立体几何与空间向量知识点归纳总结
一、立体几何知识点
1、柱、锥、台、球的结构特征
（1）棱柱的定义：有两个面是对应边平行的全等多边形，其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边都平行，由这些面围成的几何体叫棱柱。
棱柱的性质：侧面都是平行四边形；侧棱都平行，侧棱长都相等。
直棱柱：侧棱垂直底面的棱柱叫直棱柱。
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱。
（2）棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体叫棱锥。
棱柱的性质：平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面的距离与高的比。
（3）棱台的定义：用平行于底面的平面截棱锥，截面与底面的部分叫棱台。
棱台的性质：①上下底面平行且是相似的多边形；②侧面是梯形；③侧棱交于原棱锥的顶点。
（4）圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所围成的几何体叫圆柱。
圆柱的性质：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所围成的几何体叫圆锥。
圆锥的性质：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台的定义：以直角梯形的垂直于底边的腰为旋转轴,旋转一周所围成的几何体叫圆台。
圆台的性质：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇环形。
（7）球体的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形围成的几何体叫球。
球的性质：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
2、柱体、锥体、台体的表面积与体积
（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积之和。
（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'
h 为斜高，l 为母线）
ch S =直棱柱侧面积
rh
S π2=圆柱侧
'2
1
ch S =
正棱锥侧面积 rl
S π=圆锥侧面积
')(2
1
21h c c S +=
正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表
（3）柱体、锥体、台体的体积公式
V Sh =柱 2V Sh r h π==圆柱 13
V Sh =锥 h r V 23
1π=圆锥
'1
()3
V S S h =+台 '2211()()33V S S h r rR R h π=++=++圆台
（4）球体的表面积和体积公式：V 球=343
R π ； S 球面=24R
π
3、平面及基本性质
公理1 ααα⊂⇒∈∈∈∈l B A l B l A ,,, 公理2 若βα∈∈P P ,,则a =⋂βα且α∈P
公理3 不共线三点确定一个平面（推论1直线和直线外一点,2两相交直线,3两平行直线）
4、空间两直线的位置关系
共面直线：相交、平行（公理4） 异面直线 5、异面直线
（1）对定义的理解：不存在平面α，使得α⊂a 且α⊂b （2）判定：反证法（否定相交和平行即共面） 判定定理：15P
★（3）求异面直线所成的角：①平移法 即平移一条或两条直线作出夹角，再解三角形.
②向量法 |
||||,cos |cos b a b a =
><=θ （注意异面直线所成角的范围]
2
,
0(π
（4）证明异面直线垂直，①通常采用三垂线定理及逆定理或线面垂直关系来证明；
②向量法 0=⋅⇔⊥b a b a
（5）求异面直线间的距离：大纲仅要求掌握已给出公垂线或易找出公垂线的有关问题计算.
6、 直线与平面的位置关系
1、直线与平面的位置关系
A a a a =⋂⊂ααα,//,
2、直线与平面平行的判定
（1）判定定理: ααα////b a a b b ⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
⊂⊄ (线线平行，则线面平行17P )
（2）面面平行的性质：
βαβα////a a ⇒⎭
⎬⎫
⊂ (面面平行，则线面平行) 3、直线与平面平行的性质
b a b a a //,//⇒⎭
⎬⎫
=⋂⊂βαβα (线面平行，则线线平行18P )
★4、直线与平面垂直的判定 （1）直线与平面垂直的定义的逆用
a l a l ⊥⇒⎭
⎬⎫
⊂⊥αα, （2）判定定理：αα⊥⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
=⋂⊂⊥⊥l A n m n m n l m l ,, （线线垂直，则线面垂直23P ）
（3）
αα⊥⇒⎭
⎬⎫
⊥a b b a // （25P 练习 第6题） （4）面面垂直的性质定理：βαβαβα⊥⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫
⊥⊂=⋂⊥a l a a l , （面面垂直，则线面垂直51P ）
（5）面面平行是性质：βαβα⊥⇒⎭
⎬⎫
⊥l l // 5、射影长定理
★6、三垂线定理及逆定理 线垂影⇔线垂斜
7、 两个平面的位置关系：空间两个平面的位置关系 相交和平行
8、两个平面平行的判定 （1）判定定理：βαβα
α//,,//,//⇒⎭
⎬⎫
=⋂P b a b a b a （线线平行，则面面平行19P ）
（2）
βαβα//⇒⎭
⎬⎫
⊥⊥l l 垂直于同一平面的两个平面平行 （3）βαγβγα////,//⇒ 平行于同一平面的两个平面平行 （21P 练习 第2题） 9、两个平面平行的性质
（1）性质1：βαβα//,//a a ⇒⊂
（2）面面平行的性质定理： b a b a //,//⇒⎭
⎬⎫
=⋂=⋂γβγαβα （面面平行，则线线
平行20P ）
