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高考数学常考知识点之概率与统计

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高考数学常考知识点之概率与统计

考试内容：

抽样方法.总体分布的估计．

总体期望值和方差的估计．

考试要求：

（1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样．

（2）会用样本频率分布估计总体分布．

（3）会用样本估计总体期望值和方差．

§12. 概率与统计 知识要点

一、随机变量.

1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：

①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.

它就被称为一个随机试验.

2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则ba也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(xf是连续函数或单调函数，则)(f也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.

设离散型随机变量ξ可能取的值为：,,,,21ixxx

ξ取每一个值),2,1(1ix的概率iipxP)(，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

 1x 2x … ix …

P 1p 2p … ip …

有性质①,2,1,01ip； ②121ippp.

注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.

3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：knkknqpCk)P(ξ[其中pqnk1,,,1,0]

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B（n·p），其中n，p为参数，并记p)nb(k;qpCknkkn.

⑵二项分布的判断与应用.

①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.

4. 几何分布：“k”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为kA，事A不发生记为q)P(A,Akk，那么)AAAAP(k)P(ξk1k21.根据相互独立事件的概率乘法分式：))P(AAP()A)P(AP(k)P(ξk1k21),3,2,1(1kpqk于是得到随机变量ξ的概率分布列.

 1 2 3 … k …

P q qp pq2 … pq1k …

我们称ξ服从几何分布，并记pqp)g(k,1k，其中3,2,1.1kpq

5. ⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取)Nnn(1件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为)MNknM,0k(0CCCk)P(ξnNknMNkM.〔分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定m＜r时0Crm，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕

⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为n.,0,1,kCCCk)P(ξnbaknbka.

⑶超几何分布与二项分布的关系.

设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数的分布列可如下求得：把ba个产品编号，则抽取n次共有nba)(个可能结果，等可能：k)(η含knkknbaC个结果，故n,0,1,2,k,)baa(1)baa(Cb)(abaCk)P(ηknkknnknkkn，即～)(baanB.[我们先为k个次品选定位置，共knC种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，k)P(ηk)P(ξ，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.

二、数学期望与方差.

1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

 1x 2x … ix …

P 1p 2p … ip …

则称nnpxpxpxE2211为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.

2. ⑴随机变量ba的数学期望：baEbaEE)(

①当0a时，bbE)(，即常数的数学期望就是这个常数本身.

②当1a时，bEbE)(，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.

③当0b时，aEaE)(，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.

⑵单点分布：ccE1其分布列为：cP)1(.

⑶两点分布：ppqE10，其分布列为：（p + q

= 1）

⑷二项分布：npqpknknkEknk)!(!! 其分布列为～),(pnB.（P为发生的概率） ξ 0 1

P q p ⑸几何分布：pE1 其分布列为～),(pkq.（P为发生的概率）

3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()(kpxPkk时，则称nnpExpExpExD2222121)()()(为ξ的方差. 显然0D，故.D为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.D越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.．

4.方差的性质.

⑴随机变量ba的方差DabaDD2)()(.（a、b均为常数）

⑵单点分布：0D 其分布列为pP)1(

⑶两点分布：pqD 其分布列为：（p + q = 1）

⑷二项分布：npqD

⑸几何分布：2pqD

5. 期望与方差的关系.

⑴如果E和E都存在，则EEE)(

⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则DDDEEE)(,)(

⑶期望与方差的转化：22)(EED ⑷)()()(EEEEE（因为E为一常数）0EE.

三、正态分布.（基本不列入考试范围）

1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间),[ba内的概率等于它与x轴.直线ax与直线bx所围成的曲边梯形的面积

（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为

图像的函数)(xf叫做ξ的密度函数，由于“),(x”

是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.

2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：222)(21)(xexf. （,,Rx为常数，且0），称ξ服从参数为,的正态分布，用～),(2N表示.)(xf的表达式可简记为),(2N，它的密度曲线简称为正态曲线.

⑵正态分布的期望与方差：若～),(2N，则ξ的期望与方差分别为：2,DE.

⑶正态曲线的性质.

①曲线在x轴上方，与x轴不相交.

②曲线关于直线x对称.

③当x时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.

④当x＜时，曲线上升；当x＞时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.

⑤当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越ξ 0 1

P q p

▲yxaby=f(x)小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.

3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为)(21)(22xexx，则称ξ服从标准正态分布. 即～)1,0(N有)()(xPx，)(1)(xx求出，而P（a＜ξ≤b）的计算则是)()()(abbaP.

注意：当标准正态分布的)(x的X取0时，有5.0)(x当)(x的X取大于0的数时，有5.0)(x.比如5.00793.0)5.0(则5.0必然小于0，如图.

⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若～),(2N则ξ的分布函数通

常用)(xF表示，且有)σμx(F(x)x)P(ξ.

4.⑴“3”原则.

假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布),(2N.②确定一次试验中的取值a是否落入范围)3,3(.③做出判断：如果)3,3(a，接受统计假设. 如果)3,3(a，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.

⑵“3”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布),(2N则 ξ落在)3,3(内的概率为99.7％ 亦即落在)3,3(之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.

▲xya标准正态分布曲线S阴=0.5Sa=0.5+SS

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浙江数学高考必考知识点

浙江数学高考必考知识点

浙江数学高考必考知识点

作为中国高考最具挑战性的科目之一，数学在浙江高考中占据了重要的地位。无论是理科还是文科学生，都需要充分掌握数学的各个知识点，才能在高考中取得优异的成绩。本文将介绍几个浙江数学高考必考知识点，帮助学生们更好地备考。

一、函数及其应用

函数及其应用是高考数学的重要知识点。首先，学生需要掌握函数的定义和基本性质，包括函数的定义域、值域、奇偶性、周期性等。其次，要能够灵活运用函数的性质，解决实际问题。例如，利用函数关系模型求解最值问题、确定函数的极值点和拐点等。

二、向量与数学建模

向量与数学建模是高考数学中的难点之一。在数学建模中，学生需要学会抽象具体问题，建立合适的数学模型，并通过向量的运算和理论，求解实际问题。要应对这个难点，学生需要熟练掌握向量的定义、运算和性质，了解向量的几何意义以及在平面和空间中的应用。此外，还需要能够运用向量的知识解决静力平衡、碰撞、力的合成等力学问题。

三、概率与统计

概率与统计是高考数学中的常考知识点。学生需要熟悉概率计算的基本方法，包括事件的计算、加法和乘法原理、条件概率、独立性等。此外，还要了解统计学中的描述性统计和推断统计方法，能够对实际问题进行数据的收集、整理、分析和解释。

四、三角函数与解三角形

三角函数与解三角形是高考数学中的重要内容。学生需要掌握正弦、余弦、正切等三角函数的定义、性质和变换。此外，还需要学会利用三角函数解决实际问题，如角度的测量、三角形的面积计算、直角三角形的求解等。解三角形的方法包括利用正弦定理、余弦定理和正弦定理的应用等。

五、导数与微分中值定理

导数与微分中值定理是高考数学的重点内容。学生需要掌握导数的定义、基本运算法则和常用函数的导数，能够解决函数的极值问题、曲线的图像问题和函数的应用问题。微分中值定理是解决函数近似计算和区间估值的重要工具，学生需要熟悉并能够运用该定理解决实际问题。

总之，浙江数学高考的必考知识点涵盖了多个数学分支，在备考过程中需要注重理论的学习与应用能力的培养。希望学生们能够通过系统地学习和练习，掌握这些知识点，为顺利通过浙江高考打下坚实的数学基础。

高考数学概率与统计题型解析与答题技巧

高考数学概率与统计题型解析与答题技巧

高考数学概率与统计题型解析与答题技巧

在高考数学中，概率与统计是一个重要的板块，它不仅考查学生的数学知识和技能，还培养学生的数据分析和推理能力。对于很多同学来说，这部分内容既有一定的挑战性，又充满了得分的机会。下面我们就来详细解析高考数学中概率与统计的常见题型以及相应的答题技巧。

一、概率题型

1、 古典概型

古典概型是概率中最基础的题型之一。它的特点是试验结果有限且等可能。例如，从装有若干个红球和白球的袋子中摸球，计算摸到某种颜色球的概率。

答题技巧：首先，确定总的基本事件数和所求事件包含的基本事件数。然后，利用古典概型的概率公式 P（A）＝ 所求事件包含的基本事件数÷总的基本事件数 进行计算。

2、 几何概型

几何概型与古典概型不同，它的试验结果是无限的。常见的有长度型、面积型、体积型几何概型。比如，在一个区间内随机取一个数，求满足某个条件的概率。 答题技巧：对于几何概型，关键是要正确确定几何度量。例如，长度型就计算长度，面积型就计算面积，体积型就计算体积。然后，按照几何概型的概率公式 P（A）＝ 构成事件 A 的区域长度（面积或体积）÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） 进行求解。

3、 条件概率

条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。题目中通常会给出一些条件，让我们计算在这些条件下的概率。

答题技巧：利用条件概率公式 P（A|B）＝ P（AB）÷P（B） ，先求出 P（AB）和 P（B），再计算条件概率。

4、 相互独立事件与互斥事件

相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响；互斥事件则是指两个事件不能同时发生。

答题技巧：对于相互独立事件，它们同时发生的概率用乘法计算，即 P（AB）＝ P（A）×P（B）；对于互斥事件，它们至少有一个发生的概率用加法计算，即 P（A∪B）＝ P（A）＋ P（B）。

二、统计题型

1、 抽样方法

包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样。题目可能会让我们判断某种抽样方法是否正确，或者根据给定的条件选择合适的抽样方法。 答题技巧：理解三种抽样方法的特点和适用情况。简单随机抽样适用于总体容量较小的情况；分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成；系统抽样适用于总体容量较大且个体之间差异不大的情况。

高考数学统计题知识点

高考数学统计题知识点

高考数学统计题知识点

高考数学中，统计题是一个重要的考查点。统计学是一门研究数据收集、整理、分析和解释的学科，广泛应用于现实生活中的各个领域。掌握好统计学的基本知识点，对于高考数学的考试成绩至关重要。本文将着重介绍高考数学中的统计题知识点。

一、统计学基本概念

统计学是以搜集到的资料为基础，通过整理、分类、总结和推断，对特定问题或现象做出量的描述和质的判断的一门科学。统计学中常用的基本概念有总体、样本、参数和统计量四个概念。

总体是指研究对象的全体，样本是指从总体中抽取的一部分个体，参数是用来描述总体特征的数字指标，统计量是用来描述样本特征的数字指标。在解决实际问题时，常根据样本统计量去估计参数。

二、频数和频率

频数指的是某个数据出现的次数，而频率是指该数据出现的次数与总数据量之比。频率通过将频数除以总数得到，常用百分比表示。

统计中常用的表示频数和频率的图表有频数分布表和频率分布表，还可以用直方图和饼图等图表形式进行更直观的展示。

三、平均数、中位数和众数 平均数是一组数据的总和除以数据个数，是最常见的用来描述数据集中趋势的统计指标。中位数是将一组数据按大小顺序排序后，处于中间位置的数值。众数是指一组数据中出现次数最多的数值。

平均数适合描述整体数据的集中趋势，中位数在极端值较多时更为稳定，而众数则最为适合描述数据中的典型值。

四、标准差和离散系数

标准差是用来衡量一组数据的离散程度的指标，计算过程中首先要求出每个数据与平均数之差的平方，然后对这些平方值求和，再除以数据个数，并求出其算术平方根。标准差较大表示数据较为分散，标准差较小表示数据较为集中。

离散系数是标准差与平均数之比，用来描述相对离散程度。离散系数大于1表示数据较为分散，离散系数小于1表示数据较为集中。

五、概率和事件

概率是指某个事件发生的可能性，用一个介于0和1之间的数表示。在概率运算中，常用的有加法原理、乘法原理、全概率公式和贝叶斯公式等。

高考数学中的概率统计关键知识点总结

高考数学中的概率统计关键知识点总结

高考数学中的概率统计关键知识点总结

在高考数学中，概率统计是一个重要的考点之一。学习概率统计并掌握其关键知识点，不仅有助于我们在考试中拿到好成绩，还可以在日常生活中帮助我们更好地理解和运用概率统计知识。本文将总结高考数学中概率统计的关键知识点，希望能对广大考生有所帮助。

一、基本概率知识

概率是指某个事件在所有可能事件中发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的小数来表示。在概率计算中，我们需要掌握以下知识点：

1.样本空间和事件：在一个随机试验中，所有可能结果构成的集合称为样本空间。样本空间中的个体称为样本点。事件是样本空间的一个子集，是由若干个样本点组成的。

2.事件的概率：事件A发生的概率P(A)定义为A中样本点数与样本空间中样本点总数之比。

3.互斥事件：如果两个事件A、B没有共同的样本点，则称它们是互斥事件。

4.独立事件：如果两个事件A、B的发生互不影响，则称它们是独立事件。

二、离散型随机变量

离散型随机变量是指只能取一些有限或者可数个值的变量。在学习离散型随机变量时，需要注意以下知识点：

1.随机变量：设X是一个随机变量，其所有可能取值构成一个集合，称为随机变量X的全体取值，简称X的取值集。

2.概率函数：对于离散型随机变量X，其取值集为{x1，x2，...，xn}，其概率函数为f(x)=P(X=xi)，i=1,2,...n。其中，f(x)满足以下两个条件：非负性，即f(x)>=0；归一性，即sum[f(xi)]=1。

3.数学期望：对于离散型随机变量X，其数学期望定义为：E(X)=sum[xi*f(xi)], i=1,2,...,n。

三、连续型随机变量

连续型随机变量是指可以取得任意一个实数的变量。学习连续型随机变量时，有以下知识点需要注意：

1.概率密度函数：对于连续型随机变量X，其概率密度函数f(x)满足以下两个条件：非负性，即f(x)>=0；积分为1，即integral(f(x))dx=1。