【书城】2017高考数学考试大纲解读系类微刊【上册】文科：专题2 函数的概念与基本初等函数Ⅰ.doc

第一节函数的概念1.(2015·新课标全国Ⅱ，13)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1，4)，则a＝________.解析由函数f(x)＝ax3－2x过点(－1，4)，得4＝a(－1)3－2×(－1)，解得a＝－2.答案－22.(2015·新课标全国Ⅰ，10)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( ) A.－74B.－54 C.－34D.－14解析 若a ≤1，f (a )＝2a －1－2＝－3，2a －1＝－1(无解)； 若a >1，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，a ＝7， f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝14－2＝－74. 答案 A1.(2015·湖北，7)设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则()A.|x |＝x |sgn x |B.|x |＝x sgn |x |C.|x |＝|x |sgn xD.|x |＝x sgn x解析 对于选项A ，右边＝x |sgn x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≠0，0，x ＝0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然不正确；对于选项B ，右边＝x sgn|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≠0，0，x ＝0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然不正确；对于选项C ，右边＝|x |sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >00，x ＝0x ，x <0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然不正确；对于选项D ，右边＝x sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，0，x ＝0，－x ，x <0，而左边＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，显然正确；故应选D. 答案 D2.(2013·陕西，10)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，有( ) A.[－x ]＝－[x ] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝[x ] C.[2x ]＝2[x ]D.[x ]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋12＝[2x ]解析 令x ＝1.1，[－1.1]＝－2，而－[1.1]＝－1， 所以A 错；令x ＝－12，[－12＋12]＝0，[－12]＝－1，所以B 错； 令x ＝0.5，[2x ]＝1，2[x ]＝0，所以C 错；故选D. 答案 D3.(2013·湖北，5)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是()解析 根据其运动情况，开始时匀速行驶，离学校距离越来越近，是一个减函数.后交通堵塞停留了一段时间，距离不变，最后加速行驶，离学校越来越近，且变化趋势越来越快.结合图象，选C.答案 C4.(2013·浙江，11)已知函数f (x )＝x －1.若f (a )＝3，则实数a ＝________. 解析 由a －1＝3，解得a ＝10.答案 105.(2015·重庆，3)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A.[－3，1]B.(－3，1)C.(－∞，－3]∪[1，＋∞)D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)解析 需满足x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，所以f (x )的定义域为 (－∞，－3)∪(1，＋∞). 答案 D6.(2015·湖北，6)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A.(2，3)B.(2，4]C.(2，3)∪(3，4]D.(－1，3)∪(3，6]解析 依题意，有4－|x |≥0，解得－4≤x ≤4①；且x 2－5x ＋6x －3>0，解得x >2且x ≠3②；由①②求交集得函数的定义域为(2，3)∪(3，4].故选C. 答案 C7.(2014·山东，3)函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A.(0，2)B.(0，2]C.(2，＋∞)D.[2，＋∞)解析 由题意可知x 满足log 2x －1＞0，即log 2x ＞log 22，根据对数函数的性质得x ＞2，即函数f (x )的定义域是(2，＋∞). 答案 C8.(2013·重庆，3)函数y ＝1log 2（x －2）的定义域是( )A.(－∞，2)B.(2，＋∞)C.(2，3)∪(3，＋∞)D.(2，4)∪(4，＋∞)解析 由题知⎩⎪⎨⎪⎧x －2＞0，log 2（x －2）≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，x －2≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，x ≠3.所以该函数的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)，故选C. 答案 C9.(2013·陕西，1)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 的定义域为M ，则∁R M 为( ) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(－∞，1] D.[1，＋∞)解析 要使f (x )＝1－x 有意义，则须1－x ≥0，即x ≤1，所以M ＝{x |x ≤1}，∁R M ＝{x |x ＞1}. 答案 B10.(2013·广东，2)函数y ＝lg （x ＋1）x －1的定义域是( )A.(－1，＋∞)B.[－1，＋∞)C.(－1，1)∪(1，＋∞)D.[－1，1)∪(1，＋∞)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，x ＋1＞0，解得x ＞－1且x ≠1，故选C.答案 C11.(2012·安徽，2)设集合A ＝{x |－3≤2x －1≤3}，集合B 为函数y ＝lg(x －1)的定义域，则A ∩B ＝( ) A.(1，2)B.[1，2]C.[1，2)D.(1，2] 解析由题知A＝[－1，2]，B＝(1，＋∞)，∴A∩B＝(1，2]，故选D.答案 D12.(2013·安徽，11)函数y＝ln(1＋1 x)＋1－x2的定义域为________ .解析由条件知⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x＞0，x≠0，1－x2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x＜－1或x＞0，x≠0，－1≤x≤1⇒x∈(0，1].答案(0，1]13.(2012·广东，11)函数y＝x＋1x的定义域为________.解析由⎩⎪⎨⎪⎧x≥－1，x≠0得函数y＝x＋1x的定义域为{x|x≥－1，且x≠0}.答案{x|x≥－1，且x≠0}14.(2015·山东，10)设函数f(x)＝⎩⎨⎧3x－b，x＜1，2x，x≥1.若f⎝⎛⎭⎪⎫f⎝⎛⎭⎪⎫56＝4，则b＝()A.1B.78C.34 D.12解析由题意，得f⎝⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b＝52－b.若52－b≥1，即b≤32时，252－b＝4，解得b＝12.若52－b＜1，即b＞32时，3×⎝⎛⎭⎪⎫52－b－b＝4，解得b＝78(舍去).所以b＝12. 答案 D15.(2015·陕西，4)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x ＜0，则f (f (－2))＝( )A.－1B.14C.12D.32解析 ∵f (－2)＝2－2＝14＞0，则f (f (－2))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－14＝1－12＝12，故选C.答案 C16.(2014·江西，4)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a ·2x ，x ≥02－x ，x ＜0(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( ) A.14 B.12 C.1D.2解析 因为－1＜0，所以f (－1)＝2－(－1)＝2，又2＞0， 所以f [f (－1)]＝f (2)＝a ·22＝1，解得a ＝14. 答案 A17.(2012·福建，9)设f (x )＝⎩⎨⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( ) A.1 B.0 C.－1D.π解析 g (π)＝0，f (g (π))＝f (0)＝0，故选B. 答案 B18.(2013·福建，13)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x ＜0，－tan x ，0≤x ＜π2，则f ⎝⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________. 解析 由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2.答案 －219.(2012·陕西，11)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ＜0，则f (f (－4))＝________.解析 f (－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16，又f (16)＝16＝4，∴f (f (－4))＝4.答案 41.函数与映射的概念函数映射两集合 A 、B设A ，B 是两个非空数集 设A ，B 是两个非空集合 对应关系f ：A ―→B 如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称 称f ：A ―→B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f ：A ―→B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y ＝f (x )(x ∈A )对应f ：A ―→B 是一个映射2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域，显然，值域是集合B 的子集.(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系.3.函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法.►两个基本概念：函数；映射.(1)[掌握函数与映射的概念时，要把握其本质]有下列命题：①y＝2－x＋x－3是函数；②函数是特殊的映射；③与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点.其中正确的有________.解析①x∈∅，不是函数；由函数与映射的概念知②，③正确.答案②③►一个易错点：函数的定义域.(2)[处理函数问题，应首先考虑其定义域]下列表示同一函数的是()A.f(x)＝x2－1x＋1与f(x)＝x－1 B.f(x)＝x0(x≠0)与f(x)＝1C.f(x)＝3x3与f(x)＝x2 D.f(x)＝2x＋1与f(t)＝2t＋1解析A、B中定义域不同；C中对应关系不同；D表示同一函数，故选D.答案 D(3)若f(x)＝x＋1，则函数f(x)的解析式为________.解析设x＝t，则x＝t2，t≥0，所以f(t)＝t2＋1，即f(x)＝x2＋1(x≥0).答案f(x)＝x2＋1(x≥0)1.分段函数若函数在定义域的不同子集上对应关系不同，可用几个解析式来表示，这种形式的函数叫分段函数，它是一类重要的函数.2.复合函数若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即y ＝f (u )，u ＝g (x )，若x ∈(a ，b )，u ∈(m ，n )，那么y 关于x 的函数y ＝f [g (x )]，x ∈(a ，b )叫做f 和g 的复合函数，u 叫做中间变量，u 的取值范围是g (x )的值域.►一类重要函数：分段函数.(4)[分段函数是一个函数，由几部分组成，其定义域是各段自变量取值的并集，值域是各段函数值的并集]函数 的定义域为________，最大值为__________.解析 f (x )定义域为(－∞，1)∪[1，＋∞)＝R . 当x ≥1时，f (x )≤f (1)＝1，当x ＜1时，f (x )≤f (0)＝2，所以f (x )的最大值为2. 答案 R 2函数定义域的求解方法(1)当f (x )是整式时，其定义域为R .(2)当f (x )是分式时，其定义域是使得分母不为0的实数的集合.(3)当f (x )是偶次根式时，其定义域是使得根号内的式子大于或等于0的实数的集合.(4)对于x 0，x 不能为0，因为00无意义. (5)f (x )＝tan x的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ∈R ，且x ≠π2＋k π，k ∈Z .(6)f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)的定义域为{x |x >0}.(7)由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的约束，要具体问题具体分析.(8)分段函数的定义域是各段中自变量取值范围的并集.(9)若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b求出；若已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域.【例1】(1)(2016·山东淄博月考)函数f(x)＝2－xlg x的定义域是()A.(0，2)B.(0，1)∪(1，2)C.(0，2]D.(0，1)∪(1，2](2)已知函数f(2x＋1)的定义域为(0，1)，求f(x)的定义域.答案 D(2)解∵f(2x＋1)的定义域为(0，1)，∴1＜2x＋1＜3，所以f(x)的定义域是(1，3).[点评] (1)易忽略lg x ≠0的情况.(2)无论f (x )还是f (g (x ))自变量都是x ，定义域为x 的取值集合.函数解析式的求解方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程(组)法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (x )与f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另一个等式，组成方程组，通过解方程组求出f (x ).【例2】 (1)(2016·山东青岛一中检测)奇函数f (x )在(0，＋∞)上的表达式f (x )＝ x ＋x ，则在(－∞，0)上的f (x )表达式为f (x )＝________.(2)(2014·北京海淀区模拟)如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 1－x，则当x ≠0，且x ≠1时，f (x )＝________.解析 (1)设x ＜0，则－x ＞0， ∴f (－x )＝－x ＋－x ，又f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝x －－x ，即x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －－x .(2)法一令1x＝t，∴x＝1t，f(t )＝1 t1－1t＝1t－1，∴f(x)＝1x－1.法二f⎝⎛⎭⎪⎫1x＝x1－x＝11x－1，用x替换1x，∴f(x)＝1x－1.答案(1)x－－x(2)1x－1[点评](1)的关键是将所求函数解析式的定义域向已知函数解析式的定义域转化；(2)的法一是换元法.即令1x＝t反解出x代入解析式求解.法二是构造法.即将解析式右边的式子通过变形，构造出含1x的式子，然后用x换1x即可.分段函数问题求解方略在一个分段函数中，当自变量取不同范围内的值时，函数的对应关系不一样，因此，研究分段函数的基本策略就是分段讨论.(1)根据分段函数的解析式求函数值.先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.(2)已知函数值(或函数值的范围)求自变量的值(或范围)根据每一段的解析式分别求解，但要注意所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围.(1)解析 f (4)＝－2×42＋1＝－31， f (f (4))＝f (－31)＝log 2(1＋31)＝5.当a ≥1时，由－2a 2＋1＜－1得a 2＞1，解得a ＞1， 当a ＜1时，由log 2(1－a )＜－1，得log 2(1－a )＜log 212， ∴0＜1－a ＜12，∴12＜a ＜1.即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞).答案 5 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)当x ≤0时，由f (x )＝x 得，x 2＋2x －2＝x ， 得x ＝－2或x ＝1.由x ＝1>0，所以舍去. 当x >0时，由f (x )＝x 得x ＝2， 所以方程f (x )＝x 的解为－2、2.[点评] 分段函数问题要分段求解，一定要注意各段自变量的限制条件.数形结合求解分段函数问题【示例】已知函数y＝|x2－1|x－1的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________.解析根据绝对值的意义.在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示.根据图象可知，当0＜k＜1或1＜k＜4时有两个交点.答案(0，1)∪(1，4)[方法点评](1)解析式含有绝对值符号的函数，一般要去掉绝对值符号，把函数化为分段函数，利用几何直观求解.(2)直线方程中x或y的系数含有参数时，直线恒过定点，可通过该点旋转直线寻找满足条件的k的取值范围.全国新课标区模拟精选题：根据高考命题大数据分析，重点关注基础题2，3，能力题9. 专项基础测试 模拟精选题选择题1.(2016·安徽安庆三模)函数f (x )＝1ln （2x ＋1）的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ D.[0，＋∞)解析 由ln(2x ＋1)≠0且2x ＋1>0得x >－12且x ≠0. 答案 B2.(2016·河南六市一联)函数y ＝x 2－2x －3＋log 3(x ＋2)的定义域为( ) A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(－∞，－1)∪[3，＋∞) C.(－2，－1]D.(－2，－1]∪[3，＋∞)答案 D3.(2015·湖南益阳模拟)函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( ) A.(0，＋∞) B.[0，＋∞) C.(1，＋∞)D.[1，＋∞)解析 ∵3x ＋1＞1，且y ＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )＞0，∴f (x )的值域为(0，＋∞).故选A. 答案 A4.(2015·眉山市一诊)若f (x )＝4log 2x ＋2，则f (2)＋f (4)＋f (8)＝( ) A.12 B.24 C.30D.48解析 ∵f (2)＝4log 22＋2＝4×1＋2＝6，f (4)＝4log 24＋2＝4×2＋2＝10，f (8)＝4log 28＋2＝4×3＋2＝14，∴f (2)＋f (4)＋f (8)＝6＋10＋14＝30. 答案 C5.(2014·山东济南模拟)已知g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于( )A.1B.3C.15D.30 解析 令1－2x ＝12，得x ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－116116＝15，故选C. 答案 C6.(2016·衡水中学调研)下列函数中，与函数y ＝13x的定义域相同的是( )A.y ＝1sin xB.y ＝ln x xC.y ＝cos x xD.y ＝x 3e x解析 易知函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，而函数y ＝1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，函数y ＝ln x x 的定义域为{x |x >0}，函数y ＝cos xx 的定义域为{x |x ≠0}，函数y ＝x 3e x 的定义域为实数集R ，所以与函数y ＝13x的定义域相同的函数是y＝cos xx ，故选C. 答案 C创新导向题利用函数性质求函数值7.已知定义在R上的函数f(x)图象关于直线x＝1对称，若x≥1时，f(x)＝x(1－x)，则f(0)＝()A.0B.－2C.－6D.－12解析由对称性可得f(0)＝f(2)＝2(1－2)＝－2，故选B.答案 B分段函数求值解析x≥5，f(x)＝f(x－5)，f(x)周期T＝5.∴f(2 016)＝f(403×5＋1)＝f(1).又当0≤x<5时，f(x)＝x3，∴f(1)＝1.故f(2 016)＝1.答案 1专项提升测试模拟精选题一、选择题A.7B.9C.11D.13解析f(－7)＝1＋log39＝3，f(log312)＝f(1＋log34)＝3log34＝4.所以f(－7)＋f(log312)＝3＋4＝7.答案 A二、填空题10.(2016·长春质量监测)函数f(x)＝1－ln xln x的定义域为________.答案(0，1)∪(1，e]11.(2015·绵阳市一诊)已知函数f(x)＝3x－22x－1，则f⎝⎛⎭⎪⎫111＋f⎝⎛⎭⎪⎫211＋f⎝⎛⎭⎪⎫311＋…＋f⎝⎛⎭⎪⎫1011＝________.解析因为f(x)＝3x－22x－1，所以f(1－x)＝3（1－x）－22（1－x）－1＝3x－12x－1，所以f(x)＋f(1－x)＝3，所以所求＝3×102＝15.答案15解析当x0＜0时，由3x0＋12＝－12得x0＝－13.当0≤x0≤π2时，由－sin x0＝－12得x0＝π6.答案π6或－1313.(2014·东北六校大联考)定义新运算“⊕”：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]，则函数f(x)的值域为________.答案[－4，6]创新导向题概念的新定义问题14.能够把圆O：x2＋y2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是()A.f(x)＝4x3＋xB.f(x)＝ln 5－x 5＋xC.f(x)＝tan x2 D.f(x)＝ex＋e－x解析对于A，B，C选项，函数为奇函数图象过原点且关于原点对称，故能够把圆O的周长和面积同时分为相等的两部分，而D选项，函数为偶函数，其图象关于y轴对称，不符合题意.答案 D第二节 函数的基本性质1.(2015·新课标全国Ⅱ，12)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 解析 由f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，知f (x )为R 上的偶函数，于是f (x )＞f (2x －1)即为f (|x |)＞f (|2x －1|). 当x ＞0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，得f ′(x )＝11＋x ＋2x（1＋x 2）2＞0，所以f (x )为[0，＋∞)上的增函数，则由f (|x |)＞f (|2x －1|)得|x |＞|2x －1|，平方得3x 2－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜1，故选A.答案 A2.(2013·新课标全国Ⅱ，12)若存在正数x 使2x (x －a )＜1成立，则a 的取值范围是( )A.(－∞，＋∞)B.(－2，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－1，＋∞)解析 由题意可得，a ＞x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ＞0).令f (x )＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，该函数为(0，＋∞)上为增函数，可知f (x )的值域为(－1，＋∞)，故a ＞－1时，存在正数x 使原不等式成立. 答案 D3.(2015·新课标全国Ⅰ，12)设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a 的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a ＝( ) A.－1B.1C.2D.4解析 设f (x )上任意一点为(x ，y )关于y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )， 将(－y ，－x )代入y ＝2x ＋a ，所以y ＝a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1， 得a －1＋a －2＝1，2a ＝4，a ＝2. 答案 C4.(2014·新课标全国Ⅰ，5)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数， g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A.f (x )g (x )是偶函数 B.|f (x )|g (x )是奇函数 C.f (x )|g (x )|是奇函数D.|f (x )g (x )|是奇函数解析 f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，故f (x )g (x )为奇函数，|f (x )|g (x )为偶函数，f (x )|g (x )|为奇函数，|f (x )g (x )|为偶函数，故选C. 答案 C5.(2014·新课标全国Ⅱ，15)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.解析 因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，f (－x )＝f (4＋x )，又f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝f (4＋x )，则f (－1)＝f (4－1)＝f (3)＝3. 答案 31.(2014·北京，2)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A.y ＝e －x B.y ＝x 3 C.y ＝ln xD.y ＝|x |解析 分别画出四个函数的图象，如图：因为对数函数y ＝ln x 的定义域不是R ，故首先排除C ；因为指数函数y ＝e －x ，即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x，在定义域内单调递减，故排除A ；对于函数y ＝|x |，当x ∈(－∞，0)时，函数变为y ＝－x ，在其定义域内单调递减，因此排除D ；而函数y ＝x 3在定义域R 上为增函数.故选B. 答案 B2.(2014·湖南，4)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( ) A.f (x )＝1x 2 B.f (x )＝x 2＋1 C.f (x )＝x 3D.f (x )＝2－x解析 因为y ＝x 2在(－∞，0)上是单调递减的，故y ＝1x 2在(－∞，0)上是单调递增的，又y ＝1x 2为偶函数，故A 对；y ＝x 2＋1在(－∞，0)上是单调递减的，故B 错；y ＝x 3为奇函数，故C 错；y ＝2－x 为非奇非偶函数，故D 错.所以选A. 答案 A3.(2013·北京，3)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A.y ＝1x B.y ＝e －x C.y ＝－x 2＋1D.y ＝lg|x |解析 根据题意逐一验证，可知y ＝－x 2＋1是偶函数且在(0，＋∞)上为减函数. 答案 C4.(2013·天津，7)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增.若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( ) A.[1，2] B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D.(0，2]解析 因为log 12a ＝－log 2a ，所以f (log 2a )＋f (log 12a )＝f (log 2a )＋f (－log 2a )＝2f (log 2a )，原不等式变为2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1). 又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上递增， 所以|log 2a |≤1，即－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2，故选C. 答案 C5.(2012·陕西，2)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A.y ＝x ＋1 B.y ＝－x 3 C.y ＝1xD.y ＝x |x |解析 逐一验证，易知y ＝x |x |为奇函数且为增函数，故选D. 答案 D6.(2016·北京，10)函数f(x)＝xx－1(x≥2)的最大值为________.解析f(x)＝xx－1＝1＋1x－1，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则f(x)最大值为f(2)＝22－1＝2.答案 27.(2015·福建，15)若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________.解析∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)的对称轴x＝1，∴a＝1，f(x)＝2|x－1|，∴f(x)的增区间为[1，＋∞)，∵[m，＋∞)⊆[1，＋∞)，∴m≥1.∴m的最小值为1.答案 18.(2016·山东，9)已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，当x＞12时，f⎝⎛⎭⎪⎫x＋12＝f⎝⎛⎭⎪⎫x－12.则f(6)＝()A.－2B.－1C.0D.2解析当x＞12时，f⎝⎛⎭⎪⎫x＋12＝f⎝⎛⎭⎪⎫x－12，即f(x)＝f(x＋1)，∴T＝1，∴f(6)＝f(1).当x＜0时，f(x)＝x3－1且－1≤x≤1，f(－x)＝－f(x)，∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)－[(－1)3－1]＝2，故选D.答案 D9.(2015·北京，3)下列函数中为偶函数的是()A.y＝x2sin xB.y＝x2cos xC.y ＝|ln x |D.y ＝2－x解析 由f (－x )＝f (x )，且定义域关于原点对称，可知A 为奇函数，B 为偶函数，C 定义域不关于原点对称，D 为非奇非偶函数. 答案 B10.(2015·福建，3)下列函数为奇函数的是( ) A.y ＝x B.y ＝e x C.y ＝cos xD.y ＝e x －e －x解析 由奇函数定义易知y ＝e x －e －x 为奇函数，故选D. 答案 D11.(2015·广东，3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A.y ＝x ＋sin 2x B.y ＝x 2－cos x C.y ＝2x ＋12xD.y ＝x 2＋sin x解析 对于A ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，为奇函数； 对于B ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数； 对于C ，f (－x )＝2－x ＋12－x＝2x ＋12x ＝f (x )，为偶函数； y ＝x 2＋sin x 既不是偶函数也不是奇函数，故选D. 答案 D12.(2014·广东，5)下列函数为奇函数的是( ) A.y ＝2x －12x B.y ＝x 3sin x C.y ＝2cos x ＋1D.y ＝x 2＋2x解析 选项B 中的函数是偶函数；选项C 中的函数也是偶函数；选项D 中的函数是非奇非偶函数，根据奇函数的定义可知选项A 中的函数是奇函数. 答案 A13.(2014·重庆，4)下列函数为偶函数的是( ) A.f (x )＝x －1 B.f (x )＝x 2＋x C.f (x )＝2x －2－xD.f (x )＝2x ＋2－x解析 函数f (x )＝x －1和f (x )＝x 2＋x 既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A 和选项B ；选项C 中f (x )＝2x －2－x ，则f (－x )＝2－x －2x ＝－(2x －2－x )＝－f (x )，所以f (x )＝2x －2－x 为奇函数，排除选项C ；选项D 中f (x )＝2x ＋2－x ，则f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，所以f (x )＝2x ＋2－x 为偶函数，故选D. 答案 D14.(2013·湖南，4)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋ g (－1)＝4，则g (1)等于( ) A.4 B.3 C.2 D.1解析 由已知得f (－1)＝－f (1)，g (－1)＝g (1)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧－f （1）＋g （1）＝2，f （1）＋g （1）＝4，解得g (1)＝3. 答案 B15.(2013·山东，3)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( ) A.2 B.1 C.0D.－2 解析 由题意得f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2. 答案 D16.(2013·重庆，9)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则 f (lg(lg 2))＝( ) A.－5B.－1C.3D.4解析 ∵log 210＝1lg 2，∴lg(log 210)＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2). 令g (x )＝ax 3＋b sin x ，易知g (x )为奇函数.∵f (lg(log 210))＝f (－lg(lg 2))＝g (－lg(lg 2))＋4＝5， ∴g (－lg(lg 2))＝1.∴g (lg(lg 2))＝－1.∴f (lg(lg 2))＝g (lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3.故选C. 答案 C17.(2016·四川，14)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.解析 ∵f (x )周期为2，且为奇函数，已知(0，1)内f (x )＝4x ，则可大致画出(－1，1)内图象如图，∴f (0)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋f (2)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (0)＝－2＋0＝－2. 答案 －218.(2014·安徽，14)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1＜x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________.解析 由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4－76＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝－316＋sin π6＝516.答案 51619.(2014·四川，13)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.解析 由已知易得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1，又由函数的周期为2，可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1.答案 11.单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数(2)单调性、单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 2.函数的最值前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； 存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； 存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值►单调性定义的两种变式.(1)[设任意x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1＜x 2，则①f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0(＜0)⇔f (x )在[a ，b ]上是增(减)函数.②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0(＜0)⇔f (x )在[a ，b ]上是增(减)函数.]定义在R 上的函数f (x )对任意x 1，x 2(x 1≠x 2)都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0，若f (2x ＋1)≤f (x －1)，则x 的取值范围为________.解析 由f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0知函数f (x )为减函数，所以2x ＋1≥x －1，解得x ≥－2. 答案 [－2，＋∞)►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.(2)[函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示，：可以用逗号或“和”]函数f (x )＝x ＋1x 的单调递增区间为________.解析 由f (x )图象易知递增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞). 答案 (－∞，－1]，[1，＋∞)(3)[函数单调区间为[a ，b ]，若f (x )在[c ，d ]上是单调函数，则有[c ，d ]⊆[a ，b ]]函数f (x )＝x 2－2a ＋1在[2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________.解析f(x)递增区间为[a，＋∞)，由f(x)在[2，＋∞)递增知a≤2.答案(－∞，2]1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.►奇偶性两个性质.(4)[若函数具有奇偶性，则定义域关于原点对称]若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________.解析由定义域关于原点对称得a－1＋2a＝0，解得a＝13，即f(x)＝13x2＋bx＋b＋1，又f(x)为偶函数，由f(－x)＝f(x)得b＝0.答案130(5)[若函数f(x)为奇函数且在原点有意义，则f(0)＝0]函数f(x)＝a－22x＋1是奇函数的充要条件是a＝______.解析由f(x)为奇函数且x∈R知f(0)＝a－220＋1＝0，解得a＝1.答案 1函数的单调性解题方法求函数的单调性或单调区间的方法(1)利用已知函数的单调性.(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间.(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间.(5)复合函数y＝f[g(x)]根据“同增异减”判断.(6)利用函数的性质：如：①当k＞0时，y＝kf(x)与y＝f(x)单调性相同，当k＜0时，y＝kf(x)与y＝f(x)单调性相反.②y＝1f（x）与y＝f(x)单调性相反(此时只能f(x)＞0或只有f(x)＜0).③若y＝f(x)，y＝g(x)都为增(减)函数，则y＝f(x)＋g(x)为增(减)函数；若y＝f(x)为增函数，y＝g(x)为减函数，则y＝f(x)－g(x)为增函数，y＝g(x)－f(x)为减函数.函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)求函数值域或最值.常用方法有：单调性法、图象法、基本不等式法、导数法、换元法.(2)比较大小.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(3)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.(4)利用单调性求参数.视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数.【例1】 (2016·河北衡水月考)函数f (x )＝log 12(x 2－x －2)的单调递增区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.(－∞，－1)D.(2，＋∞)解析 由x 2－x －2＞0得x ＜－1或x ＞2，又u ＝x 2－x －2在(－∞，－1)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，y ＝log 12u 为减函数，故f (x )的单调递增区间为 (－∞，－1).故选C. 答案 C[点评] 判断函数的单调性，应首先求出函数的定义域，在定义域内求解.函数的奇偶性解题方略奇偶性的判断 (1)定义法(2)图象法(3)性质法若f(x)，g(x)在其公共定义域上具有奇偶性，则奇＋奇＝奇；奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.函数奇偶性的应用重点类型解决方法求函数值或解析式把待求值或自变量x利用奇偶性转化为已知区间的函数值或解析式求解.求参数值利用待定系数法求解.根据f(－x)＝±f(x)得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值.解决有关函数图象的问题利用奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，画出另一半对称区间上的图象.奇偶性与其他性质的综合应用(1)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反(2)在利用函数的性质求函数值或比较函数值的大小时，要综合利用函数的周期性与奇偶性，把自变量化归到已知区间中，然后根据相关的性质求解.【例2】(1)下列函数中，在其定义域内既是偶函数，又在(－∞，0)上单调递增的函数是()A.f(x)＝x2B.f(x)＝2|x|C.f(x)＝log21|x| D.f(x)＝sin 2x(2)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式f(x－2)≥0的解集是______.解析(1)函数f(x)＝x2是偶函数，但在区间(－∞，0)上单调递减，不合题意；函数f(x)＝2|x|是偶函数，但在区间(－∞，0)上单调递减，不合题意；函数f(x)＝log21|x|是偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，符合题意；函数f(x)＝sin 2x是奇函数，不合题意，故选C.(2)由已知可得x－2≥1或x－2≤－1，解得x≥3或x≤1，所求解集为(－∞，1]∪[3，＋∞).答案(1)C(2)(－∞，1]∪[3，＋∞)[点评]解题(1)的关键是会判断复合函数的单调性；解题(2)的关键是利用奇偶性和单调性的性质画出草图.函数的周期性解题方略1.有关函数周期性的常用结论(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2|a|；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2|a|；(3)若f (x ＋a )＝1f （x ），则函数的周期为2|a |； (4)若f (x ＋a )＝－1f （x ），则函数的周期为2|a |.2.判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，便可证明函数是周期函数，且周期为T ，根据函数的周期性，可以由函数局部性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能.【例3】 (2015·四川眉山一中模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝ －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 014)＝______.解析 ∵f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，∴f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x ).∴f (x )是以3为周期的周期函数. 则f (2 014)＝f (671×3＋1)＝f (1)＝2. 答案 2[点评] 应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内.函数性质的综合应用问题解题策略【示例】 函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D .有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2). (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明；(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围. [解题指导]解 (1)令x 1＝x 2＝1，有f (1×1)＝f (1)＋f (1)，解得f (1)＝0. (2)f (x )为偶函数，证明如下： 令x 1＝x 2＝－1，有f [(－1)×(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，解得f (－1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x ).∴f (x )为偶函数. (3)f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3. 由f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3， 变形为f [(3x ＋1)(2x －6)]≤f (64).(*) ∵f (x )为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |).∴不等式(*)等价于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64). 又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴|(3x ＋1)(2x －6)|≤64， 且(3x ＋1)(2x －6)≠0.解得－73≤x <－13，或－13<x <3，或3<x ≤5.∴x 的取值范围是{x |－73≤x <－13，或－13<x <3，或3<x ≤5}.[方法点评] (1)要有明确的语言表示.如“M ”等价于“N ”，“M ”变形为“N ”. (2)要写明转化的条件.如本例中：∵f (x )为偶函数， ∴不等式(*)等价于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64).(3)转化的结果要等价.如本例：由于f [|(3x ＋1)(2x －6)|]≤f (64)⇒|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，且(3x ＋1)(2x －6)≠0.若漏掉(3x ＋1)(2x －6)≠0，则这个转化就不等价了.全国新课标区模拟精选题：根据高考命题大数据分析，重点关注基础题1，6，能力题10，11. 专项基础测试 模拟精选题一、选择题1.(2016·兰州诊断)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为( ) A.－4 B.4 C.－6D.6解析 由题意f (0)＝0，即1＋m ＝0，所以m ＝－1， f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4. 答案 A2.(2015·洛阳市统考)设f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，若f (x )在[－2，0]上单调递减，则使f (a 2－a )＜0成立的实数a 的取值范围是( ) A.[－1，2] B.[－1，0)∪(1，2] C.(0，1)D.(－∞，0)∪(1，＋∞)解析 ∵f (x )是[－2，2]上的奇函数，∴f (0)＝0，f (a 2－a )＜0＝f (0)，又∵f (x )在[－2，0]上单调递减，∴f (x )在[0，2]也单调递减，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＞0，－2≤a 2－a ≤2，即a ∈[－1，0)∪(1，2]. 答案 B3.(2016·郑州质量预测)已知f (x )，g (x )是定义域为R 的不恒为零的函数，其中f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，则下列说法不正确的是( )A.函数|f (x )|为偶函数B.函数－g (－x )为奇函数C.函数f [g (x )]为偶函数D.函数f (x )＋g (x )为非奇非偶函数解析 对于选项A ，|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，即函数|f (x )|为偶函数，A 正确；对于选项B ，－g [－(－x )]＝－g (x )＝－g (－x )，所以函数－g (－x )为偶函数，B 错误；对于选项C ，f [g (－x )]＝f [g (x )]，所以函数f [g (x )]为偶函数，C 正确；对于选项D ，f (－x )＋g (－x )＝－f (x )＋g (x )，所以函数f (x )＋g (x )为非奇非偶函数，D 正确. 答案 B4.已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x ).若f (x )在[－1，0]上是减函数，则函数f (x )在[1，3]上( ) A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减D.先减后增解析 由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )的周期为2.又f (x )在[－1，0]上是减函数且f (x )是偶函数，所以f (x )在[0，1]上是增函数，在[1，2]上是减函数，在 [2，3]上是增函数，故函数f (x )在[1，3]上先减后增. 答案 D5.(2014·荆州模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0，1)上单调递增，记a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a ＞b ＝cB. b ＞a ＝cC.b ＞c ＞aD.a ＞c ＞b解析 依题意得，f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )， 即函数f (x )是以2为周期的函数，f (2)＝f (0)＝0， 又f (3)＝－f (2)＝0，且f (x )在[0，1)上是增函数， 于是f (12)＞f (0)＝f (2)＝f (3)， 即a ＞b ＝c . 答案 A6.(2015·山西太原模拟)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (－x )，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32内是( )A.减函数且f (x )>0B.减函数且f (x )<0C.增函数且f (x )>0D.增函数且f (x )<0解析 由f (x ＋1)＝f (－x )可知，函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称，又函数f (x )为奇函数，故f (x ＋1)＝f (－x )＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，又当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝log 2(x ＋1)，故可得到函数f (x )的大致图象如图所示.由图象可知选B. 答案 B 二、填空题7.(2016·湖南四大名校3月联考)设函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x （x >0），g （x ） （x <0），若f (x )为奇函数，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14的值为________.解析 g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－log 214＝－log 22－2＝2. 答案 2创新导向题函数奇偶性与单调性的判断8.下列函数中，既是奇函数又在定义域内单调递减的函数为( ) A.y ＝1x B.y ＝e －x －e x2 C.y ＝sin xD.y ＝lg x解析 y ＝1x ，y ＝sin x 是奇函数，但在其定义域内不是减函数；函数y ＝e －x －e x 2是奇函数，且在定义域内是减函数；函数y ＝lg x 是非奇非偶函数，故选B. 答案 B利用奇偶性与单调性解不等式9.定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)<f (ln x ＋1)，则x 的取值范围是________.解析 由题意f (1)<f (|ln x ＋1|)，又f (x )在(0，＋∞)上单调递增得|ln x ＋1|>1，即ln x ＋1>1或ln x ＋1<－1，解得x >1或0<x <1e 2. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 2∪(1，＋∞)专项提升测试 模拟精选题一、选择题10.(2016·云南省名校统考)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝ f (x ＋2)，且x ∈(－1，0)时f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝( ) A.－1 B.45 C.1D.－45解析 ∵x ∈(0，1)，－x ∈(－1，0)， ∴f (－x )＝2－x ＋15＝－f (x )，即f (x )＝－2－x －15，x ∈(0，1).由f (x －2)＝f (x ＋2)，可得f (x )＝f (x －4). ∵4＜log 220＜5，∴0＜log 220－4＜1， ∴f (log 220)＝f (log 220－4) ＝－2－(log 220－4)－15＝－1. 答案 A11.(2016·日照诊断)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是减函数，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln n m ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln m n －2f (1)<0，则n m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eB.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e C.(e ，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(e ，＋∞)解析 因为f (x )为偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln m n ＝f (－ln n m )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln n m .于是，原不等式可化为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln n m <f (1)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln n m <f (1)，由函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数得⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln n m >1，即ln n m >1或ln n m <－1，解得n m >e 或0<n m <1e .故n m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(e ，＋∞).答案 D 二、填空题12.(2015·湖南长沙二模)已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质：①直线x ＝1是函数f (x )的一条对称轴；②f (x ＋2)＝－f (x )；③当1≤x 1＜x 2≤3时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＜0，则f (2 011)，f (2 012)，f (2 013)从大到小的顺序为________. 解析 由②知f (x )的周期为4， 由③知f (x )在[1，3]上为减函数，∴f (2 011)＝f (3)，f (2 012)＝f (0)＝f (2)，f (2 013)＝f (1)， ∴f (1)＞f (2)＞f (3)，即f (2 013)＞f (2 012)＞f (2 011). 答案 f (2 013)＞f (2 012)＞f (2 011)13.(2014·山东青岛模拟)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1).已知当x ∈[0，1]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x，则①2是f (x )的周期；②f (x )在(1，2)上递减，在(2，3)上递增；③f (x )的最大值为1，最小值为0；④当x ∈(3，4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3.其中正确命题的序号是________.解析 由已知条件得f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )的周期为2，①正确； 当－1≤x ≤0时，0≤－x ≤1，f (x )＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x，函数y ＝f (x )的图象如图所示，则②正确，③错误；。

考纲原文呈现（1）函数①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念. ②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、 列表法、解析法）表示函数．③了解简单的分段函数，并能简单应用.④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．⑤会运用函数图像理解和研究函数的性质． （2）指数函数①了解指数函数模型的实际背景.②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数 图像通过的特殊点． ④知道指数函数是一类重要的函数模型. （3）对数函数①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.②理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数 图像通过的特殊点． ③知道对数函数是一类重要的函数模型.④了解指数函数xy a =与对数函数log a y x =互为反函数01)a a >≠（，且． （4）幂函数 ①了解幂函数的概念.②结合函数12321,,,,y x y x y x y y x x-=====的图像，了解它们的变化情况．（5）函数与方程①结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断 一元二次方程根的存在性及根的个数.②根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．（6）函数模型及其应用①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．②了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用命题预测本部分函数部分为高考热点内容，预计2019年仍会以选择题、填空题的形式呈现，且多为中偏档题，主要考查内容仍然有：函数的定义域或者分段函数的求值为主；函数的概念与性质、函数图象.其中，对函数的奇偶性、单调性、函数图象的考查频次较高，常与函数的其他性质（如周期性、对称性）相结合求函数的值或参数的取值范围；函数零点主要考查零点所在区间、零点个数的判断以及由零点的个数求解参数的取值范围．样题深度解读A B C D押题：若函数b ax x x f ++=2)(有两个不同的零点21,x x ，且3121<<<x x ，那么在f f两个函数值中（）(1),(3)A．至多有一个小于1 B．至少有一个小于1 C．都小于1 D．都大于1【答案】B。

文科数学I、考核目标与要求根据普通高等学校对新生文化素质的要求，依据中华人民共和国教育部2003年颁布的《普通高中课程方案（实验）》和《普通高中数学课程标准（实验）》的必修课程、选修课程系列1和系列4的内容，确定文史类高考数学科考试内容。

一、知识要求知识是指《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课程标准》）中所规定的必修课程、选修课程系列1和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能。

各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明。

对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次。

1、了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能（或会）在有关的问题中识别和认识它。

这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道、识别，模仿，会求、会解等。

2、理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识做正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力。

这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达，推测、想象，比较、判别，初步应用等。

3、掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决。

这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握、导出、分析，推导、证明，研究、讨论、运用、解决问题等。

二、能力要求能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识。

1。

空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。

空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，主要表现为识图、画图和对图形的想象能力。

专题02 函数的概念与基本初等函数I1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b <<D ．b c a <<【答案】B【解析】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,c <=<=即01,c <<则a c b <<． 故选B ．【名师点睛】本题考查指数和对数大小的比较，考查了数学运算的素养．采取中间量法，根据指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．2．【2019年高考天津理数】已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【解析】因为551log 2log 2a =<=， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=，10.20.50.50.5c <=<，即112c <<， 所以a c b <<. 故选A.【名师点睛】本题考查比较大小问题，关键是选择中间量和利用函数的单调性进行比较. 3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若a >b ，则 A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取2,1a b ==，满足a b >，但ln()0a b -=，则A 错，排除A ；由219333=>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，但|1||2|<-，则D 错，排除D ； 因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，即a 3−b 3>0，C 正确. 故选C ．【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的性质、幂函数的性质及绝对值的意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．4．【2019年高考北京理数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=2152lg E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10−10.1【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=， 令211.45,26.7m m =-=-， 则()121222lg( 1.4526.7)10.1,55E m m E =-=⨯-+= 从而10.11210E E =. 故选A.【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及对数的运算.5．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，可知应为D 选项中的图象． 故选D ．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象的识别，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法和赋值法，利用数形结合思想解题．6．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】设32()22x xx y f x -==+，则332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ； 36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ， 故选B ．【名师点睛】本题通过判断函数的奇偶性，排除错误选项，通过计算特殊函数值，作出选择．本题注重基础知识、基本计算能力的考查．7．【2019年高考浙江】在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1(2log )a y x =+(a >0，且a ≠1)的图象可能是【答案】D【解析】当01a <<时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数xy a =的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a=的图象过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合. 综上，选D.【名师点睛】易出现的错误：一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设r Rα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ABCD【答案】D 【解析】由rRα=，得r R α=， 因为121223()()M M M R r R r r R +=++，所以12122222(1)(1)M M M R R R ααα+=++，即543232221133[(1)]3(1)(1)M M αααααααα++=+-=≈++，解得α=所以.r R α== 故选D.【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形易出错．9．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314）【答案】C【解析】()f x Q 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案．10．【2017年高考山东理数】设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ,则A B I = A ．（1,2） B ．(1,2] C ．（-2,1） D ．[-2,1)【答案】D【解析】由240x -≥得22x -≤≤， 由10x ->得1x <，故{|22}{|1}{|21}A B x x x x x x =-≤≤<=-≤<I I . 选D.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应把集合先化简再计算，常借助数轴或韦恩图进行求解.11．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】函数()2e e x xf x x--=的图像大致为【答案】B【解析】()()()2ee 0,,x xx f x f x f x x--≠-==-∴Q 为奇函数，舍去A ； ()11e e 0f -=->Q ，∴舍去D ； ()()()()()243e e e e 22e 2e ,xx x x x x x xx x f x xx---+---++=='Q 2x ∴>时，()0f x '>，()f x 单调递增，舍去C. 因此选B.【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性. 12．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数422y x x =-++的图像大致为【答案】D【解析】函数图象过定点(0,2)，排除A ，B ；令42()2y f x x x ==-++，则32()422(21)f x x x x x '=-+=--，由()0f x '>得22(21)0x x -<，得2x <-或202x <<，此时函数单调递增， 由()0f x '<得22(21)0x x ->，得22x >或202x -<<，此时函数单调递减，排除C. 故选D.【名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单调性是解决本题的关键.13．【2018年高考浙江】函数y =2xsin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令()2sin2xf x x =，因为()()(),2sin22sin2xxx f x x x f x -∈-=-=-=-R ，所以()2sin2xf x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ， 故选D ．【名师点睛】先研究函数的奇偶性，再研究函数在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上的符号，即可判断选择.有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置； （2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）由函数的周期性，判断图象的周期性．14．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =【答案】D【解析】因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =，所以()3f x x x =+，()231f x x '=+，所以()()01,00f f '==，所以曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为()()00y f f x '-=，化简可得y x =， 故选D ．【名师点睛】该题考查的是函数的奇偶性以及有关曲线()y f x =在某个点()()00,x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论：多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得()f x '，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.15．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+．若()12f =，则()()()123f f f ++()50f ++=LA ．50-B ．0C ．2D ．50【答案】C【解析】因为()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，且()()11f x f x -=+， 所以()()()()()113114f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=，，,因此()()()()()()()()()()1235012123412f f f f f f f f f f ⎡⎤++++=+++++⎣⎦L ， 因为()()()()3142f f f f =-=-，，所以()()()()12340f f f f +++=， 因为()()200f f ==，从而()()()()()1235012f f f f f ++++==L . 故选C ．【名师点睛】先根据奇函数的性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．16．【2018年高考天津理数】已知2log e a =，ln2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】D【解析】由题意结合对数函数的性质可知：2log e 1a =>，()21ln20,1log eb ==∈，12221log log 3log e 3c ==>， 据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.【名师点睛】由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.对于对数的大小的比较，我们通常都是运用对数函数的单调性，但很多时候，因对数的底数或真数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较，这就必须掌握一些特殊方法．在进行对数的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据对数函数的单调性进行判断．对于不同底而同真数的对数的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．17．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+【答案】B【解析】0.22log 0.3,log 0.3a b ==Q ，0.30.311log 0.2,log 2a b∴==， 0.311log 0.4a b ∴+=，1101a b ∴<+<,即01a b ab+<<， 又0,0a b ><Q ，0ab ∴<， ∴0ab a b <+<. 故选B ．【名师点睛】本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题.18．【2017年高考北京理数】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093【答案】D【解析】设36180310M x N ==，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310. 故选D ．【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 19．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】设x 、y 、z 为正数，且235x y z==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k =∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <. 故选D ．【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.20．【2017年高考浙江】若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M – mA ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关.故选B ．【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．21．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D【解析】因为()f x 为奇函数且在(,)-∞+∞单调递减，要使1()1f x -≤≤成立，则x 满足11x -≤≤，从而由121x -≤-≤得13x ≤≤，即满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围为[1,3]. 故选D.【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题，要充分利用奇、偶函数的性质与单调性解决不等式和比较大小问题，若()f x 在R 上为单调递增的奇函数，且12()()0f x f x +>，则120x x +>，反之亦成立.22．【2017年高考北京理数】已知函数1()3()3x xf x =-，则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】()()113333xxxx f x f x --⎛⎫⎛⎫-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该函数是奇函数，并且3xy =是增函数，13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，根据增函数−减函数=增函数，可知该函数是增函数.故选A.【名师点睛】本题属于基础题型，根据()f x -与()f x 的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数−减函数=增函数；（4）利用导数判断函数的单调性.23．【2017年高考天津理数】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以当0x >时，()0f x >， 从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<， 所以0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<. 故选C ．【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用 函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式．24．【2017年高考山东理数】已知当[0,1]x ∈时，函数2(1)y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是A ．(0,1])+∞UB ．(0,1][3,)+∞UC ．)+∞UD ．[3,)+∞U【答案】B【解析】当01m <≤时，11m≥，2(1)y mx =-在[0,1]x ∈时单调递减，且22(1)(1),1y mx m ⎡⎤=-∈-⎣⎦，y m =在[0,1]x ∈时单调递增，且[,1]y m m m =∈+，此时有且仅有一个交点；当1m >时，101m <<，2(1)y mx =-在1,1m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需2(1)13m m m -≥+⇒≥.故选B.【名师点睛】已知函数有零点求参数的取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围； （2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 25．【2017年高考山东理数】若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是A ．()21log 2a ba ab b +<<+ B ．()21log 2a b a b a b<+<+ C ．()21log 2a ba ab b +<+<D ．()21log 2a ba b a b +<+<【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以1,01,a b ><<所以221,log ()log 12a ba b <+>=， 12112log ()a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+，【名师点睛】比较幂或对数值的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同，可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.26．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-．若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】∵(1) 2 ()f x f x +=，()2(1)f x f x ∴=-． ∵(0,1]x ∈时，1()(1)[,0]4f x x x =-∈-；∴(1,2]x ∈时，1(0,1]x -∈，1()2(1)2(1)(2),02f x f x x x ⎡⎤=-=--∈-⎢⎥⎣⎦； ∴(2,3]x ∈时，1(1,2]x -∈，()2(1)4(2)(3)[1,0]f x f x x x =-=--∈-， 如图：当(2,3]x ∈时，由84(2)(3)9x x --=-解得173x =，283x =， 若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则73m ≤.则m 的取值范围是7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【名师点睛】本题考查了函数与方程，二次函数.解题的关键是能够得到(2,3]x ∈时函数的解析式，并求出函数值为89-时对应的自变量的值. 27．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ，则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点； 当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣bx 3（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣bx 3（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意； 当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增， 令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减， 则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：∴0且()32011(1)1(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得b ＜0，1﹣a ＞0，b （a +1）3，则a >–1，b <0. 故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣bx 3（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．28．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()e 0ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞）【答案】C【解析】画出函数()f x 的图象，e xy =在y 轴右侧的图象去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点（0,1）时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程()f x x a =--有两个解，也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-.故选C ．【名师点睛】该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.即：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图象，再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a=--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.29．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x = D ．()f x 在(π2,π)单调递减【答案】D【解析】函数()f x 的最小正周期为2π2π1T ==，则函数()f x 的周期为()2πT k k =∈Z ，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确； 函数()f x 图象的对称轴为()ππ3x k k +=∈Z ，即()ππ3x k k =-∈Z ，取3k =，可得y =f (x )的图象关于直线8π3x =对称，选项B 正确；()πππcos πcos 33f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的零点满足()πππ32x k k +=+∈Z ，即()ππ6x k k =+∈Z ，取0k =，可得(π)f x +的一个零点为π6x =，选项C 正确； 当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π5π4π,363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 在该区间内不单调，选项D 错误.故选D.【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为(n )si y A x ωϕ=+或(s )co y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2πT ω=；奇偶性的判断关键是看解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x b ω=+的形式.（2）求()()sin 0()f x A x ωϕω+≠=的对称轴，只需令()ππ2x k k ωϕ+=+∈Z ，求x 即可；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令π()x k k ωϕ+=∈Z 即可.30．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =A ．12- B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】函数()f x 的零点满足()2112e e x x x x a --+-=-+， 设()11eex x g x --+=+，则()()21111111e 1eeee e x x x x x x g x ---+----'=-=-=，当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数()g x 取得最小值，为()12g =.设()22h x x x =-，当1x =时，函数()h x 取得最小值，为1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x -没有交点；若0a -<，当()()11ag h -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点，即21a -⨯=-，解得12a =. 故选C.【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.31．【2017年高考天津理数】已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C．[2]- D．39[]16- 【答案】A【解析】不等式()||2xf x a ≥+可化为()()2x f x a f x -≤+≤ (*)， 当1x ≤时，(*)式即22332x x x a x x -+-≤+≤-+，即2233322x x a x x -+-≤≤-+， 又22147473()241616x x x -+-=---≤-（当14x =时取等号）， 223339393()241616x x x -+=-+≥（当34x =时取等号），所以47391616a -≤≤， 当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+，32222x x a x x--≤≤+．又3232()22x x x x --=-+≤-3x =，222x x +≥=（当2x =时取等号），所以2a -≤≤． 综上，47216a -≤≤． 故选A ．【名师点睛】首先将()||2x f x a ≥+转化为()()22x xf x a f x --≤≤-，涉及分段函数问题要遵循分段处理的原则，分别对x 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x 的范围，利用极端原理，求出对应的a 的取值范围．32．【2019年高考江苏】函数y =的定义域是 ▲ .【答案】[1,7]-【解析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域. 由已知得2760x x +-≥,即2670x x --≤，解得17x -≤≤， 故函数的定义域为[1,7]-.【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．33．【2018年高考江苏】函数()f x =________．【答案】[2，+∞）【解析】要使函数()f x 有意义，则需2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[)2,+∞. 【名师点睛】求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.求解本题时，根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.34．【2017年高考江苏】记函数()f x =D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ．【答案】59【解析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤， 根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是3(2)55(4)9--=--．【名师点睛】（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积或体积等时，应考虑使用几何概型求解． （2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：①无限性，②等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．35．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________．【答案】3-【解析】由题意知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-，又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =， 所以ln 2e 8a --=-，两边取以e 为底数的对数，得ln 23ln 2a -=， 所以3a -=，即3a =-．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性，对数的计算．36．【2019年高考北京理数】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】(]1;,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0xxa -++=对任意的x 恒成立，则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x xf x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立， 又2e 0x >，则0a ≤， 即实数a 的取值范围是(],0-∞.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.37．【2019年高考浙江】已知a ∈R ，函数3()f x ax x =-，若存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是___________. 【答案】43【解析】存在t ∈R ，使得2|(2)()|3f t f t +-≤， 即有332|(2)(2)|3a t t at t +-+-+≤， 化为()22|23642|3a t t ++-≤， 可得()2222364233a t t -≤++-≤， 即()22436433a t t ≤++≤， 由223643(1)11t t t ++=++≥，可得403a <≤. 则实数a 的最大值是43. 【名师点睛】本题考查函数的解析式及二次函数，结合函数的解析式可得33|(2)(2)|a t t at t +-+-+23≤，去绝对值化简，结合二次函数的最值及不等式的性质可求解. 38．【2019年高考北京理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________． 【答案】①130；②15【解析】①10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付()608010130+-=元. ②设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，当120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求； 当120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立， 即()87,8y y x y x -≥≤， 因为min158y ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以x 的最大值为15. 综上，①130；②15.【名师点睛】本题主要考查函数的最值，不等式的性质及恒成立，数学的应用意识，数学式子变形与运算求解能力.以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养. 39．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________． 【答案】3【解析】0πx ≤≤Q ，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，或π5π362x +=，解得π4π,99x =或7π9，故有3个零点.【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题.解题时，首先求出π36x +的范围，再由函数值为零，得到π36x +的取值可得零点个数. 40．【2018年高考浙江】我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。