2020届高三数学一轮复习强化训练精品――三角函数的图象与
性质
1. ①在(0,
2
π
)上递减； ②以2π为周期；
③是奇函数.写出一个同时满足上述条件的函数 〔写出一个你认为正确的即可〕. 答案 y =-sin x
2.〔2018·东海高级中学高三调研〕将函数y =sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-32πx 的图象先向左平移3π,然后将所得图象上所有的点的横坐标变为
原先的2倍〔纵坐标不变〕，那么所得到的图象对应的函数解析式为 .
答案 y =sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+3πx
3.设函数y =a cos x +b 〔a 、b 为常数)的最大值是1，最小值是-7，那么a cos x +b sin x 的最大值是 . 答案 5
4.函数y =|sin x |的一个单调增区间是 〔写出一个即可〕.
答案 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛23,
π
π 5.〔2018·全国Ⅱ理〕假设动直线x =a 与函数f (x )=sin x 和g (x )=cos x 的图象分不交于M 、N 两点，那么|MN |的最大值为 . 答案 2
例1 求以下函数的定义域：
〔1〕y =lgsin(cos x );(2)y =x x cos sin -.
解 〔1〕要使函数有意义，必须使sin(cos x )＞0. ∵-1≤cos x ≤1,∴0＜cos x ≤1.
方法一 利用余弦函数的简图得知定义域为{x |-
2π
+2k π＜x ＜2
π+2k π,k ∈Z }. 方法二 利用单位圆中的余弦线OM ，依题意知0＜OM ≤1, ∴OM 只能在x 轴的正半轴上， ∴其定义域为
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧Z ∈+≤≤+-k k x k x ,2222|ππππ.
〔2〕要使函数有意义，必须使sin x -cos x ≥0.
方法一 利用图象.在同一坐标系中画出［0,2π］上y =sin x 和y =cos x 的图象，如下图.
在［0，2π］内，满足sin x =cos x 的x 为
4π，4
5π，再结合正弦、余弦函数的周期是2π, 因此定义域为⎭⎬⎫
⎩⎨⎧Z ∈+≤≤+k k x k x ,24524|ππππ.
方法二 利用三角函数线， 如图MN 为正弦线，OM 为余弦线， 要使sin x ≥cos x ,即MN ≥OM ， 那么
4π≤x ≤4
5π
〔在［0，2π］内〕. ∴定义域为
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈+≤≤+Ζk k x k x ,24524|ππππ 方法三 sin x -cos x =2sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-4πx ≥0，
将x -
4
π
视为一个整体，由正弦函数y =sin x 的图象和性质 可知2k π≤x -4
π
≤π+2k π, 解得2k π+
4π≤x ≤4
5π+2k π,k ∈Z . 因此定义域为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧∈+≤≤+Ζk k x kx x ,24542|πππ.
例2 求以下函数的值域： 〔1〕y =
x
x x cos 1sin 2sin -;
(2)y =sin x +cos x +sin x cos x ;
(3)y =2cos ⎪⎭
⎫
⎝⎛+ππ3+2cos x .
解 〔1〕y =x x x x cos 1sin cos sin 2-=x
x x cos 1)
cos 1(cos 22--
=2cos 2
x +2cos x =22
21cos ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+-21.
因此当且仅当cos x =1时取得y max =4,但cos x ≠1, ∴y ＜4，且y min =-21,当且仅当cos x =-2
1
时取得. 故函数值域为⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡-4,21.
〔2〕令t =sin x +cos x ,那么有t 2
=1+2sin x cos x ,
即sin x cos x =21
2-t .
有y =f (t )=t +
2
12-t =1)1(21
2-+t . 又t =sin x +cos x =2sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+4πx ，
∴-2≤t ≤2. 故y =f (t )=
1)1(2
1
2-+t (-2≤t ≤2), 从而知：f (-1)≤y ≤f (2),即-1≤y ≤2+
2
1. 即函数的值域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+
-212,1. 〔3〕y =2cos ⎪⎭⎫
⎝⎛+x 3π+2cos x
=2cos
3πcos x -2sin 3
π
sin x +2cos x =3cos x -3sin x
=23⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-x x sin 21
cos 23 =23cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛
+6πx .
∵⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+6cos πx ≤1
∴该函数值域为［-23，23］.
例3 〔14分〕求函数y =2sin ⎪⎭⎫
⎝⎛-x 4π的单调区间.
解 方法一 y =2sin ⎪⎭
⎫
⎝⎛-x 4π化成
y =-2sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-4πx .
1分
∵y =sin u (u ∈R )的递增、递减区间分不为
⎥⎦⎤⎢⎣⎡
+-22,22ππππk k 〔k ∈Z ), ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++232,22ππππk k (k ∈Z ),
4分
∴函数y =-2sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-4πx 的递增、递减区间分不由下面的不等式确定
2k π+
2π≤x -4π≤2k π+2
3π
〔k ∈Z ),
