数值计算方法作业
实验 三次样条差值函数
实验目的：
掌握三次样条插值函数的三弯矩方法。
实验函数:
dt e
x f x
t ⎰
∞
--
=
2
221)(π
实验内容：
（1） 编程实现求三次样条插值函数的算法，分别考虑不同的边界条件； （2） 计算各插值节点的弯矩值；
（3） 在同一坐标系中绘制函数f(x)，插值多项式，三次样条插值多项式的曲线
比较插值结果。
实验 三次样条差值函数的收敛性
实验目的：
多项式插值不一定是收敛的，即插值的节点多，效果不一定好。对三次样条插值函数如何呢理论上证明三次样条插值函数的收敛性是比较困难的，通过本实验可以证明这一理论结果。
实验内容：
按照一定的规则分别选择等距或非等距的插值节点，并不断增加插值节点的个数。
实验要求：
（1） 随着节点个数的增加，比较被逼近函数和三样条插值函数的误差变化情
况，分析所得结果并与拉格朗日插值多项式比较；
（2） 三次样条插值函数的思想最早产生于工业部门。作为工业应用的例子，考
虑如下例子：某汽车制造商根据三次样条插值函数设计车门曲线，其中一
k
x
012345678910 k
y
k
y'
算法描述：
拉格朗日插值：
其中是拉格朗日基函数，其表达式为：
()
∏
≠
=
-
-
=
n
i
j
j j
i
j
i x
x
x
x
x
l
)
(
)
(
牛顿插值：
)
)...(
)(
](
,...
,
,
[
....
)
)(
](
,
,
[
)0
](
,
[
)
(
)
(
1
1
2
1
1
2
1
1
-
-
-
-
+
+
-
-
+
-
+
=
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
x
f
x
N
其中
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
-
-
=
-
-
=
-
-
=
-
)
/(
])
,...
,
[
]
,...
,
[
(
]
...
,
[
.
.
]
,
[
]
,
[
]
,
,
[
)
(
)
(
]
,
[
1
1
2
1
1
x
x
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
x
f
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
x
f
n
n
n
n
i
k
j
i
k
j
k
j
i
j
i
j
i
j
i
三样条插值：
所谓三次样条插值多项式Sn(x)是一种分段函数，它在节点Xi(a]
,
[
),
6
(
)
6
(
]
6
)
(
[
6
)
(
6
)
(
)
(
1
1
1
1
1
3
1
3
1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
x
h
y
M
h
M
h
h
y
x
M
M
h
h
y
y
h
x
x
Mi
h
x
x
M
x
S
-
-
-
-
-
-
-
∈
-
+
-
+
-
-
-
+
-
+
-
=
式中Mi=)
(
i
x
S''.
因此，只要确定了Mi的值，就确定了整个表达式，Mi的计算方法如下：
