2019年呼和浩特市高三一模文科数学答案.doc

内蒙古呼和浩特市2019届高三（上）期中考试数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60在分）1．已知集合A ＝｛3，1，2｝，{1B =，}a ，若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值集合是( )A ．{3}B ．{2}C ．{3，2}D ．{3， 1 ，2} 2．已知复数43bi z i =+，其中b R ∈，i 为虚数单位， 且||5z =，则(b = ) A ．25± B ．1± C ．3± D ．5±3．如果函数()y f x =的图象如图，那么导函数()y f x ='的图象可能是( )4．如果α为锐角，4sin 5α=，那么sin 2α的值等于( ) A ．2425 B ．1225 C ．1225- D ．2425- 5．已知2()x f x a -=，()log ||(0a g x x a =>且1)a ≠，若f （5）(5)0g -<g ，则()y f x =，()y g x =在同一坐标系内的大致图象是( )6．在等差数列{}n a 中，121a a +=，201820193a a +=，n S 是数列{}n a 的前n 项和， 则2019(S =)A ． 4036B ． 4038C ． 2019D ． 20097．设1e u r ，2e u u r 为单位向量， 且1e u r ，2e u u r 的夹角为3π，若123a e e =+u r u u r r ，12b e =u r r ，则向量a r 在b r 方向上的投影为( )A ．12B ．52C ．32-D ．2-8．对函数2()(0f x ax bx c a =++≠，b 、)c R ∈作()x h t =的代换， 使得代换前后()f x 的值域总不改变的代换是( )A ．()2t h t =B ．2()1h t t =-C ．()h t lgt =D ．()tan h t t =，0t π<<9．设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =，3cos 4A =，sin 2sin B C =，则ABC ∆是( )A ． 直角三角形B ． 钝角三角形C ． 锐角三角形D ． 形状不确定10．下列命题中错误的是( )A ． 若命题p 为真命题， 命题q 为假命题， 则命题“()p q ∨⌝”为真命题B ． 命题“若5x y +≠，则2x ≠或3y ≠”为真命题C ． 对于命题:p x R ∀∈，210x x ++>，则0:p x R ⌝∃∈，20010x x ++… D ． “2320x x -+=”是“1x =”的充分不必要条件个11．函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<，若x R ∃∈，使(2)()4f x f x +-=成立， 则ω的最小值是( )A ．2πB ．πC ．4πD ．34π 12．已知方程12lnx ax +=有且只有两个解1x ，212()x x x <，则以下判断正确的是( )A ．12112x x a <<<B ．12112x x a <<<C ．12112x x a<<<D ．12112x x a <<< 二、填空题（本大题共4小题每小题5分，共20分把正确答案填在答题卡的相应位置13．已知函数3()f x x x=-，则曲线()y f x =点(2，f （2）)处的切线方程为 ． 14．已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式n a = ．15．已知||||2a b ==r r ，0a b =r r g ，若向量c r 满足||1c b a --=r r r ，则||c r 的取值范围为 ．16．已知函数()f x 与(1)f x -都是定义在R 上的奇函数， 当01x <<时，2()log f x x =，则9()4f f -+（4） 的值为 ． 三、解答题（本大题共5小题，共70分。

2019年内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．1．（5分）设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x2≥1}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|l≤x＜2}D．{x|0＜x＜2} 2．（5分）若复数（2a+i）（1+i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a为（）A．﹣2B．2C．D．3．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，以AB中点O为圆心，1为半径画圆，从正方形ABCD中任取一点P，则点P落在该圆中的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）函数f（x）＝x cos x﹣x3的大致图象为（）A．B．C．D．5．（5分）在等比数列{a n}中，a2﹣a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，则a4为（）A．9B．27C．54D．816．（5分）政府为了调查市民对A、B两服务部门的服务满意度情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的满意度越高）绘制的茎叶图如图：则下列说法正确的是（）A．这50位市民对A、B两部门评分的方差，A部门的评分方差大B．估计市民对A、B两部门的评分高于90的概率相同C．这50位市民对A部门的评分其众数大于中位数D．该市的市民对B部门评分中位数的估计值是677．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）＝sin（ωx+）的图象，只需将f（x）的图象上所有点（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度8．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为（）A．7B．4C．5D．119．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半径为1的半球组成一个几何体．该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为（）A．6π+4B．5π+2C．5π+4D．20π+1610．（5分）设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时（）A．乙是丙的充分而不必要条件B．乙是丙的必要而不充分条件C．乙是丙的充分且必要条件D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件11．（5分）已知函数f（x）＝2x﹣1+2x+3与g（x）＝x﹣x﹣1的零点分别为x1，x2，h（x）＝（）x且h（x3）＝，则x1，x2，x3的大小关系为（）A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x2＜x3＜x1D．x3＜x1＜x2 12．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的上、下焦点分别为F2，F1，过F1且倾斜角为锐角的直线1与圆x2+y2＝a2相切，与双曲线的上支交于点M．若线段MF1的垂直平分线过点F2，则该双曲线的渐近线的方程为（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置.）13．（5分）已知||＝2，是单位向量，且与夹角为60°，则•（﹣）等于．14．（5分）在（2x﹣）5的展开式中，x2的系数为．15．（5分）设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为L，P为抛物线上一点，P A⊥L，A为垂足．如果直线AF的斜率为﹣，那么以PF为直径的圆的标准方程为．16．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．令b n＝（﹣1）n﹣1，则数列{b n}的前100的项和为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC＝DC．（Ⅰ）若∠BAD＝60°，求∠ADC的大小；（Ⅱ）若BD＝2DC，且AB＝，求AD的长．18．（12分）如图，平面四边形ABCD，AB⊥BD，AB＝BC＝CD＝2，BD＝2，将△ABD 沿BD翻折到与面BCD垂直的位置．（Ⅰ）证明：CD⊥面ABC；（Ⅱ）若E为AD中点，求二面角E﹣BC＝A的大小．19．（12分）某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（Ⅰ）求六月份这种饮料一天的需求量X（单位：瓶）的分布列，并求出期望EX；（Ⅱ）设六月份一天销售这种饮料的利润为Y（单位：元），且六月份这种饮料一天的进货量为n（单位：瓶），请判断Y的数学期望是否在n＝EX时取得最大值？20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点P（2，1），其左右焦点分别为F1，F2，三角形PF1F2的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知A，B是椭圆C上的两个动点且不与坐标原点O共线，若∠APB的角平分线总垂直于x轴，求证：直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2x+mlnx+2，m∈R．（Ⅰ）当m＜1时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证1﹣≤＜1．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，不与坐标轴重合的直线l的极坐标方程为θ＝θ0（ρ∈R），设l与曲线C1，C2异于极点的交点分别为A，B．（Ⅰ）当θ0＝时，求|AB|；（Ⅱ）求AB中点轨迹的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣3|．（Ⅰ）在给出的直角坐标系中画出函数f（x）的图象；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥|x﹣m|的解集包含[4，5]，求m的取值范围．2019年内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．1．（5分）设全集为R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x2≥1}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|l≤x＜2}D．{x|0＜x＜2}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】根据补集、交集的定义即可求出．【解答】解：∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x2≥1}＝{x|x≥1或x≤﹣1}，∴∁R B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∩（∁R B）＝{x|0＜x＜1}．故选：B．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．（5分）若复数（2a+i）（1+i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a为（）A．﹣2B．2C．D．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数的运算．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a值．【解答】解：∵（2a+i）（1+i）＝（2a﹣1）+（2a+1）i在复平面内所对应的点在虚轴上，∴2a﹣1＝0，即a＝．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，以AB中点O为圆心，1为半径画圆，从正方形ABCD中任取一点P，则点P落在该圆中的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】由几何概型中的面积型及圆、正方形的面积公式得：P（A）＝＝＝，得解．【解答】解：设“从正方形ABCD中任取一点P，则点P落在该圆中“为事件A，由几何概型中的面积型可得：P（A）＝＝＝，故选：B．【点评】本题考查了几何概型中的面积型及圆、正方形的面积公式，属中档题．4．（5分）函数f（x）＝x cos x﹣x3的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】38：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用特殊值进行排除即可．【解答】解：函数f（﹣x）＝﹣x cos（﹣x）﹣（﹣x）3＝﹣x cos x+x3＝﹣f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，f（）＝cos﹣（）3＝﹣（）3＜0，排除B，故选：A．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及特殊值，结合排除法是解决本题的关键．5．（5分）在等比数列{a n}中，a2﹣a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，则a4为（）A．9B．27C．54D．81【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，由2a2为3a1和a3的等差中项，可得2×2a2＝3a1+a3，利用等比数列的通项公式代入化简为q2﹣4q+3＝0，解得q，又a2﹣a1＝2，即a1（q﹣1）＝2，q≠1，分析可得a1、q的值，解可得数列{a n}的通项公式，将n ＝4代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，若2a2为3a1和a3的等差中项，则有2×2a2＝3a1+a3，变形可得4a1q＝3a1+a1q2，即q2﹣4q+3＝0，解得q＝1或3；又a2﹣a1＝2，即a1（q﹣1）＝2，则q＝3，a1＝1，则a n＝3n﹣1，则有a4＝33＝27；故选：B．【点评】本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．6．（5分）政府为了调查市民对A、B两服务部门的服务满意度情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对两部门的评分（评分越高表明市民的满意度越高）绘制的茎叶图如图：则下列说法正确的是（）A．这50位市民对A、B两部门评分的方差，A部门的评分方差大B．估计市民对A、B两部门的评分高于90的概率相同C．这50位市民对A部门的评分其众数大于中位数D．该市的市民对B部门评分中位数的估计值是67【考点】BA：茎叶图．【专题】38：对应思想；4R：转化法；5I：概率与统计．【分析】根据茎叶图的知识以及样本来估计总体，进行合理的评价，恰当的描述即可．【解答】解：由茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于乙部门的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大，由茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为＝0.1，＝0.16，故该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率得估计值分别为0.1，0.16，故A，B，C错误；由茎叶图知，50位市民对甲部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是75，75，故样本的中位数是75，所以该市的市民对甲部门的评分的中位数的估计值是75．50位市民对乙部门的评分有小到大顺序，排在排在第25，26位的是66，68，故样本的中位数是＝67，所以该市的市民对乙部门的评分的中位数的估计值是67，故D正确；故选：D．【点评】本题主要考查了茎叶图的知识，以及中位数，用样本来估计总体的统计知识，属于基础题．7．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）＝sin（ωx+）的图象，只需将f（x）的图象上所有点（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；HK：由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图象与性质．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）得解析式，再利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象，可得A＝1，•＝﹣，∴ω＝2．再利用五点法作图可得2•+φ＝π，求得φ＝，∴f（x）＝sin（2x+）．为了得到g（x）＝sin（ωx+）＝sin（2x+）的图象，只需将f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，即可，故选：A．【点评】本题主要考查由函数y＝A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为（）A．7B．4C．5D．11【考点】EF：程序框图．【专题】34：方程思想；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出m值时对应a的值．【解答】解：由程序框图可得：m＝2a﹣3，当i的值为1时，m＝2（2a﹣3）﹣3＝4a﹣9，当i的值为2时，m＝2（4a﹣9）﹣3＝8a﹣21，当i的值为3时，m＝2（8a﹣21）﹣3＝16a﹣45，当i的值为4时，m＝2（16a﹣45）﹣3＝32a﹣93，此时不满足循环条件，输出m＝32a﹣93＝67，解得：a＝5．故选：C．【点评】本题考查了模拟实验法解程序框图的应用问题，是基础题．9．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半径为1的半球组成一个几何体．该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为（）A．6π+4B．5π+2C．5π+4D．20π+16【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，利用三视图的数据求解几何体的表面积，然后推出结果．【解答】解：该几何体是由半个圆柱对接半个球而形成的，视图表示的是几何体水平放置时的情形，其表面积S＝2π×12+π×12+π×2+2×2＝4+5π．故选：C．【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，考查空间想象能力以及计算能力．10．（5分）设有如下三个命题：甲：相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内；乙：直线l、m中至少有一条与平面β相交；丙：平面α与平面β相交．当甲成立时（）A．乙是丙的充分而不必要条件B．乙是丙的必要而不充分条件C．乙是丙的充分且必要条件D．乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】14：证明题；16：压轴题．【分析】判断乙是丙的什么条件，即看乙⇒丙、丙⇒乙是否成立．当乙成立时，直线l、m中至少有一条与平面β相交，则平面α与平面β至少有一个公共点，故相交相交．反之丙成立时，若l、m中至少有一条与平面β相交，则l∥m，由已知矛盾，故乙成立．【解答】解：当甲成立，即“相交直线l、m都在平面α内，并且都不在平面β内”时，若“l、m中至少有一条与平面β相交”，则“平面α与平面β相交”成立；若“平面α与平面β相交”，则“l、m中至少有一条与平面β相交”也成立故选：C．【点评】本题考查空间两条直线、两个平面的位置关系判断、充要条件的判断，考查逻辑推理能力．11．（5分）已知函数f（x）＝2x﹣1+2x+3与g（x）＝x﹣x﹣1的零点分别为x1，x2，h（x）＝（）x且h（x3）＝，则x1，x2，x3的大小关系为（）A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x2＜x3＜x1D．x3＜x1＜x2【考点】52：函数零点的判定定理．【专题】31：数形结合；35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】利用函数与方程的关系，分别转化为y＝2x与y＝﹣4x﹣6的图象，y＝x﹣1和y ＝x的图象，h（x）＝（）x和y＝的图象，利用数形结合研究x1，x2，x3的范围即可得到结论．【解答】解：由f（x）＝2x﹣1+2x+3＝0得2x﹣1＝﹣2x﹣3，即2x＝﹣4x﹣6，作出函数y＝2x与y＝﹣4x﹣6的图象如图，（黑色图象），由图象知两个图象交点的横坐标x1满足﹣2＜x1＜﹣1，由g（x）＝x﹣x﹣1＝0得x﹣1＝x，作出y＝x﹣1和y＝x的图象如图（红色图象）由图象知两个图象交点的横坐标x2满足2＜x2＜3，作出h（x）＝（）x和y＝，的图象如图（蓝色图象）由图象知两个图象交点的横坐标x3满足1＜x2＜2，综上x1，x2，x3的大小关系为x1＜x3＜x2，故选：B．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为两个函数图象交点问题，利用数形结合求出对应究x1，x2，x3的范围是解决本题的关键．12．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的上、下焦点分别为F2，F1，过F1且倾斜角为锐角的直线1与圆x2+y2＝a2相切，与双曲线的上支交于点M．若线段MF1的垂直平分线过点F2，则该双曲线的渐近线的方程为（）A．y＝B．y＝C．y＝D．y＝【考点】KC：双曲线的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先设MF1与圆相切于点E，利用|MF2|＝|F1F2|，及直线MF1与圆x2+y2＝a2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的渐近线方程．【解答】解：设MF1与圆相切于点E，因为|MF2|＝|F1F2|＝2c，所以△MF1F2为等腰三角形，N为MF1的中点，所以|F1E|＝|MF1|，又因为在直角△F1EO中，|F1E|2＝|F1O|2﹣a2＝c2﹣a2，所以|F1E|＝b＝|MF1|①又|MF1|＝|MF2|+2a＝2c+2a②，c2＝a2+b2③由①②③可得c2﹣a2＝（）2，即为4（c﹣a）＝c+a，即3c＝5a，b＝＝＝a，则双曲线的渐近线方程为y＝±x，即为y＝±x．故选：B．【点评】本题考查直线与圆相切，考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，注意运用平面几何的性质，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置.）13．（5分）已知||＝2，是单位向量，且与夹角为60°，则•（﹣）等于3．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】依题意，利用平面向量的数量积即可求得•（﹣）的值．【解答】解：∵||＝2，是单位向量，且与夹角为60°，∴•（﹣）＝﹣•＝4﹣2×1×＝3，故答案为：3．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，掌握平面向量的数量积的运算性质及定义是解决问题的关键，属于中档题．14．（5分）在（2x﹣）5的展开式中，x2的系数为80．【考点】DA：二项式定理．【专题】34：方程思想；4R：转化法；5P：二项式定理．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：（2x﹣）5的展开式中，通项公式T r+1＝（2x）5﹣r＝（﹣1）r25﹣r，令5﹣r＝2，解得r＝2．∴x2的系数＝23＝80．故答案为：80．【点评】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5分）设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为L，P为抛物线上一点，P A⊥L，A为垂足．如果直线AF的斜率为﹣，那么以PF为直径的圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣）2＝4．【考点】J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质．【专题】35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用抛物线的定义，|PF|＝|P A|，设F在l上的射影为F′，依题意，可求得|FF′|，|AF′|，从而可求得点P的纵坐标，代入抛物线方程可求得点P的横坐标，从而可求得|P A|．【解答】解：∵抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，∴|PF|＝|P A|，F（1，0），准线l的方程为：x＝﹣1；设F在l上的射影为F′，又P A⊥l，依题意，∠AFF′＝60°，|FF′|＝2，∴|AF′|＝2，P A∥x轴，∴点P的纵坐标为2，设点P的横坐标为x0，（2）2＝4x0，∴x0＝3，∴|PF|＝|P A|＝x0﹣（﹣1）＝3﹣（﹣1）＝4．故以PF为直径的圆的圆心为（2，），半径为2．以PF为直径的圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣）2＝4故答案为：（x﹣2）2+（y﹣）2＝4．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，考查解三角形的能力，属于中档题．16．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．令b n＝（﹣1）n﹣1，则数列{b n}的前100的项和为．【考点】8E：数列的求和．【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．则：，解得：a1＝1，所以：a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，所以：b n＝（﹣1）n﹣1＝，所以：，＝＝，故答案为：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC＝DC．（Ⅰ）若∠BAD＝60°，求∠ADC的大小；（Ⅱ）若BD＝2DC，且AB＝，求AD的长．【考点】HP：正弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；44：数形结合法；58：解三角形．【分析】（Ⅰ）由已知可求∠DAC＝30°，在△ADC中，由正弦定理可得sin∠ADC＝，即可解得∠ADC＝120°．（Ⅱ）由已知在△ABC中，由勾股定理可得DC＝1，BD＝2，AC＝，令∠ADB＝θ，由余弦定理，即可解得AD的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵∠BAD＝60°，∠BAC＝90°，∴∠DAC＝30°，…1分在△ADC中，由正弦定理可得：，…2分∴sin∠ADC＝sin∠DAC＝，…3分∴∠ADC＝120°，或60°，…4分又∠BAD＝60°，∴∠ADC＝120°…6分（Ⅱ）∵BD＝2DC，∴BC＝3DC，在△ABC中，由勾股定理可得：BC2＝AB2+AC2，可得：9DC2＝6+3DC2，∴DC＝1，BD＝2，AC＝，…8分令∠ADB＝θ，由余弦定理：在△ADB中，AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cosθ，…9分在△ADC中，AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD•cos（π﹣θ），…10分可得：，∴解得：AD2＝2，可得：AD＝…12分【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．（12分）如图，平面四边形ABCD，AB⊥BD，AB＝BC＝CD＝2，BD＝2，将△ABD 沿BD翻折到与面BCD垂直的位置．（Ⅰ）证明：CD⊥面ABC；（Ⅱ）若E为AD中点，求二面角E﹣BC＝A的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）推导出AB⊥面BCD，从而AB⊥CD，再求出AB⊥BC，AB⊥BD，AC⊥CD，由此能证明CD⊥平面ABC．（2）以B为原点，在平面BCD中，过B作BD的垂线为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣BC＝A的大小．【解答】证明：（1）∵平面四边形ABCD，AB⊥BD，AB＝BC＝CD＝2，BD＝2，面ABD⊥面BCD，AB⊥BD，面ABD∩平面BCD＝BD，∴AB⊥面BCD，∴AB⊥CD，又AC2＝AB2+BC2＝8，AD2＝AB2+BD2＝12，AD2＝AC2+CD2＝12，∴AB⊥BC，AB⊥BD，AC⊥CD，∵AC∩AB＝A，∴CD⊥平面ABC．解：（2）AB⊥面BCD，如图以B为原点，在平面BCD中，过B作BD的垂线为x轴，以BD为y轴，以BA为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（0，0，2），C（，0），D（0，2，0），∵E是AD的中点，∴E（0，，1），∴＝（，0），＝（0，，1），令平面BCE的一个法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣1，），∵CD⊥面ABC，∴平面ABC的一个法向量为＝（﹣，0），∴cos＜，＞＝＝，∴二面角E﹣BC＝A的大小为45°．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．19．（12分）某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．（Ⅰ）求六月份这种饮料一天的需求量X（单位：瓶）的分布列，并求出期望EX；（Ⅱ）设六月份一天销售这种饮料的利润为Y（单位：元），且六月份这种饮料一天的进货量为n（单位：瓶），请判断Y的数学期望是否在n＝EX时取得最大值？【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；32：分类讨论；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）由题意知X的可能取值为100，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．（Ⅱ）六月份这种饮料的进货量n满足100≤n≤500，当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝5n﹣3n＝2n，若最高气温位于[20，25），则Y＝5×300+2（n﹣300）﹣3n＝900﹣n，若最高气温低于20，则Y＝5×100+2（n﹣100）﹣3n＝300﹣n，求出E（Y）＝420+0.2n，当n＝500时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元；当100≤n≤300时，若最高气温不低于25，则Y＝5n﹣3n＝2n，若最高气温位于[20，25），则Y＝5n﹣3n ＝2n，若最高气温低于20，则Y＝5×100﹣（n﹣100）﹣300＝300﹣n，E（Y）＝60+1.4n，n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元．由此能求出n＝500时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．【解答】解：（Ⅰ）由题意知X的可能取值为100，300，500，P（X＝100）＝＝0.2，P（X＝300）＝，P（X＝500）＝，∴X的分布列为：X100300500P0.20.40.4E（X）＝100×0.2+300×0.4+500×0.4＝340．（Ⅱ）由题意知六月份这种饮料的进货量n满足100≤n≤500，当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝5n﹣3n＝2n，若最高气温位于[20，25），则Y＝5×300+2（n﹣300）﹣3n＝900﹣n，若最高气温低于20，则Y＝5×100+2（n﹣100）﹣3n＝300﹣n，∴E（Y）＝2n×0.4+（900﹣n）×0.4+（300﹣n）×0.2＝420+0.2n，此时，n＝500时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元，当100≤n≤300时，若最高气温不低于25，则Y＝5n﹣3n＝2n，若最高气温位于[20，25），则Y＝5n﹣3n＝2n，若最高气温低于20，则Y＝5×100﹣（n﹣100）﹣300＝300﹣n，∴E（Y）＝2n×（0.4+0.4）+（300﹣n）×0.2＝60+1.4n，此时，n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为480元，∴n＝340时，Y的数学期望值为：420+0.2×340＝488不是最大值，n＝500时，y的数学期望达到最大值，最大值为520元．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点P（2，1），其左右焦点分别为F1，F2，三角形PF1F2的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知A，B是椭圆C上的两个动点且不与坐标原点O共线，若∠APB的角平分线总垂直于x轴，求证：直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）由题意可得，解得a2＝6，b2＝3，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设直线P A的方程为y+1＝k（x﹣2），联立直线方程和椭圆方程，求得A的横坐标，同理求得B的横坐标，进一步求得A、B的纵坐标的差，代入斜率公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，解得a2＝6，b2＝3，故椭圆C的方程为+＝1，证明（Ⅱ）：设直线AP的斜率为k，则直线BP的斜率为﹣k，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线P A的方程为y+1＝k（x﹣2），即y＝kx+1﹣2k联立，得（1+2k2）x2+4（k﹣2k2）x+8k2﹣8k﹣4＝0．∴2x1＝，即x1＝设直线PB的方程为y+1＝﹣k（x﹣2），同理求得x2＝∴x2﹣x1＝﹣∴y1﹣y2＝k（x1+x2）+2﹣4k＝，∴直线AB的斜率k AB＝＝1，易知l与在两坐标轴的截距绝对值相等且都不为0，∴直线AB与两坐标轴围成的三角形一定是等腰三角形【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2x+mlnx+2，m∈R．（Ⅰ）当m＜1时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证1﹣≤＜1．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】11：计算题；32：分类讨论；4G：演绎法；53：导数的综合应用．【分析】（1）首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的单调性即可；（2）首先确定x1，x2的范围，然后结合题意证明题中的不等式即可．【解答】解：（1）∵，∴，令g（x）＝x2﹣2x+m，∵m＜1，∴△＝4﹣4m＞0，令f’（x）＝0则，当，即m≤0时，令f’（x）＜0则；令f’（x）＞0则．此时函数在上单调递减；在上单调递增．当，即0＜m＜1时，令f’（x）＜0，则；令f’（x）＞0则，此时函数在上单调递减；在和上单调递增．（2）由（1）知，若f（x）有两个极值点，则0＜m＜1且，又x1，x2是x2﹣2x+m＝0的两个根，则，∴，令，则，令h’（t）＜0，则，令h’（t）＞0，则，所以h（t）在上单调递减；在上单调递增．∴，∵，∴h（t）＜1，得证．【点评】本题主要考查导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的极值，利用导数证明不等式的方法等知识，属于中等题．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，不与坐标轴重合的直线l的极坐标方程为θ＝θ0（ρ∈R），设l与曲线C1，C2异于极点的交点分别为A，B．（Ⅰ）当θ0＝时，求|AB|；（Ⅱ）求AB中点轨迹的直角坐标方程．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】11：计算题；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）用直线l的极坐标方程分别代入C1，C2的极坐标方程，再根据极径的几何意义可得；（Ⅱ）先求出AB的中点的轨迹的极坐标方程，再化成直角坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）当θ0＝时，联立得A（﹣2，）；同理得B（2，），由极径的几何意义有|AB|＝2﹣（﹣2）＝2+2．（Ⅱ）由已知令P（ρ，θ），A（ρ1，θ），B（ρ2，θ），∵ρ1＝4cosθ，ρ2＝4sinθ，P为AB的中点，∴ρ＝＝2cosθ+2sinθ，即ρ2＝2ρcosθ+2sinθ，所以P点的轨迹的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y＝0，因为直线l不与坐标轴重合，所以需去掉（1，0），（0，）．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣3|．（Ⅰ）在给出的直角坐标系中画出函数f（x）的图象；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥|x﹣m|的解集包含[4，5]，求m的取值范围．。

2019年呼和浩特市高三年级第二次质量普查调研考试文科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由指数函数的性质得到集合，根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由指数函数的性质，可得集合，又由，所以，故选B.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，以及指数函数的性质的应用，其中解答中根据指数函数的性质，准确求解集合B是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.2.瑞士著名数学家欧拉发现公式（为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.特别是当时，被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】令，则，又由，根据复数的表示，即可得到答案.【详解】由题意，根据公式（为虚数单位），令，则，又由，所以复数表示的点位于第一象限，故选A.【点睛】本题主要考查了复数的表示，以及三角函数的符号的应用，其中解答中合理赋值，根据复数的几何意义及复数的表示求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3.已知向量，，若与互相垂直，则（）A. 0B.C.D.【答案】D【解析】【分析】写出的坐标，利用两个向量垂直的条件计算可得答案.【详解】若与互相垂直,则2-m+4m+6=0,解得，故选：D【点睛】本题考查两个向量垂直的坐标运算，属于基础题.4.已知直线的倾斜角为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由直线方程可得tan，由正弦的二倍角公式和同角三角函数关系式计算可得答案.【详解】直线的倾斜角为,可得斜率k=tan则，故选：B【点睛】本题考查直线的斜率和倾斜角的关系，考查正弦的二倍角公式的应用，考查齐次式的计算，属于基础题.5.函数，那么的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的解析式，令，则，即可求解.【详解】由题意，函数，令，则，故选C.【点睛】本题主要考查了函数值的求解，以及特殊角的三角函数值的应用，其中解答中合理赋值，根据特殊角的三角函数求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.6.已知双曲线与双曲线有相同的离心率，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由双曲线方程可知k>0,分别写出曲线和的离心率，由离心率相等可得k值，从而得到渐近线方程. 【详解】由双曲线方程可知k>0,双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，由题意得=，解得k=6, 双曲线，则渐近线方程为，故选：B【点睛】本题考查双曲线的离心率公式的应用，考查渐近线方程的求法，属于基础题.7.一个盒子里装有标号为1-6的6个大小和形状都相同的小球，其中1到4号球是红球，其余两个是黄球，若从中任取两个球，则取的两个球颜色不同，且恰有1个球的号码是偶数的概率是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】6个球中任取两个球的种数为15种，满足条件的有4种，由古典概型概率公式可得答案.【详解】盒子里装有标号为1-6的6个大小和形状都相同的小球，其中1到4号球是红球，5,6号是黄球，从中任取两个球,有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56，共15种情况，恰有1个球的号码是偶数有16,25,36,45共有4种情况，故所求概率P=．故选：D【点睛】本题考查古典概型的概率公式的应用，属于基础题.8.设，若，则实数是（）A. 1B. -1C. D. 0 【答案】B【解析】【分析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.【详解】解得a=-1,故选：B【点睛】本题考查分段函数函数值的计算，解决策略:(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2) 求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则.9.执行如图所示的程序框图，如果输出S＝3，那么判断框内应填入的条件是 ( )A. B. C. D.【答案】C【解析】根据程序框图，运行结果如下：S k第一次循环 log23 3第二次循环 log23•log34 4第三次循环 log23•log34•log45 5第四次循环 log23•log34•log45•log56 6第五次循环 log23•log34•log45•log56•log67 7第六次循环 log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7．故答案为：k≤7故答案为：C.10.用半径为，圆心角为的扇形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设圆锥的底面半径为rcm,根据底面圆的周长即扇形的弧长求出半径r,利用勾股定理可得答案.【详解】设圆锥的底面半径为rcm，由题意底面圆的周长即扇形的弧长，可得2πr=即底面圆的半径为1，.所以圆锥的高,故选：B【点睛】本题考查圆锥侧面展开图的应用，圆锥侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.11.已知函数，把函数的图象向右平移个单位，再把图象上各点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，方程恰有两个不同的实根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用辅助角公式，化简得到函数的解析式，再根据三角函数的图象变换，得到函数的解析式，再把方程恰好有两个不同的实数解，转化为与有两个不同的交点，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由题意，根据辅助角公式，可得函数，把函数的图象向右平移个单位，得到，再把函数图象上各点的横坐标缩小到原来的一半，得到函数，因为，则，令，解得，即函数在上单调递增，令，解得，即函数在上单调递减， 且，要使得方程恰好有两个不同的实数解，即与有两个不同的交点，结合图象，可得实数的取值范围是，即.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，以及三角函数的图象变换与三角恒等变换的应用，其中解答中合理利用三角函数的图象与性质，把方程恰好有两个不同的实数解，转化为与有两个不同的交点是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.12.过坐标轴上一点作圆的两条切线，切点分别为、.若，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】过点M 作圆C 的两条切线MA 和MB ，切点分别为A 和B ，分别连接CA 、CB 、CM 、AB ，根据圆的性质可得，要使得，则满足，列出不等式，即可求解.【详解】根据题意，画出图形，如图所示，由圆，可得圆心坐标，半径，过点M作圆C的两条切线MA和MB，切点分别为A和B，分别连接CA、CB、CM、AB，根据圆的性质可得，当，因为，所以为等腰直角三角形，所以,又由，所以，所以，所以，要使得，则满足，即，整理得，解得或，即的取值范围是，故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中根据题意得出时，使得，进而得出要使得，则满足，利用两点间的距离公式，列出不等关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡的相应位置.）13.若函数的图象在点处的切线平行于轴，则________.【答案】【解析】【分析】求函数的导数，可得切线斜率，由切线平行x轴，得到斜率为0，可得t值.【详解】可得函数在x=-1处的切线斜率为2+2t,由切线平行于轴，可得解得t=-1,故答案为：-1【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题.14.已知，满足不等式，则最大值为________.【答案】11【解析】【分析】作出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，求得目标函数的最大值，即可得到答案.【详解】由题意，作出不等式组所表示的平面区域，如图所示，又由目标函数，可化为直线，当直线过点A时，目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．15.已知四棱锥，底面为边长为4的正方形，垂直于底面，若四棱锥外接球的表面积和外接球的体积数值相等，四棱锥的体积为________.【答案】【解析】【分析】棱锥的外接球即为所对应长方体的外接球，由外接球的表面积和体积相等,可求R,设PA=a，由外接球的直径为长方体的体对角线，可得a值，再利用棱锥体积公式可得结果.【详解】四棱锥的底面为边长为4的正方形且垂直于底面，则棱锥的外接球即为所对应长方体的外接球，外接球的直径为长方体的体对角线，设PA=a,外接球的半径为R,则16+16+,由外接球的表面积和体积相等，即,解得R=3,即32+，解得a=2,则四棱锥的体积V=,故答案为：【点睛】本题考查棱锥外接球问题，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两两垂直则用（a,b,c为三棱的长）；②若面ABC（SA=a），则（r为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球.16.已知，，分别为三个内角，，的对边，若，，的面积为，则的值等于________.【答案】【解析】【分析】根据三角形的面积公式，求得，利用余弦定理求得，再根据正弦定理，即可求解的值，得到答案.【详解】在中，因为，所以，又由的面积为，且，所以，解得，由余弦定理可得，解得，又由正弦定理得.【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.设是等比数列的前项和.已知，，成等差数列，.（1）求数列的通项公式；（2）设.若，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，根据，，成等差数列，求得，再由，求得，即可得到等比数列的通项公式；（2）由（1），得到，利用裂项法，即可求解数列的前n项和.【详解】（1）设等比数列的公比为，由题意知，即，即，解得：，又由，解得，所以（2）由（1），所以所以，数列的前项和为.【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.18.在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，，，，，为的中点.（1）平面平面（2）求点到平面的距离【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)由题目中的数据结合勾股定理可得，又，可证得平面，从而得到证明；（2）利用计算可得结果.【详解】（1）在菱形中，为的中点，则又由已知，，则，故又且，则平面又因为平面所以，平面平面（2）由题设，连接，在中，，在中，，在中，由余弦定理,所以的面积：的面积：设点到平面的距离为则三棱锥的体积：,解得：【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，考查利用等体积思想求点到面的距离问题，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题.19.某学校现有学生800名，其中200名学生参加过短期实习（称为组学生），另外600名学生参加过长期实习（称为组学生），从该学校的学生中按分层抽样共抽查了80名学生，调查他们的学习能力得到组学生学习能力的茎叶图，组学生学习能力的频率分布直方图.（1）问组、组学生各抽查了多少学生，并求出直方图中的；（2）求组学生学习能力的中位数，并估计组学生学习能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若规定学习能力在内为能力优秀，由以上统计数据在答题卡上完成下面的列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为学习能力与实习时间长短有关.能力与实习时间列联表【答案】（1）0.027；（2）见解析(3)见解析【解析】【分析】（1）由分层抽样可得组抽查人数20名，B组抽查60名，由频率分布直方图的频率和为1可得x值；（2）茎叶图中根据中位数的定义得结果，频率分布直方图中利用每个矩形的底边的中点横坐标与对应的小矩形的面积的乘积，然后作和，可得结果；（3）由公式计算出的观测值，结合临界值表，可得结论.【详解】（1）由茎叶图知组学生中抽查人数为20名，组学生中应抽查（名）,由频率分布直方图得，得.（2）由茎叶图知组学生学习能力的中位数为121由（1）及频率分布直方图，估计组学生学习能力的平均数为（3）由（1）及所给数据得能力与实习的2×2列联表，由上表得因此，可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为学习能力与实习时间长短有关.【点睛】本题考查频率分布直方图和独立性检验的应用，考查学生的分析与计算能力，属于基础题.20.已知椭圆的一个焦点与的焦点重合且点为椭圆上一点（l）求椭圆方程；（2）过点任作两条与椭圆相交且关于对称的直线，与椭圆分别交于、两点，求证：直线的斜率是定值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由已知列出关于a和b的等量关系，可得方程；（2）写出直线AP和直线AQ的方程，将直线AP和直线AQ与椭圆方程联立，得P,Q的横坐标，利用斜率公式和韦达定理进行计算即可得到答案.【详解】（1）抛物线的焦点为，则椭圆的一个焦点为,故把点带入椭圆方程得：解得：所以，椭圆方程为（2）由题意，可设直线的方程为，则直线的方程为设，，则，把直线的方程与椭圆方程联立得：，故同理可得所以所以，直线的斜率是定值【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用和韦达定理以及斜率公式的应用，考查学生的推理和计算能力，属于中档题.21.已知函数.（1）当时，求函数在上的最大值和最小值（2）讨论函数零点的个数.【答案】（1），；（2）见解析【解析】【分析】(1)对函数f(x)求导，写出函数的单调区间，由单调性可得函数的最值；（2）令则，变量分离得构造函数，对函数g(x)求导，判断函数单调性，画出函数的图像，由图像可得结果.【详解】由题设，（1）当时，显然令，得，在上单调递增，令，得，在上单调递减，在上，，，所以，，（2）由（1）知，上单调递减，在上单调递增，令则①当时，，所以不是的零点.当时，①式化为：设，则令得，则在上单调递增，令，得，则在上单调递减，当时，当时，.当时，，且当时，.故的图像如图所以，当时有两个零点，当时，有一个零点【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值和函数的零点个数问题，考查函数单调性的应用，属于中档题.22.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，（l）设为参数，若，求直线的参数方程；（2）已知直线与曲线交于，设，且，求实数的值.【答案】（1）（为参数）；（2）1【解析】【分析】（1）由直线的极坐标方程为，求得，进而由，代入上式得，得到直线的参数方程；（2）根据极坐标与直角坐标的互化，求得，将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，利用根据与系数的关系，列出方程，即可求解.【详解】（1）直线的极坐标方程为即，因为为参数，若，代入上式得，所以直线的参数方程为（为参数）（2）由，得，由，代入，得将直线的参数方程与的直角坐标方程联立，得.（*）则且，，设点，分别对应参数，恰为上述方程的根.则，，，由题设得.则有，得或.因为，所以【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，以及普通方程与参数方程的互化，以及直线参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.23.设函数.（1）当时，求不等式的解集；.（2）对，，，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）当时，分类讨论去掉绝对值，得分段函数，进而可求解不等式的解集. （2）由绝对值的三角不等式，求得，转化为对任意，总有，即，即可求解.【详解】（1）当时，，即，当时，不等式的解集为空集；当时，由，即，解得，所以解集为；当时，不等式恒成立，所以解集为，故不等式的解集为.（2）由已知：，则，对任意，总有，则对任意，总有，即，解得实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及绝对值的三角不等式的应用，其中解答中熟记含绝对值不等式的解法，合理应用绝对值的三角不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.。

第 题： 因为 ∪ = , , ， = , , , ，所以 ∪ = ，选择 .
第 题： 因为
=

−
−
=
=
= − = + ，
+
+ −

所以 ത = − ，选择 .

=
−

=−
，

选择 .
第 题： 动直线经过一个固定点 , − ，圆 的圆心是 , ，半径 = ，当圆心
心到直线 = − − 的距离最大时弦 就最短，设圆心到直线的距离为 ，则

+

=
=+
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难度值
第 题-第 题
第 题： 因为 = , ， = −, ，所以 + = −, + . 再因为 ⊥ + ，
所以 ⋅ + = ，于是
× − + × + =

解得 = − .

第 题： 因为 除 ，得到商是 ，余是 ，所以编号是 的学生是第 组
值， − = − 是极大值，故此选择 .
第 题： 根据三视图，得到的三棱锥如下图所示，其高为 = ，
底面 ∆ 的面积为 ，则



= ⋅ = ⋅ ⋅ = ，


所以三棱锥的体积
=


⋅ ⋅ =
.






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难度值
第 题-第 题
+