课后训练
基础巩固
1．下列命题：
①空集是任何集合的真子集；②若A B ，B C ，则A C ；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④如果凡不属于B 的元素也不属于A ，则A ⊆B .
其中，正确的是( )．
A ．①②
B ．②③
C ．②④
D ．③④
2．下列各式中，正确的个数是( )．
①∅＝{0}；②∅⊆{0}；③∅∈{0}；④0＝{0}；⑤0∈{0}；⑥{1}∈{1,2,3}；⑦{1,2}⊆{1,2,3}；⑧{a ，b }⊆{b ，a }
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜1}，则( )．
A ．A ＝
B B ．A B
C ．B A
D ．A ⊆B
4．若集合A ＝{1, 3，x }，B ＝{x 2,1}，且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数是( )．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．集合A ＝{1,2,3}的真子集的个数为( )．
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
6．已知集合M ＝{x |5＜x ＜10}，集合P ＝{x |x ＜m ＋1}，且M ⊆P ，则实数m 的取值范围是( )．
A ．m ≥9
B ．m ＞9
C ．m ≥4
D ．m ＞4
能力提升
7．集合,+=5p A t t p q p q q +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭
N 其中，且，的所有真子集个数为( )． A ．3 B ．7 C ．15 D ．31
8．已知集合,3k A x x k ⎧
⎫==∈⎨⎬⎩⎭Z ，,6k B x x k ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭
Z ，则( )． A ．A B B ．A B
C ．A ＝B
D ．A 与B 无公共元素
9．设A 是非空集合，对于k ∈A ，如果1A k
∈，那么称集合A 为“和谐集”，在集合111,0,,,1,2,3,432M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭
的所有非空子集中，是和谐集的集合的个数为( )． A ．3 B ．7 C ．15 D ．31
10．设含有4个元素的集合的全部子集数为S ，其中由2个元素组成的子集数为T ，则T S
的值为________． 11．已知三元素集合A ＝{x ，xy ，x －y }，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，求x 与y 的值．
12．已知A ＝{x ||2x －3|＜a }，B ＝{x ||x |≤10}，且A B ，求实数a 的取值范围．
13．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ，x ∈R }至多有一个真子集，求a 的取值范围．
14．若不等式x －10＞0或x ＋2＜0成立时，不等式x －m ＞1或x ＋m ＜1(m ＞0)不恒成
立，且若不等式x－m＞1或x＋m＜1(m＞0)成立时，不等式x－10＞0或x＋2＜0成立，求实数m的取值范围．
参考答案
1．C 点拨：①错误，∅∅不成立；②正确，真子集满足传递性；③错误，空集的子集只有它本身；④正确，画出Venn 图可直观地看出集合A 与B 的关系为A ⊆B .
2．D 点拨：由集合的性质以及元素与集合、集合与集合的关系可知正确的有②⑤⑦⑧.
3．C 点拨：将集合A ，B 的元素在数轴上表示出来(如图)，显然，B 中元素都在A 中，
而A 中元素不都在B 中，由真子集的定义知B 是A 的真子集，即B A .
4．C 点拨：由B ⊆A 可知，集合B 中的元素都在集合A 中，所以x 2＝3或x 2＝x ，解
得x =x ＝0或x ＝1.当x ＝1时，不满足集合中元素的互异性，故舍去．所以实数x 的值有3个．
5．B 点拨：23－1＝7.
6．A 点拨：由M ⊆P ，将集合M ，P 在数轴上表示出来(如图)，显然有m ＋1≥10成立，所以m ≥9.
7．C 点拨：123
4,,,432
1A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，真子集的个数为24－1＝15. 8．A 点拨：∵2,6k A x x k ⎧⎫==∈⎨⎬⎩
⎭Z ，,6k B x x k ⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭
Z ， ∴A B . 9．C 点拨：由和谐集的定义知，该集合中可以含有元素－1，1，
13和3，12和2，所以共有和谐集的集合的个数为24－1＝15.
10．38
点拨：含有4个元素的集合的全部子集数S ＝24＝16，其中由2个元素组成的子集数T ＝6，则63168
T S ==. 11．解：∵0∈B ，A ＝B ，∴0∈A .∵x ≠xy ，∴x ≠0.又∵0∈B ，y ∈B ，∴y ≠0，从而x －y ＝0，x ＝y ，此时A ＝{x ，x 2,0}，B ＝{0，|x |，x }，
∴x 2＝|x |，则x ＝0(舍去)或x ＝1(舍去)或x ＝－1.
经检验：x ＝－1，y ＝－1.
12．解：B ＝{x |－10≤x ≤10}，
当A B 时，A ＝∅或A ≠∅.
①若A ＝∅，显然a ≤0.
②若A ≠∅，则33,022a a A x x a ⎧-+⎫=<<>⎨⎬⎩⎭
.
∵A B ，∴310,2310,2
a a -⎧≥-⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩， 解得a ≤17，此时0＜a ≤17.
综上可知，实数a 的取值范围是a ≤17.
13．解：集合A 至多有一个真子集，则集合A 可能有一个真子集，可能无真子集，故分两种情况．
(1)当A 无真子集时，A ＝∅，故关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0无实根，
∴a ≠0且Δ＝4－4a ＜0，即a ＞1.
(2)当A 只有一个真子集时，A 为单元素集，这时有两种情况：
①当a ＝0时，2x ＋1＝0，∴12x =-，12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭
符合题意． ②当a ≠0时，Δ＝4－4a ＝0，∴a ＝1，此时x ＝－1，A ＝{－1}，符合题意． 综上知a 的取值范围是a ≥1或a ＝0.
14．解：设不等式x －10＞0或x ＋2＜0的解集为A ，不等式x －m ＞1或x ＋m ＜1(m ＞0)的解集为B ，即A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}，B ＝{x |x ＞m ＋1或x ＜1－m ，m ＞0}．
依题意得：当x ∈B 时，x ∈A ，即B ⊆A .
又存在x 0∈A ，使x 0∉B ，则B A .在数轴上作出包含关系图形：
由图可知12,110,m m -≤-⎧⎨+≥⎩即3,9,m m ≥⎧⎨≥⎩∴m ≥9. ∴所求实数m 的取值范围为m ≥9.
点拨：把不等式的问题转化为两个集合的子集关系问题，利用数轴作出包含关系图形，可清晰地看到实数m 满足的条件．
