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步步高第一章 1.3

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§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假关系表 p q p∧q p∨q 綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 2.全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个、任给等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 ∃ 3.全称命题和特称命题 命题名称 命题结构 命题简记 全称命题 对M中任意一个x，有p(x)成立 ∀x∈M，p(x) 特称命题 存在M中的一个x0，使p(x0)成立 ∃x0∈M，p(x0) 4.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，綈p(x0)

∃x0∈M，p(x0)

∀x∈M，綈p(x)

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．( × ) (2)已知命题p：∃n0∈N,02n>1000，则綈p：∃n∈N,02n≤1000.( × ) (3)命题p和綈p不可能都是真命题．( √ ) (4)命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∀x∈R，x2<0”．( × ) (5)“有些偶数能被3整除”的否定是“所有的偶数都不能被3整除”．( √ ) (6)命题“∃x0∈R,02x≤0”是假命题．( √ ) 1．命题p：∀x∈R，sinx<1；命题q：∃x∈R，cosx≤－1，则下列结论是真命题的是( ) A．p∧q B．綈p∧q C．p∨綈q D．綈p∧綈q 答案 B 解析 ∵p是假命题，q是真命题， ∴綈p∧q是真命题． 2．(2013·重庆)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为( ) A．对任意x∈R，都有x2<0 B．不存在x∈R，使得x2<0 C．存在x0∈R，使得x20≥0 D．存在x0∈R，使得x20<0 答案 D 解析 因为“∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x0∈M，綈p(x0)”，故“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，使得x20<0”． 3．(2014·重庆)已知命题 p：对任意x∈R，总有2x>0； q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件． 则下列命题为真命题的是( ) A．p∧q B．綈p∧綈q C．綈p∧q D．p∧綈q 答案 D 解析 因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、綈p为假命题，綈q为真命题，綈p∧綈q、綈p∧q为假命题，p∧綈q为真命题，故选D. 4．若命题“∃x∈R，x2－mx－m<0”是假命题，则实数m的取值范围是________． 答案 [－4,0] 解析 “∃x∈R，x2－mx－m<0”是假命题，则“∀x∈R，x2－mx－m≥0”是真命题．即Δ＝m2＋4m≤0， ∴－4≤m≤0.

题型一 含有逻辑联结词命题的真假判断 例1 (1)命题p：将函数y＝sin2x的图象向右平移π3个单位得到函数y＝sin2x－π3的图象；命

题q：函数y＝sinx＋π6cosπ3－x的最小正周期为π，则命题“p∨q”“p∧q”“綈p”中真命题的个数是( ) A．1B．2C．3D．0 (2)已知命题p：若a>1，则ax>logax恒成立；命题q：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q是an

＋am＝ap＋aq的充分不必要条件(m，n，p，q∈N*)．则下面选项中真命题是( )

A．(綈p)∧(綈q) B．(綈p)∨(綈q) C．p∨(綈q) D．p∧q 答案 (1)B (2)B 解析 (1)函数y＝sin2x的图象向右平移π3个单位后，

所得函数为y＝sin2x－π3＝sin2x－2π3， ∴命题p是假命题． 又y＝sinx＋π6cosπ3－x

＝sinx＋π6cosπ2－x＋π6 ＝sin2x＋π6＝12－12cos2x＋π3， ∴其最小正周期为T＝2π2＝π， ∴命题q真． 由此，可判断命题“p∨q”真，“p∧q”假，“綈p”为真． 所以真命题的个数是2. (2)当a＝1.1，x＝2时， ax＝1.12＝1.21，logax＝log1.12>log1.11.21＝2， 此时，ax命题q，由等差数列的性质， 当m＋n＝p＋q时，an＋am＝ap＋aq成立， 当公差d＝0时，由am＋an＝ap＋aq不能推出m＋n＝p＋q成立，故q是真命题． 故綈p是真命题，綈q是假命题， 所以p∧q为假命题，p∨(綈q)为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题，(綈p)∨(綈q)为真命题． 思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤： (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p、q的真假； (3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假． (1)(2014·湖南)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是( ) A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ (2)“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的________条件． 答案 (1)C (2)必要不充分 解析 (1)当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题． 当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题． 由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题．故选C. (2)若命题“p或q”为真命题，则p、q中至少有一个为真命题． 若命题“p且q”为真命题，则p、q都为真命题， 因此“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件． 题型二 含有一个量词的命题的真假判断与否定 例2 (1)下列命题中的假命题是( )

A．∃x∈R，lnx＝0 B．∃x∈R，tanx＝π2 C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R,3x>0 (2)(2013·四川)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则( ) A．綈p：∀x∈A,2x∉B B．綈p：∀x∉A,2x∉B C．綈p：∃x∉A,2x∈B D．綈p：∃x∈A,2x∉B 思维点拨 含一个量词的命题的否定要改变量词，并对结论进行否定． 答案 (1)C (2)D

解析 (1)当x＝1时，lnx＝0，所以排除A；因为y＝tanx∈R，所以命题“∃x∈R，tanx＝π2”为真命题，所以排除B；命题“∀x∈R,3x>0”为真命题，所以排除D.应选C. (2)命题p：∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为∃x∈A,2x∉B，选D. 思维升华 (1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p(x0)成立． (2)对全(特)称命题进行否定的方法 ①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词． ②对原命题的结论进行否定． (1)下列命题中的真命题是( ) A．∃x∈R，使得sinx＋cosx＝32 B．∀x∈(0，＋∞)，ex>x＋1 C．∃x∈(－∞，0)，2x<3x D．∀x∈(0，π)，sinx>cosx (2)命题“存在实数x，使x>1”的否定．．是( ) A．对任意实数x，都有x>1 B．不存在实数x，使x≤1 C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1 答案 (1)B (2)C

解析 (1)因为sinx＋cosx＝2sin(x＋π4)≤2<32，故A错误；当x<0时，y＝2x的图象在y＝3x

的图象上方，故C错误；因为x∈(0，π4)时有sinx(2)利用特称命题的否定是全称命题求解． “存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C. 题型三 逻辑联结词与命题真假的应用 例3 (1)设p：关于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0}；q：函数y＝ax2－x＋a的定义域为R.若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则实数a的取值范围是________________． (2)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是__________． 答案 (1)0，12∪[1，＋∞) (2)[e,4] 解析 (1)根据指数函数的单调性，可知命题p为真命题时，实数a的取值集合为P＝{a|0对于命题q：函数的定义域为R的充要条件是ax2－x＋a≥0恒成立． 当a＝0时，不等式为－x≥0，解得x≤0，显然不成立； 当a≠0时，不等式恒成立的条件是

 a>0，Δ＝－12－4a×a≤0

，解得a≥12.

所以命题q为真命题时，a的取值集合为Q＝{a|a≥12}． 由“p∨q是真命题，p∧q是假命题”，可知命题p，q一真一假， 当p真q假时，a的取值范围是P∩(∁RQ)＝{a|0

当p假q真时，a的取值范围是(∁RP)∩Q＝{a|a≤0或a≥1}∩{a|a≥12}＝{a|a≥1}． 综上，a的取值范围是0，12∪[1，＋∞)． (2)若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex,得a≥e；由∃x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.

思维升华 以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∧q”“p∨q”“綈p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式(组)求解即可． (1)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是( ) A．{a|a≤－2或a＝1} B．{a|a≥1} C．{a|a≤－2或1≤a≤2} D．{a|－2≤a≤1} (2)命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围为________． 答案 (1)A (2)[－22，22] 解析 (1)由题意知，p：a≤1，q：a≤－2或a≥1， ∵“p且q”为真命题， ∴p、q均为真命题， ∴a≤－2或a＝1. (2)因题中的命题为假命题，则它的否定“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，也就是常见的

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【步步高】高中数学 第一章 习题课课件 新人教A必修1

【步步高】高中数学 第一章 习题课课件 新人教A必修1


研一研·题型解法、解题更高效
跟踪训练 1 设集合 A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1<x<5，
x∈R}．若 A∩B＝∅，则实数 a 的取值范围是
(C )
A．{a|0≤a≤6}
B．{a|a≤2，或 a≥4}
C．{a|a≤0，或 a≥6}
D．{a|2≤a≤4}
解析 A＝{x|a－1<x<a＋1，x∈R}，又 A∩B＝∅，
•8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/192022/1/192022/1/192022/1/19
研一研·题型解法、解题更高效 题型三 集合的交、并、补运算 例 3 设全集为 R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求∁R(A∪B)
及(∁RA)∩B. 解 把全集 R 和集合 A、B 在数轴上表示如下：
研一研·题型解法、解题更高效
题型一 集合的概念 例 1 设集合 A＝{(x，y)|x－y＝0}，B＝{(x，y)|2x－3y＋4＝0}，
则 A∩B＝_{_(_4_,4_)_}__.
解析 由x2－x－y＝3y0＋，4＝0 得xy＝ ＝44， . ∴A∩B＝{(4,4)}． 小结 要解决集合的概念问题，必须先弄清集合中元素的性 质，明确是数集，还是点集等．
试一试·双基题目、基础更牢固
3．设集合 A＝{x|x≤ 13}，a＝ 11，那么
A．a A
B．a∉A
C．{a}∈A
D．{a} A
(D )
试一试·双基题目、基础更牢固
4．设全集 I＝{a，b，c，d，e}，集合 M＝{a，b，c}，N＝{b，d，
e}，那么(∁IM)∩(∁IN)等于
A．∅
【2022高考数学一轮复习(步步高)】目录

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第一章集合、常用逻辑用语、不等式§1.1集合§1.2 充分条件与必要条件§1.3 全称量词与存在量词§1.4 不等关系与不等式§1.5 一元二次不等式及其解法§1.6 基本不等式强化训练1不等式中的综合问题第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1 函数的概念及其表示第1课时函数的概念及其表示第2课时函数的定义域与值域§2.2 函数的基本性质第1课时单调性与最大(小)值第2课时奇偶性、对称性与周期性第3课时函数性质的综合问题§2.3 幂函数与二次函数§2.4 指数与指数函数§2.5 对数与对数函数§2.6 函数的图象§2.7 函数与方程强化训练2函数与方程中的综合问题§2.8 函数模型及其应用第三章导数及其应用§3.1 导数的概念及运算§3.2 导数与函数的单调性§3.3 导数与函数的极值、最值强化训练3导数中的综合问题高考专题突破一高考中的导数综合问题第1课时利用导数研究恒(能)成立问题第2课时利用导函数研究函数的零点第3课时利用导数证明不等式第四章三角函数、解三角形§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式§4.3 简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式第2课时简单的三角恒等变换§4.4 三角函数的图象与性质§4.5 函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用强化训练4三角函数中的综合问题§4.6 解三角形高考专题突破二高考中的解三角形问题第五章平面向量、复数§5.1 平面向量的概念及线性运算§5.2 平面向量基本定理及坐标表示§5.3 平面向量的数量积强化训练5平面向量中的综合问题§5.4 复数第六章数列§6.1 数列的概念与简单表示法§6.2 等差数列及其前n项和§6.3 等比数列及其前n项和强化训练6数列中的综合问题高考专题突破三高考中的数列问题第七章立体几何与空间向量§7.1空间几何体及其表面积、体积强化训练7空间几何体中的综合问题§7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系§7.3 直线、平面平行的判定与性质§7.4 直线、平面垂直的判定与性质强化训练8空间位置关系中的综合问题§7.5 空间向量及其应用高考专题突破四高考中的立体几何问题第八章解析几何§8.1直线的方程§8.2 两条直线的位置关系§8.3 圆的方程§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系强化训练9直线与圆中的综合问题§8.5 椭圆第1课时椭圆及其性质第2课时直线与椭圆§8.6 双曲线§8.7 抛物线强化训练10圆锥曲线中的综合问题高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题第1课时范围与最值问题第2课时定点与定值问题第3课时证明与探索性问题第九章统计与统计案例§9.1 随机抽样、用样本估计总体§9.2 变量间的相关关系、统计案例强化训练11统计中的综合问题第十章计数原理、概率、随机变量及其分布§10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理§10.2 排列、组合§10.3 二项式定理§10.4 随机事件的概率与古典概型§10.5 离散型随机变量的分布列、均值与方差§10.6 二项分布与正态分布高考专题突破六高考中的概率与统计问题。

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修3【配套备课资源】1.3

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研一研·问题探究、课堂更高效
§1.3
第三,在第二步中各正n边形每边上作一高为余径的矩形,把
本 课 时 栏 目 开 关
其面积(S2n－Sn)与相应的正n边形的面积S2n相加,得S2n＋ (S2n－Sn),这样又得到一列递增数:S12＋(S12－S6),S24＋(S24－ S12),S48＋(S48－S24),„,S2m＋(S2m－Sm).
本 课 时 栏 目 开 关
§1.3
跟踪训练 2 用秦九韶算法求多项式 f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋
所以 v0＝7； v1＝7×3＋6＝27； v2＝27×3＋5＝86； v3＝86×3＋4＝262； v4＝262×3＋3＝789； v5＝789×3＋2＝2 369； v6＝2 369×3＋1＝7 108； v7＝7 108×3＝21 324, 故 x＝3 时,多项式 f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x 的
问题2 我们把多项式变形为f(x)＝x2(1＋x(1＋x(1＋x)))＋x ＋1,再统计一下计算当x＝5时的计算的种类及计算次数 分别是什么？
答 从里往外计算仅需4次乘法和5次加法运算即可得出 结果.
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§1.3
本 课 时 栏 目 开 关
小结
这种将求一个5次多项式f(x)的值转化成求5个一次多
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探究点三 问题 1 秦九韶算法的基本思想
§1.3
怎样计算多项式 f(x)＝x5＋x4＋x3＋x2＋x＋1 当 x＝
5 时的值呢？统计所做的计算的种类及计算次数分别是
本 课 时 栏 目 开 关
什么？
答 f(5)＝55＋54＋53＋52＋5＋1＝3 906.根据我们的计算统 计可以得出我们共需要10次乘法运算,5次加法运算.
21-22版：1.3.2　命题的四种形式(步步高)

21-22版：1.3.2　命题的四种形式(步步高)

1.3.2命题的四种形式学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．知识点一四种命题的概念命题“如果p，则(那么)q”是由条件p和结论q组成的，对p，q进行“换位”和“换质”，一共可以构成四种不同形式的命题．(1)原命题：如果p，则q；(2)条件和结论“换位”：如果q，则p，这称为原命题的逆命题；(3)条件和结论“换质”(分别否定)：如果綈p，则綈q，这称为原命题的否命题．(4)条件和结论“换位”又“换质”：如果綈q，则綈p，这称为原命题的逆否命题．知识点二四种命题间的相互关系(1)四种命题间的关系(2)四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性，即两命题等价；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系，即两个命题不等价．1．有的命题没有逆命题．(×)2．两个互逆命题的真假性相同．(×)3．对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有．(√)4．一个命题的四种命题中，真命题的个数一定为偶数．(√)一、四种命题的结构形式例1把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．解(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数．否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数．(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等．逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．反思感悟由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论．跟踪训练1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．二、四种命题的真假判断例2 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假． (1)若a >b ，则ac 2>bc 2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形． 解 (1)逆命题：若ac 2>bc 2，则a >b .真命题． 否命题：若a ≤b ，则ac 2≤bc 2.真命题． 逆否命题：若ac 2≤bc 2，则a ≤b .假命题．(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题． 否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题． 逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题． 反思感悟 若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题． 原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4. 跟踪训练2 下列命题中为真命题的是( ) ①“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零”的否命题； ②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题； ④“若x －2是有理数，则x 是无理数”的逆否命题． A ．①②③④ B ．①③④ C ．②③④ D ．①④ 答案 B解析 ①原命题的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”．故为真命题．②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．故为假命题． ③原命题的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”． ∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m <0，∴m <－14<0.故为真命题．④原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x －2不是有理数”． ∵x 不是无理数，∴x 是有理数．又2是无理数，∴x －2是无理数，不是有理数．故为真命题． 故正确的命题为①③④，故选B. 三、等价命题的应用例3 证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.证明 原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0， 则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”． 若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )，∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )． 即原命题的逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．反思感悟 因为原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的．正确写出原命题的逆否命题是证题的关键．跟踪训练3 判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，则a ≥1”的逆否命题的真假． 解 先判断原命题的真假．因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集， 所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74，a ≥74⇒a ≥1， 所以原命题为真，又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．命题的等价性典例 主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了．”主人听了，随口说了句：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了，主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．请你用逻辑学原理解释二人离去的原因．解 张三走的原因是：“该来的没有来”的逆否命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的．李四走的原因是：“不该走的又走了”的逆否命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的．[素养提升] 逻辑推理是在数学活动中进行交流的基本思维品质，本例是利用原命题与其逆否命题的等价性的逻辑原理，得出相应的合理解释．1．命题“如果a ∉A ，则b ∈B ”的否命题是( ) A ．如果a ∉A ，则b ∉B B ．如果a ∈A ，则b ∉B C ．如果b ∈B ，则a ∉A D ．如果b ∉B ，则a ∉A答案 B解析命题“如果p，则q”的否命题是“如果綈p，则綈q”，“∈”与“∉”互为否定形式．2．命题“若綈p，则q”的逆否命题为()A．若p，则綈q B．若綈q，则綈pC．若綈q，则p D．若q，则p答案 C3．下列命题为真命题的是()A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B．命题“若x＝1，则x2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题答案 A解析对A，即判断：若x>|y|，则x>y的真假，显然是真命题．4．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．答案 4解析逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，全为真命题．5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假．解(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．(2)命题p的否命题是真命题．判断如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题．写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可．。