝30°，θ＝15°.

题型 一 测量距离问题 1．一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为( ) A．152 km B．302 km C．452 km D．602 km 答案 B 解析 作出示意图如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°， ∴∠MAB＝30°，∠AMB＝45°. 在△AMB中，由正弦定理，得60sin45°＝BMsin30°， 解得BM＝302. 2．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.

若测得CD＝32 km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________km. 答案 64 解析 ∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°， ∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32(km)． 在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得

BC＝DCsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin45°·sin30°＝64.

在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos45°

＝34＋38－2×32×64×22＝38.

∴AB＝64(km)．∴A，B两点间的距离为64 km.

(1)测量距离问题，无论题型如何变化，即两点的情况如何变化，实质都是要求这两点间的距离，无非就是两点所在三角形及其构成元素的所知情况不同而已，恰当地画出(找出)适合解决问题的三角形是解题的基础，将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角是解题的关键． (2)求距离问题的两个策略 ①选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． ②确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．

(2018·广州模拟)如图，在海岸线上相距26千米的A，C两地分别测得小岛B在A的北偏西α方向，在C的北偏西π2－α方向，且cosα＝63，则B，C之间的距离是( )

A．303千米 B．30千米 C．123千米 D．12千米 答案 D 解析 由题意得AC＝26，

sinA＝sinπ2＋α＝cosα＝63，

sinB＝sinπ2－2α＝cos2α＝2cos2α－1＝13， 在△ABC中，由正弦定理得

BC＝ACsinAsinB＝26×6313＝12，

则C与B的距离是12千米． 题型 二 测量高度问题

1．(2018·山西五校联考)飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15000 m，速度为1000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为15°，经过108 s后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为________m(取3＝1.732)． 答案 6340 解析 ∵108 s＝0.03 h， ∴AB＝1000×0.03＝30 km. ∵∠C＝75°－15°＝60°，

∴ABsin60°＝BCsin15°，∴BC＝ABsin15°sin60°. ∴C到AB边的距离为h＝BCsin75°＝203sin15°sin75°＝103sin30°＝53＝5×1.732＝8.66 km. ∴山顶的海拔高度为(15－8.66) km＝6340 m. 2．(2018·福州质检)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．

参考数据：2≈1.414，5≈2.236. 答案 22.6 解析 因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°. 设这辆汽车的速度为v m/s，则BC＝14v.

在Rt△ADB中，AB＝ADcos∠BAD＝ADcos60°＝200. 在Rt△ADC中，AC＝ADcos∠CAD＝100cos45°＝1002. 在△ABC中，由余弦定理， 得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，

所以(14v)2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos135°，所以v＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s. 条件探究 将举例说明2中的条件改为“如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到B处时测得公路北侧一山顶A在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达C处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°”，求此山的高度AD.

解 由题意，在△BCD中，∠CBD＝30°， ∠BCD＝180°－75°＝105°，故∠BDC＝45°.

又BC＝600 m，故由正弦定理得600sin45°＝CDsin30°， 解得CD＝3002 m. 在Rt△ACD中，AD＝CD·tan30°＝3002×33 ＝1006(m)．

求解高度问题的注意事项 (1)理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)等的定义． (2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．

1．如图，在离地面高400 m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC为( )

合集下载

2022届新高考高三数学一轮复习考点讲义第7讲：三角函数【含答案】

2022届新高考高三数学一轮复习考点讲义第7讲：三角函数【含答案】

三角函数一、知识点 (一)角的概念的推广1、角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

其中顶点，始边，终边称为角的三要素。

角可以是任意大小的。

(1)角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。

①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角； ②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角。

(2)在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在x 轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。

②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角。

(3)终边相同的角的集合：设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为},360|{Z n n S ∈⋅+α=ββ= 。

集合S 的每一个元素都与α的终边相同，当0=k 时，对应元素为α。

2、弧度制和弧度制与角度制的换算(1)角度制：把圆周360等分，其中1份所对的圆心角是1度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制。

(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。

任一已知角α的弧度数的绝对值rl =α||，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制。

(3)角度制与弧度制的互化：π=2360，π=180；815730.571801'≈≈π= rad ； rad 01745.01801≈π= 。

3、特殊角的三角函数值0 3045 60 90 120 135 150 1800 6π4π 3π 2π 32π 43π 65ππ sin 0 2122 23 1 232221 0 cos 1 232221 0 21- 22- 23- 1- tan 0 331 3 ⨯3- 1- 33- 0210 225 240 270 300 315 330 36067π 45π 34π 23π 35π 47π 611ππ2sin21- 22- 23- 1- 23- 22- 21- 04、平面直角坐标系中特殊线表示的角的集合：其中：Z n ∈，Z k ∈；x 轴正半轴 360⋅nπk 2 第一象限角平分线36045⋅+nπ+πk 24 x 轴负半轴 360180⋅+n π+πk 2 第二象限角平分线 360135⋅+nπ+πk 243 x 轴 180⋅n πk 第三象限角平分线 360225⋅+nπ+πk 245 y 轴正半轴 36090⋅+n π+πk 22第四象限角平分线 360315⋅+nπ+πk 247 y 轴负半轴 360270⋅+n π+πk 223 第一、三象限角平分线 18045⋅+n π+πk 4y 轴 18090⋅+nπ+πk 2 第二、四象限角平分线 180135⋅+n π+πk 43 坐标轴 90⋅n 2πk 象限角平分线 9045⋅+n 24π+πk 5、弧长及扇形面积公式：弧长公式：r l ⋅α=||扇形弧长，扇形面积公式：lr r S 21||212=⋅α=扇形，α是圆心角且为弧度制，r 是扇形半径。

高考数学总复习 第三章 三角函数、解三角形 3.7 解三角形应用举例课件 理

高考数学总复习 第三章 三角函数、解三角形 3.7 解三角形应用举例课件 理


2021/12/13
第二十三页，共四十四页。
在△ABC 中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°＝34＋38－2× 23× 46× 22＝
3 8.
∴AB＝ 46(km)，
∴A，B 两点间的距离为
6 4
km.
2021/12/13
第二十四页，共四十四页。
考点三 测量角度问题
由正弦定理，得 AC＝MsAinsi∠n∠MACMAC＝400
2× 2
3 2 ＝400
3，
2
在 Rt△ABC 中，BC＝ACsin∠BAC＝400 3× 23＝600(m)．
2021/12/13
第七页，共四十四页。
(2)(2019·衡水模拟)如图，为了测量河对岸电视塔 CD 的高度，小王 在点 A 处测得塔顶 D 的仰角为 30°，塔底 C 与 A 的连线同河岸成 15° 角，小王向前走了 1 200 m 到达 M 处，测得塔底 C 与 M 的连线同河岸
在塔底 C 处测得 A 处的俯角为 β.已知铁塔 BC 部分的高为 h，则山高
hcosαsinβ CD＝ sinα－β .
2021/12/13
第十四页，共四十四页。
解析：由已知得，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC ＝α－β，∠CAD＝β.
在△ABC 中，由正弦定理得sin∠ACABC＝sin∠BCBAC， 即sin9A0C°－α＝sinBαC－β， ∴AC＝sBinCαc－osαβ＝sinhcαo－sαβ. 在 Rt△ACD 中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsinβ＝hsicnosαα－sinββ. 故山高 CD 为hsicnosαα－sinββ.
第四页，共四十四页。
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形课件

高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形课件


16,14 分(理) 18(2)，7 分(理) 16,4 分(理) 分(理)
16(2)，7 分(文) 20(2)，7 分(理) 18,6 分(文)
18,14 分 (文)
18,14 分(文)
[重点关注] 三角函数，解三角形是浙江高考命题的热点，分值一般在 20 分左右，主要 考查三角函数的图象与性质、简单的三角恒等变换、正、余弦定理及其应用、 且题目常考常新．
编后语
有的同学听课时容易走神，常常听着听着心思就不知道溜到哪里去了；有的学生，虽然留心听讲，却常常“跟不上步伐”，思维落后在老师的讲解后。这两种情况都 不能达到理想的听课效果。听课最重要的是紧跟老师的思路，否则，教师讲得再好，新知识也无法接受。如何跟上老师饭思路呢？以下的听课方法值得同学们学习：
一、“超前思考，比较听课”
什么叫“超前思考，比较听课”？简单地说，就是同学们在上课的时候不仅要跟着老师的思路走，还要力争走在老师思路的前面，用自己的思路和老师的思路进行对 比，从而发现不同之处，优化思维。
比如在讲《林冲棒打洪教头》一文，老师会提出一些问题，如林冲当时为什么要戴着枷锁？林冲、洪教头是什么关系？林冲为什么要棒打洪教头？••••••
尖子生好方法:听课时应该始终跟着老师的节奏，要善于抓住老师讲解中的关键词，构建自己的知识结构。利用老师讲课的间隙，猜想老师还会讲什么，会怎样讲， 怎样讲会更好，如果让我来讲，我会怎样讲。这种方法适合于听课容易分心的同学。
2019/5/22
精选最新中小学教学课件
5
thank
you!
2019/5/22
第三章 三角函数、解三角形
[五年考情]
考点
2016 年 2015 年 2014 年 2013 年 2012 年
全国近年高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第7讲解三角形的应用举例学案(2021年整理)

全国近年高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第7讲解三角形的应用举例学案(2021年整理)

（全国版）2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第7讲解三角形的应用举例学案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国版）2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第7讲解三角形的应用举例学案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（全国版）2019版高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第7讲解三角形的应用举例学案的全部内容。

第7讲解三角形的应用举例板块一知识梳理·自主学习［必备知识］考点1 仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．考点2 方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．考点3 方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角,如北偏东α，南偏西α。

特别地，若目标方向线与指北或指南方向线成45°角称为西南方向，东北方向等．（1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）；（2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；(3）南偏西等其他方向角类似．考点4 坡角与坡度1．坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角）．2．坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i为坡度)．坡度又称为坡比．[必会结论]1．仰角与俯角是相对水平视线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．2．“方位角"与“方向角”的区别：方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围是错误!。

［考点自测］1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”）（1）方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( ）（2）从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()（3）若点P在Q的北偏东44°,则Q在P的东偏北46°。

文档推荐

最新文档