抽象函数定义域的求法例题

抽象函数的定义域

1、已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域

由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。

2、已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域

方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。

3、已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域

结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。

4、已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域

若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

例1、已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．

解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033

x ∴≤≤． 故函数(35)f x -的定义域为41033

⎡⎤

⎢⎥⎣⎦，． 练习：若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2

1，则)(log 2x f 的定义域为 。 解：依题意知：2log 2

12≤≤x 解之，得：42≤≤x ∴ )(log 2x f 的定义域为{}42|

≤≤x x 例2、已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域．

分析：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域．这种情况下，()f x 的定义域即为复合函数[]()f g x 的内函数的值域。本题中令2

22u x x =-+，则2

(22)()f x x f u -+=，

由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域．

解：由03x ≤≤，得21225x x -+≤≤．令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，15u ≤≤．故

()f x 的定义域为[]15，．

练习： 已知函数的定义域为，则的定义域为________。 解：由，得 所以，故填 例3. 函数定义域是，则的定义域是（ ） A. B. C. D. 解：先求的定义域的定义域是， 即的定义域是，再求的定义域 的定义域是

，故应选A 练习：已知函数f(2x ）的定义域是［-1，1］，求f(log 2x)的定义域.

解 ∵y=f(2x )的定义域是［-1，1］，即-1≤x ≤1,∴21≤2x ≤ 2.

∴函数y=f(log 2x)中21

≤log 2x ≤ 2.即log 22≤log 2x ≤log 24,∴2≤x ≤4.

故函数f(log 2x)的定义域为［2，4］

例4 若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域．

解：由()f x 的定义域为[]35-，，则()x ϕ必有353255x x --⎧⎨

-+⎩，，

≤≤≤≤解得40x -≤≤． 所以函数()x ϕ的定义域为[]40-，． 练习：已知函数的定义域是，求的定义域。 分析：分别求f(x+a)与f(x-a)的定义域，再取交集。

解：由已知，有

，即函数的定义域由确

函数的定义域是 例5 若函数f (x +1)的定义域为[－2

1，2]，求f (x 2)的定义域． 解：先求f (x )的定义域：由题意知－21≤x ≤2，则21＜x ＋1＜3，即f (x )的定义域为[2

1，3]， 再求f [h (x )] 的定义域：

∴ 2

1＜x 2＜3，解得－3＜x ＜－22或22＜x ＜3． ∴f (x 2)的定义域是{x |－3＜x ＜－

22或22＜x ＜3}． 例6、 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x 、

y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm 2. 问

x 、y 分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?

分析：应用题中的定义域除了要使解析式有意义外，还需考虑实际上的有

效范围。实际上的有效范围，即实际问题要有意义，一般来说有以下几中

常见情况：

（1）面积问题中，要考虑部分的面积小于整体的面积；

（2）销售问题中，要考虑日期只能是自然数，价格不能小于0也不能大于

题设中规定的值（有的题没有规定）；

（3）生产问题中，要考虑日期、月份、年份等只能是自然数，增长率要满

足题设；（4）路程问题中，要考虑路程的范围。本题中总面积为

8412=+

=+x xy S S 矩形三角形，由于0>xy ，于是84

12x ，∴x 的取值范围是240<

-=4

8x x -(0

16≥4246+. 当(23+2)x=x

16,即x=8－42时等号成立. 此时, x≈2.343,y=22≈2.828.

故当x 为2.343m,y 为2.828m 时, 用料最省.

变式训练：

13.（2007·北京理，19）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆