2024 年 3月第 61 卷第 2 期Mar. 2024Vol. 61 No. 2四川大学学报（自然科学版）Journal of Sichuan University （Natural Science Edition）一个广义Lorenz系统平衡点的局部稳定性与全局吸引性祝崇涵1，张付臣1，穆春来2（1.重庆工商大学数学与统计学院/统计智能计算与监测重庆市重点实验室，重庆 400067；2.重庆大学数学与统计学院，重庆 401331）摘要: 本文研究了一个广义 Lorenz 系统的平衡点的稳定性（全局指数稳定、全局渐近稳定）及不稳定的判据，获得了系统的全局吸引性，并推广了已有的一些混沌演化研究方法.关键词: 广义 Lorenz 系统；稳定性；吸引域中图分类号: O175.13 文献标志码: A DOI:10.19907/j.0490-6756.2024.021005 Stability and global attractivity of a generalized Lorenz systemZHU Chong-Han1， ZHANG Fu-Chen1， MU Chun-Lai2（1.School of Mathematics and Statistics / Chongqing Key Laboratory of Statistical Intelligent Computing and Monitoring， Chongqing Technology and Business University， Chongqing 400067， China；2.College of Mathematics and Statistics， Chongqing University， Chongqing 401331， China）Abstract: In this paper，global stability of the equilibrium point of a generalized Lorenz system is studied，sufficient and necessary conditions for the global exponential stability， the global asymptotic stability and the instability of the equilibrium point are given.Meanwhile， global attractivity of the system is considered， some known research methods for the chaotic dynamics are generalized.Keywords: Generalized Lorenz system； Stability； Global attractivity（2010 MSC 37G15）1 引言混沌（Chaos）理论肇始于庞加莱关于三体问题的研究［1，2］.1963年，Lorenz［3］在仿真研究天气系统演化模型时发现并提出了Lorenz 混沌系统.此后，一系列论文相继发表，为Lorenz系统的混沌演化行为的研究与应用打下了重要基础［4-9］.进而，1999年Chen等［10］提出了Chen混沌系统，该系统与Lorenz 混沌系统拓扑不等价.2002年，Lü等［11］提出了Lü混沌系统，这是一个介于Lorenz混沌系统和Chen混沌系统之间的过渡性混沌系统.此后，大量混沌系统相继被发现和研究.与此同时，混沌系统也被广泛应用于保密通信及电子电路等工程应用领域［12-17］.进入21世纪后，将混沌科学的研究成果成功应用于工程实践成为非线性科学的一个研究热点.熟知，Lorenz 混沌系统是一个包含三个变量的常微分系统［3］.该系统可被用于描述流体在下方加热、上方冷却的热对流管中的环流运动［12-17］，其中的变量x，y，z分别代表流体速度、水平温度差和收稿日期： 2023-02-28基金项目：重庆市自然科学基金（CSTB2022NSCQ-MSX1548）；“成渝地区双城经济圈建设”科技创新专项项目（KJCX2020037）；重庆市教委科技项目（KJQN202100813； KJQN201800818）；重庆市社会经济与应用统计重点实验室项目（ZDPTTD201909）；重庆工商大学校内科技项目-青年项目（1952012）作者简介：祝崇涵(1998-), 男 , 四川巴中人, 硕士研究生, 主要研究方向为混沌动力系统. E-mail: 610151651@通讯作者：张付臣.E-mail: zhangfuchen1983@第 2 期祝崇涵，等： 一个广义Lorenz 系统平衡点的局部稳定性与全局吸引性第 61 卷垂直温度差，a 为常数且与流体的Prandtl 数成比例，c 为常数且与流体的Rayleigh 数成比例，b 是与空间相关的常数.受Lorenz 混沌系统的启发，本文研究如下具有五个参数的广义 Lorenz 系统 ìíîïïïïx =a ()y -x ,y =cx -exz -dy ,z =exy -bz(1)在系统（1）中，a 为常数且与流体的Prandtl 数成比例，c 为常数且与流体的Rayleigh 数成比例，b 是与空间相关的常数，d ，e 为扰动参数.系统（1）包含许多经典混沌系统作为特例.例如，当d =e =1时，该系统是Lorenz 混沌系统；当e =1，c =-d -a 时，该系统是Chen 混沌系统；当c =0，e =1，时，该系统是Lu 混沌系统；当a =10+25∂,b =∂+83,c =28-35∂,d =1-29∂,e =1时，该系统为统一混沌系统.显然，S 0(0，0，0)为系统（1）的平衡点.受文献［16］的启发，后文中我们将给出S 0的全局指数稳定、全局渐近稳定和不稳定的充要条件.同时，我们也将把文献［16］的研究方法拓展到广义Lorenz 混沌系统.2 主要结果定理2.1 S 0全局指数稳定当且仅当c <d .证明 必要性.全局指数稳定意味着局部指数稳定.在系统（1）对应的线性化系统中，A =éëêêêêêùûúúúú-a a 0c -d 000-b (2)是Huirwitz 矩阵（所有特征值的实部均是负值）等价于A =éëêêùûú-a a c -d 的两个特征值的实部均为负值，又等价于|A |>0且a +d >0， 即c <d .充分性.令X =(x ，y ，z ). （i ） 当0≤c <d 时，构建Lyapunov 函数V ()X =()d 2a x 2+12y 2+12z 2= ()x y z T éëêêêêêêêêêêêêêêêùûúúúúúúúúd 2a 0001200012()x y z (3)显然，min éëêêùûúúd 2a ,12()x 2+y 2+z 2≤V ()X ≤max éëêêùûúúd 2a ,12()x 2+y 2+z 2.从而有d Vd t|()1=-dx 2-dy 2+()c +d xy -bz 2,=()xy zTéëêêêêêêêêêêêêùûúúúúúúúúúú-d c +d 20c +d 2-d 00-b ()x y z ≤max éëêêùûúúc -d 2,-b ()x 2+y 2+z 2≤max éëêêùûúúc -d 2,-b min éëêêùûúúd 2a ,12V ()X (4)故V (X )≤V (X 0)exp éëêêêêêêêêêêmax éëêêùûúúc -d 2,-b min éëêêùûúúd 2a ,12(t -t 0)ùûúúúúúúúú.则min éëêêd 2a ，12ùûúú(x 2+y 2+z 2)≤V (X )≤ V (x 0)exp éëêêêêêêêêêêmax éëêêùûúúc -d 2，-b min éëêêùûúúd 2a ，12(t -t 0)ùûúúúúúúúú≤ max éëêêd 2a ，12ùûúú(x 2(t 0)+y 2(t 0)+z 2(t 0))⋅ exp éëêêêêêêêêêêùûúúúúúúúúmax éëêêùûúúc -d 2，-b min éëêêùûúúd 2a ，12()t -t 0. 于是()x 2()t +y 2()t +z 2()t ≤max éëêêùûúúd 2a ，12min éëêêùûúúd 2a ，12()x 2()t 0+y 2()t 0+z 2()t 0⋅第 61 卷四川大学学报（自然科学版）第 2 期exp éëêêêêêêêêêêùûúúúúúúúúmax éëêêùûúúc -d 2,-b min éëêêùûúúd 2a ,12()t -t 0.（ii ） 同理，当c <0时，构建Lyapunov 函数V (X )=12(-c ax 2+y 2+z 2).则min éëêê-c 2a ,12ùûúú(x 2+y 2+z 2)≤V (x )≤max éëêê-c 2a ,12ùûúú(x 2+y 2+z 2).故|||d V (X)d t()1=cx 2-dy 2-bz 2≤ max [c ,-d ,-b ](x 2+y 2+z 2) ≤ max []c ,-d ,-b min éëêêùûúú-c 2a ,12V (X (t )).从而(x 2(t )+y 2(t )+z 2(t ))≤max éëêêùûúú-c 2a ，12min éëêêùûúú-c 2a ，12(x 2(t 0)+y 2(t 0)+z 2(t 0))⋅exp éëêêêêêêêêêêmax []c ，-d ，-b min éëêêùûúú-c 2a ，12(t -t 0)ùûúúúúúúúú.证毕.定理2.2 S 0全局渐近稳定且非指数稳定的充要条件是c =d .证明 充分性.由Lyapunov 函数（3），有||||d V (X )d t ()1=-d (x -y )2-b z 2≤0.令d Vd t=0得x =y ，z =0. 上式代入（1）式第3个方程得x =y =z =0， 即d Vd t=0当且仅当x =y =z =0.根据LaSalle 不变理论，S 0全局渐近稳定.必要性.系统（1）的线性化系统存在正实部特征根即意味着S 0是不稳定的，从而系统只有负实部或零实部的特征根.容易排除c >d 的情况.因为如果c >d ，则相关的特征方程为det (λI -A 3×3)=(λ+b )⋅[(λ+a )(λ+d )-ac ]=(λ+b )⋅[λ2+(a +d )λ+a (d -c )].此时A 3×3有正实部特征值λ这与Re λ(A 3×3)≤0矛盾.另一方面，当c <d 时，定理2.1的结论说明系统（1）的线性化系统存在正实部特征根，与假设不符合.因此只有c =d .证毕.定理2.3 S 0是不稳定的（非指数稳定且非渐近稳定）当且仅当c >d .证明 充分性.根据定理2.2中的分析，当c >d 时，系统（1）的线性化系统存在正实部特征根，则系统（1）在S 0附近的动力学行为随时间扩散到无穷远.根据Hartman -Grobman 定理，在S 0附近系统（1）与其对应的线性系统具有相同的动力学定性特性，从而S 0是不稳定的.必要性.定理2.1和定理2.2的逆否命题已经说明，c ≤d 时系统（1）的平衡点S 0指数稳定或渐近稳定，则要使得S 0不稳定只有c >d .证毕.定理2.4 对任意正数a ，b ，d ，λ， 令V λ(X )=x 2+λy 2+λ(z -a +λcλe)2,θ=min (a ,b ,d )>0,X =(x ,y ,z ),L λ=b ()a +λc 2λθe 2.当V λ(X (t ))>L λ，V λ(X (t 0))>L λ时，有V λ(X (t ))-L λ≤[V λ(X (t 0))-L λ]e -θ()t -t 0.从而Ωλ={X |V λ(X )≤L λ}={(x ,y ,z )|x 2+λy 2+λ(z -a +λcλe)2≤L λ}为系统（1）的全局指数吸引集.证明 ∀λ>0，构建Lyapunov -like 函数V λ(X )=x 2+λy 2+λ(z -a +λcλe)2.则有d V λ()X d t =2x d x d t +2λy d yd t+第 2 期祝崇涵，等： 一个广义Lorenz 系统平衡点的局部稳定性与全局吸引性第 61 卷2λ(z -a +λc λe)d zd t=2ax (y -x )+ 2λy (ex -exz -dy )+2λ(z -a +λcλe)= -2ax 2-2dλy 2-2bλz 2+2b ()a +λc ez ≤-ax 2-dλy 2-bλz 2+2b ()a +λc e z =-ax 2-dλy 2-bλ(z -a +λcλe)2+b ()a +λc 2λe 2≤-θV λ(X )+b ()a +λc 2λe 2=-θ[V λ(X )-L λ]<0.从而V λ(X (t ))≤V λ(X 0)e -θ()t -t 0+∫t 0t e-θ()t -t 0L λd t =V λ(X 0)e -θ()t -t 0+L λ[1-e -θ()t -t 0].整理得V λ(X (t ))-L λ≤[V λ(X (t 0))-L λ]e-θ()t -t 0.当t →+∞，取上极限有-------lim t →+∞V λ(X (t ))≤L λ,即Ωλ={X |V λ(X )≤L λ}={(x ,y ,z )|x 2+λy 2+λ(z -a +λcλe)2≤b ()a +λc 2λθe 2}为系统（1）的全局指数吸引集.证毕.3 结论本文研究了一个具有五个参数的广义Lorenz 系统的平衡点的稳定性和全局吸引域，推广了已有的研究方法.本研究可以作为其它混沌系统的平衡点稳定性研究的参考.参考文献:［1］Poincaré J H.Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique ［J ］.Acta Math ， 1890， 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基于FCI算法的大学生数学类课程间的因果关系分析打开文本图片集摘要：有向无环图（DAG）作为一种表示多个变量间关系的方法，因其简单直观，在社会各个领域有着广泛应用。
为了表示复杂数据所蕴含的因果关系，常常需要在DAG中引入一些不可观测的潜变量和选择变量。
如何基于观测数据得到蕴含不可观测潜变量和选择变量的DAG，Spirte，Meek和Richardon提出了FCI算法。
FCI算法是在PC算法上的一种改进算法，改进的目的是为了避免由于潜变量以及选择变量的存在而出现的因果推断的偏差和错误。
本文简要的介绍了FCI算法，并结合FCI算法对大学生数学类课程的数据进行了分析，并给出了相应的结论。
关键词：有向无环图；潜变量；FCI算法；因果关系一、引言随着大数据时代的来临，人们生产、生活各个领域都存在着大量的复杂数据，这些数据通常包含许多变量，而且变量间的影响机制复杂，如何描述变量间的关系是一个重要的问题。
有向无环图是一种基于概率推理的图形化网络，为处理变量间的因果关系提供了新的途径[9]。
有向无环图因其强大的不确定性信息处理能力，逐渐成为处理不确定信息的主流，进而成功地应用在智能化系统、学习预测、医疗诊断等多个领域中[8]。
基于有向无环图的重要性和广泛的应用性，如何根据实际数据学习有向无环图是科学研究中的一个重要问题。
Spirte，Glymour和Scheine[7]在1991年提出了一种学习贝叶斯网的算法--PC算法，PC算法是用来探索贝叶斯网中多个变量之间的条件独立关系和因果关系的一种方法，结果简单易懂，便于交流，但是它的假设比较强，它假设研究的问题中所有变量都是可观测的。
但在社会学、教育学、管理学等研究领域，可能存在一些不可观测的潜变量和选择变量，潜变量和选择变量的出现会使实际上两个无关的变量表现出相关性[6]。
为了学习含有潜变量和选择变量的贝叶斯网，Spirte，Meek和Richardon[6]在1999年提出了PC算法的改進算法--FCI算法，FCI算法通过验证初始骨架中邻接的两个顶点在给定Poible-D-SEP集[2]下的条件独立信息来解决潜变量和选择变量带来的影响，因此FCI算法比PC算法更具有一般性。
基于地理信息系统的城市犯罪分析与预测城市犯罪一直以来都是社会安全问题的重要方面，对于城市的发展和居民的生活质量都有着重要的影响。
为了有效地解决和预防犯罪问题，地理信息系统（Geographic Information System，简称GIS）被广泛应用于城市犯罪分析与预测。
本文将从理论与实践两个方面对基于地理信息系统的城市犯罪分析与预测进行深入研究。
一、GIS在城市犯罪分析中的应用1.1 研究背景随着社会发展和科技进步，城市化进程不断加快，人口密集、资源集中、社会交往频繁等特点使得城市成为了各种类型犯罪活动的高发区域。
为了更好地了解和应对这些问题，GIS技术被引入到城市犯罪分析中。
1.2 GIS在空间数据管理中的应用GIS通过将各种空间数据进行整合和管理，构建了一个全面而精确的空间数据库。
这些数据包括人口分布、建筑结构、交通网络等信息，在进行城市犯罪分析时提供了有力支持。
1.3 GIS在空间统计分析中的应用GIS利用空间统计方法对城市犯罪的空间分布进行分析，包括热点分析、空间自相关分析等。
通过这些方法，可以揭示出犯罪活动的空间特征和规律，为城市犯罪预测提供依据。
1.4 GIS在地理建模中的应用GIS可以通过建立地理模型来模拟城市犯罪活动的发生和发展。
这些模型可以基于时间、地点、环境等因素进行预测和分析，为城市管理者提供决策依据。
二、基于GIS的城市犯罪预测方法2.1 空间回归模型空间回归模型是一种常用的基于GIS的城市犯罪预测方法。
该方法通过统计建立了一种因变量与自变量之间存在空间依赖关系的回归模型。
利用这个模型，可以对未来某个地区发生某类犯罪事件的可能性进行预测。
2.2 空间插值法空间插值法是一种基于GIS技术对离散数据进行估计和推断的方法。
在城市犯罪预测中，该方法可以通过已有数据推断出未来某个区域可能发生某类犯罪事件的概率。
2.3 空间聚类分析空间聚类分析是一种基于GIS的犯罪预测方法，通过将犯罪事件进行空间聚类，找出犯罪活动的高发区域。
Costas阵列的存在性、计数问题及其在密码学中的应用的开题报告一、研究背景：Costas阵列是一种具有重要应用价值的组合结构。
它最早由Costas于1965年提出，由一组点组成的几何图形，在该图形中每个点间只有一个单位间隔是一条连线，且不重复。
这种性质使得Costas阵列在雷达、通信、密码学和数字信号处理等领域具有广泛的应用。
二、研究内容：（1）Costas阵列的存在性问题：对于给定的阶数n，是否存在一种满足Costas性质的阵列？这是Costas阵列研究中的一个基本问题。
目前的研究表明，当n=1或n=2时，一定存在Costas阵列；当n=3或n=4时，可能存在Costas阵列，但目前尚未找到；当n≥5时，存在Costas阵列的概率接近于1。
（2）Costas阵列的计数问题：Costas阵列的构造问题可以转化为计数问题。
即对于给定的阶数n，计算出满足Costas性质的阵列的个数。
这是一个极其困难的计数问题，在许多情况下只能通过计算机求解。
目前已知的结果是n≤26时的计数结果。
（3）Costas阵列在密码学中的应用：Costas阵列具有随机性和不可预测性的特性，可以被应用于密码学中的伪随机序列生成、密钥扩展和加密算法等方面。
由于其良好的性质，Costas阵列被广泛应用于网络安全、信息安全和通信安全等领域。
三、研究方法：本研究将采用组合数学、图论、计算几何、密码学等多种方法，探讨Costas阵列的存在性、计数问题及其在密码学中的应用。
特别地，将结合计算机算法和大规模计算手段，以期获得准确的结果和更深入的理解。
四、研究意义：Costas阵列是一种基础的组合结构，其研究具有重要的理论和应用价值。
研究Costas 阵列的存在性、计数问题及其在密码学中的应用，对于深化组合数学、图论、计算几何和密码学等学科的交叉研究，提高信息技术的科学水平和应用水平，具有重要的意义和价值。
