广义全概率公式

全概率公式及其应用(清华大学数学科学系 叶俊)命题趋势: 即使是填空题和选择题，只考单一知识点的试题很少，大多数试题是考查考生的理解能力和综合应用能力。

要求大家能灵活地运用所学的知识，建立起正确的概率模型，综合运用极限、连续函数、导数、极值、积分、广义积分以及级数等知识去解决问题。

1. 全概率公式和Bayes 公式概率论的一个重要内容是研究怎样从一些较简单事件概率的计算来推算较复杂事件的概率，全概率公式和Bayes 公式正好起到了这样的作用。

对一个较复杂的事件A ，如果能找到一伴随A 发生的完备事件组 ,,21B B ，而计算各个i B 的概率与条件概率)|(i B A P 相对又要容易些，这时为了计算与事件A 有关的概率，可能需要使用全概率公式和Bayes 公式。

背景：例如，在医疗诊断中，为了诊断出现症状A 的患者，到底患了疾病B B 12, 中的哪一种，可用Bayes 公式算出在症状A 的情况下，起因于疾病B i 的概率P B A i ()，而后按各个后验概率P B A i ()的大小来推断患者患哪种病的可能性最大．完备事件组的理解：所有病因都知道，且没有并发症。

定义 称事件族 ,,21B B 为样本空间Ω的一个划分（也称 ,,21B B 为一个完备的事件组），如果满足)(j i B B j i≠=φ 且Ω=∞=i i B 1。

进而，如还有,,2,1,0)( =>i B P i 则称 ,,21B B 为样本空间Ω的一个正划分。

一般地，划分可用来表示按某种信息分成的不同情况的总和，若划分越细,则相应的信息更详尽。

定理1 (全概率公式) 设事件...,21B B 为样本空间Ω的一个正划分，则对任何一个事件A ,有)()()(1i i i B A P B P A P ∑∞==定理 2 (Bayes 公式) 设 ,,21B B 为样本空间Ω的一个正划分,事件A 满足P A ()>0, 则)()()()(A P B A P B P A B P i i i =．若将它与全概率公式结合起来, 就是Bayes 公式的以下的常用形式∑==mj j j i i i B A P B P B A P B P A B P 1)()()()()( (+∞≤m , ,2,1=i m )公式的直观理解：如果我们把B i 看成是导致事件A 发生的各种可能“原因”，那么，全概率公式告诉我们，事件A 发生的概率恰好是事件A 在这些“原因”下发生的条件概率的加权平均，其中的权重分别为P B i ()．而已知“结果”找“原因”的问题则可以用Bayes 公式来计算。

10 领域中有着广泛应用。
例题和解答
例3 某地区甲种疾病的发病率为0.0035。现有一种检 验方法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为5%；对 无甲种疾病者用此检验法误诊为甲种疾病患者的概 率为1%。在一次健康普查中，某人经此检验法查为 患有甲种疾病，求此人确实患甲种疾病的概率。
解: 设 A=“患有甲种疾病”， B=“查出有甲种疾病”
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3
P(B) C21 9! 0.2 10!
全概率公式
定理1.4.1 设{B1, B2, , Bn, } 是一个完备事件组，且
P(Bi ) 0, i 1,2, , n, , 则对于任何一个事件A, 有
P( A) P(Bi )P( A| Bi ).
i 1
证明：因为 A A A( Bi ) ABi , 所以
§1.4 全概率公式与贝叶斯公式
§1.4.1 全概率公式 §1.4.2 贝叶斯公式
1
§1.4.1 全概率公式
全概率公式的基本思想：对于计算较复杂事件 的概率，可先把它分成一些互不相容较简单事件 的和，通过分别计算这些较简单事件的概率，再 利用概率的可加性，得到较复杂事件的概率。
2
引例 10张抽奖券中有两张有奖, 甲乙两人先后从中 随机抽取一张。甲先抽, 问乙中奖的概率是多少? 解：设A=“乙中奖”， B= “甲中奖”，则
3
P( Ai )P(B | Ai )
3
P(B) P( AiB
0.09 0 0.36 0.2 0.41 0.6 0.14 1
类似地可以计算 P( A2 | B) 0.537, P( A1| B) 0.157;
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课堂练习
1. 在数字通讯中，发报机分别以0.7和0.3的概率发 出信号“1”和“0”。由于存在随机干扰，当发出 “1”时，收到“1”和“0”的概率分别为90%和10%； 发出“0”时，收到“0”和“1”的概率分别为80%和 20%。现已知收到信号“1”，问发出的确实是信号 “1”的概率。

第14卷第2期2011年3月高等数学研究ST U DIES IN CO LL EGE M A T H EM A T ICS V ol.14,No.2M ar.,2011全概率公式及其应用技巧符方健(琼台师范高等专科学校数理系,海南海口571100)收稿日期:2009-04-26;;修改日期:2011-01-26.基金项目:海南省自然科学基金资助项目(808250).作者简介:符方健(1968-),男,海南琼海人,副教授,主要从事马尔可夫链理论研究.Email:fu fang jian@.摘要 对全概率公式的内涵进行剖析、引申与扩展,构造性地运用全概率公式计算一些复杂事件的概率,通过实例探讨其应用技巧.关键词 全概率公式;内涵剖析;应用技巧中图分类号 O211.1文献标识码 A文章编号 1008 1399(2011)02 0052 04全概率公式内涵丰富、应用广泛,是概率论中一个非常重要的公式.本文将对全概率公式的内涵进行深入剖析,引领学生窥其 庐山真面目 ,然后循序渐进地讲解其应用,从而帮助学生系统、深入地掌握全概率公式的理论体系.1 全概率公式定义1[1]设( ,F,P )为概率空间,若A i F (i =1,2, ,n)满足A i A j = (i j ,i,j =1,2, ,n)ni=1A i = ,则称A 1,A 2, ,A n 为 的一个完备事件组或称为的一个划分.定理1[1]设( ,F,P)为概率空间,A 1,A 2,,A n 为 的一个划分,且P(A i )>0(i =1,2, ,n),则对于任一事件B F,有P (B)=ni=1P (Ai)P(B |A i ).上式称为全概率公式.2 内涵剖析2.1 蕴涵的数学思想方法全概率公式蕴含了化整为零,化复杂为简单的数学思想.P (B)=P(ni=1BAi)表示将一个复杂事件B 的概率分解成若干个简单事件BA i 之和的概率.这就是全概率公式的基本思路.2.2 公式的本质全概率公式的本质是:全概率公式中的P (B)是一种平均概率,是条件概率P(B |A i )的加权平均,其中加在每个条件概率上的权重就是作为条件的事件A i 发生的概率.2.3 目标事件与完备事件组的关系样本空间 中的任一目标事件B 总是由 中若干个基本事件构成的,而当 被完备事件组A 1,A 2, ,A n 划分时,所有基本事件无一例外地被归类于A 1,A 2, ,A n 中.所以,B 中的基本事件也必然属于完备事件组A 1,A 2, ,A n .也可以说,B 中的基本事件被分配到A 1,A 2, ,A n 中去了.这样,当A 1,A 2, ,A n 划分 时,同时也划分了B.需要说明的是,B 的元素不一定参与划分者Ai的全部元素,所以B 不能用它们的和表示,而只能用积BA i 表示.另外,尽管目标事件B 有时是被完备事件组中部分事件划分了,但总可以广义地认为是被全部事件划分了,只是没参与划分的事件是没分着B 的任何元素,也就是说与B 的积为不可能事件.这样,B 就可以表示成B 分别与完备事件组中各个事件的积之和.[2]2.4 全 的含义从定理1的描述来看,使用全概率公式计算目标事件B 的概率,必须是找到样本空间 的一个完备事件组A 1,A 2, ,A n ,而这一完备事件组恰恰可以理解为是事件B 产生的n 个原因.全概率公式相当于将产生B 的全部原因一一进行考察,将每一个可能性都考虑进来,这就是 全 的含义所在.概括来说, 全 指的是对目标事件B 有贡献的全部原因.应用中要将全部原因找出来,缺一不可,才构成样本空间的完备事件组.2.5 公式的直观作用由于公式包含了乘法公式P(BA i)=P(A i)P(B|A i),即先有A i后有B,A i对B的发生均有一定作用,只有A i发生了,才有B发生的可能性,A i是B发生的全部 原因 .因此,我们可视为公式的直观作用是 知因求果 .2.6 公式蕴涵的运算公式中包含了两个主要的运算过程:1) 概率的加法公式P(B)=P( n i=1BA i).2) 概率的乘法公式P(BA i)=P(A i)P(B|A i).因此,全概率公式是加法公式与乘法公式的综合运用.2.7 运用公式的关键运用公式的关键是寻找其中的完备事件组A1, A2, ,A n.分割{A n}是为了计算P(B)而人为地引入的,选择适当可以使计算大为简化;选择不适当,则不利于问题的解决.2.8 运用公式的一般步骤1)找出样本空间 的完备事件组;2)求P(A i);3)求P(B|A i);4)求目标事件的概率P(B).注1 全概率公式是概率论中一个非常重要的公式,它的理论严密,概括性强.要从理论上系统地认识全概率公式,必须从测度论的角度去研究学习,要用到转移概率的知识等.不过,对于不同学历层次的学生,要求的深度是不一样的.基于上面的几点分析,基本上认识了公式的内涵,至于从测度论角度去进一步研究可参考文献[3]中第五章或文献[4]中第四章,本文不再深入探讨.下面将从简单到复杂、循序渐进地例举一些精彩的例子,欣赏全概率公式的风采,体会活用全概率公式的乐趣,深化对全概率公式理论体系的认识.3 应用探究3.1 条件简明,直接应用公式例1 某人到武汉参加会议,他乘火车、轮船、汽车或飞机去的概率分别为0.2,0.1,0.3和0.4.如果他乘火车、轮船、汽车前去,迟到的概率分别为1/3,1/12和1/4,乘飞机不会迟到.求他开会迟到的概率.分析 引起目标事件 开会迟到 的所有可能的原因(交通工具)为火车、轮船、汽车或飞机,显然它们构成了完备事件组.分析第二层条件可见,P(B|A i)也已知.因此本题可直接应用全概率公式来解.解 以B表示事件 开会迟到 ,以A1,A2,A3,A4分别表示某人乘火车、轮船、汽车或飞机去的事件.则A i(i=1,2,3,4)为一完备事件组.由全概率公式得P(B)= 4i=1P(A i)P(B|A i)=0.15.3.2 条件复杂,扩展应用公式例2 甲、乙、丙三人向同一敌机射击.设甲、乙、丙射中的概率分别为0.4,0.5,0.7.又设甲射中时敌机坠毁的概率为0.6,甲射不中乙射中时敌机坠毁的概率为0.3,只有丙射中时敌机坠毁的概率为0.1.求敌机坠毁的概率.分析 目标事件 敌机坠毁 的发生是由于甲、乙、丙的射击引起,而 甲射中 , 乙射中 , 丙射中 是可以同时发生的,是相容事件.关于如何对相容事件构成的样本空间进行划分,进而用全概率公式求解,文[5]曾对全概率公式有所扩展,证明了下面这个推论.推论1[5] 设( ,F,P)为一概率空间,{B n}为F中任意事件列(相容或互不相容,有限或可列无限多个),且对一切n有P(B n)>0,nB n= ,若令B n=B n-n-1k=1B k, P(B n)>0,则对一切A F,有P(A)= n P(B n)P(A|B n).考虑到题中第二层条件与推论1可见,本题可用推论1求解.解 设A表示 敌机坠毁 ,B1表示 甲射中 , B2表示 乙射中 ,B3表示 丙射中 ,B4表示 三人皆射不中 .另设B 1=B1, B 2=B2-B1,B 3=B3-(B1 B2),B 4=B4-3i=1B i=B4.则B 1表示 甲射中 ,B 2表示 甲射不中而乙射中 ,B 3表示 只有丙射中 ,B 4表示 三人皆射不中 ,它们构成一个完备事件组.其中53第14卷第2期符方健:全概率公式及其应用技巧P(B 1)=P(B 1)=0.4,P(B 2)=P(B 2)-P (B 1B 2)=0.3,P(B 3)=P(B 3)-P(B 1B 3)-P(B 2B 3)+P(B 1B 2B 3)=0.21,P(B 4)=P(B c 1B c 2B c3)=0.09.且由已知得P (A |B 1)=0.6, P (A |B 2)=0.3,P (A |B3)=0.1, P (A |B 4)=0,根据推论1,得P (A )=nP (B n)P(A |B n )=0.351.3.3 全概率公式在复合试验中的运用一般地,在复合试验中,使用全概率公式求解的问题其试验具有层次性.前几次试验结果的交叉为样本空间的一个分割,最后一次试验的结果为目标事件.以三层次为例,可得下面推论.推论2 设事件组A i (i =1,2, ,n),B j (j =1,2, ,m )是先后两个试验过程中的划分,C 为目标事件.若P(C)>0, P (A i )>0, P(B j )>0,P(A i B j )>0(i =1,2, ,n,j =1,2, ,m),那么P(C)=n i=1mj=1P(A i )P(B j |A i )P(C |A i B j ).证明 P(C)=P [( ni=1A i ) C]=P [ ni =1(A i C )]= ni=1P (A iC)=ni=1P[mj =1(A i B j C)]=ni=1 mj =1P (A iB jC)=ni=1 mj=1P(A i)P(Bj|A i )(C |A i B j ).例3 已知甲袋中有2个白球1个黑球,乙袋中有1个白球3个黑球,丙袋中有2个白球3个黑球.现从甲袋中任取1球放入乙袋中,再从乙袋中任取1球放入丙袋中,最后从丙袋中任取1球.求最后从丙袋中取出的那个球是黑球的概率.解 设A i (i =0,1)表示 从甲袋中取出i 个黑球放入乙袋中 ,B j (j =0,1)表示 从乙袋中取出j 个黑球放入丙袋中 ,C 表示 从丙袋中取出的那个球是黑球 .由题意得P (A 0)=2/3, P (A 1)=1/3,P (B 0|A 0)=2/5, P (B 1|A 0)=3/5,P (B 0|A 1)=1/5, P (B 1|A 1)=4/5,P (C |A 0B 0)=P (C |A 1B 0)=3/6,P(C |A 0B 1)=P(C |A 1B 1)=4/6,由推论2得P (C)=11/18.3.4 全概率公式的构造性运用对全概率公式的内涵掌握得好,可以构造完备事件组,解决一些复杂的看似与全概率公式无关的问题,从而体验到活用全概率公式的乐趣.尤其在随机过程与可靠性理论中应用更广泛.由于篇幅所限,仅举一例予以说明.例4 在研究系统的可靠性时,假定系统由一系列元件以某种方式联接而成.把元件或系统在时间区间(0,T]内正常工作(即不出现故障)的概率称作元件或系统(在该时间区间内)的可靠性(或可靠度).图1中,电路由5个元件组成,它们工作状态是相互独立的,元件的可靠性都是p ,求系统的可靠性.图1 由5个元件组成的电路系统分析 表面上看,本题似乎无法用全概率公式求解.但我们可以考虑以第3个元件为考察对象构造完备事件组,进而可用全概率公式求解.解 设A i (i =1,2,,3,4,5)表示 第i 个元件正常工作 ,则P (A i )=p (i =1,2,3,4,5).设A 表示 系统正常工作 .注意图1中的电路,当第3个元件正常工作时,可视为两个并联系统串联而成(图2),当第3个元件发生故障时,可视为两个串联系统并联而成(图3).由此可见,A 3与A 3构成一个完备图2 两个并联系统相串联图3 两个串联系统相并联事件组.易计算得这两个系统的可靠性分别为P(A |A 3)=p 2(2-p )2,P(A |A 3)=p 2(2-p 2),于是可由全概率公式得P (A )=P(A 3)P(A |A 3)+P(A 3)P(A |A 3)=2p 2+2p 3-5p 4+2p 5.54高等数学研究2011年3月第14卷第2期2011年3月高等数学研究ST U DIES IN CO LL EGE M A T H EM A T ICS V ol.14,No.2M ar.,2011参考文献[1]杨振明.概率论[M ].2版.北京:科学出版社,2004:34.[2]李兆兴,赵国传.关于全概率公式的一点注记[J].大庆师范学院学报,2005,25(4):23.[3]严士健,王隽骧,刘秀芳.概率论基础[M ].北京:科学出版社,1999:334 357.[4]严加安.测度论讲义[M ].2版.北京:科学出版社,2006:93 107.[5]符方健.全概率公式的两个推论及其应用[J].河西学院学报,2008,24(2):30 33.Analysis and Application of the Law of T otal ProbabilityFU Fang jian(Department of M athematics and P hy sics,Q iong tai T eachers Colleg e,H aikou 571100,PR C)Abstract: T his paper analyzes the law of to tal probability in details.Several types of applications are illustrated by related ex amples.Keywords: law of total probability,analysis,applicatio n重积分和线面积分中的一个典型题目段耀勇1,周畅2(1.中国人民武装警察部队学院基础部,河北廊坊065000; 2.西安邮电学院应用数理系,陕西西安710121)收稿日期:2010-01-04;修改日期:2010-07-20.作者简介:段耀勇(1969-),男,山东长清人,理学博士,教授,从事数学史与数学教育研究.Email:duanyaoy ong@.周畅(1979-),女,河北廊坊人,理学硕士,讲师,从事科学技术史研究.Email:maytheday@.摘要 针对授课班级出错率较高的一道曲面积分题目,给出四种解法.分析出错的原因在于练习不够外,主要是对重积分概念理解不够透彻.关键词 高斯公式;曲面积分;三重积分中图分类号 O172.2文献标识码 A文章编号 1008 1399(2011)02 0055 02问题1 计算I =eyz 2+x2d z d x ,其中 为由y =z 2+x 2与y =1,y =2所围成的表面的外侧(图1).解法1(直接法) 设 1为立体上表面的上侧, 2为立体下表面的下侧, 3为立体侧面的外侧,则I =1eyz 2+x2d z d x +2eyz 2+x2d z d x +3eyz 2+x2d z d x ,经过投影,代入和定号,得图1积分曲面I =+D x z1e2z 2+x 2d z d x -D x z2ez 2+x 2d z d x -D xz3ex 2+z 2z 2+x2d z d x.根据投影区域的特点,改用极坐标计算,得。

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----全概率公式的推广及应用摘要全概率公式是概率论中的重要公式，在实际生活中有广泛的应用，但适用条件比较严格.本文给出五种全概率公式的推广形式，弱化了全概率公式事件列是互不相容的条件，拓展了使用范围，最后给出了相关的应用.关键词概率空间;事件;全概率公式Generalization and Applications of Full probability formula Xiaoye Cheng School of mathematics and computer scienceAbstract Full probability formula is one of the most important formula in probability theory. It has been used widely in real life. However, the conditions of this formula is very strict. In this paper, we give five kinds of generalized formula, which weaken the incompatible conditions in full probability formula. In the last section, we give some examples to show the applications of these generalized full probability formula.Keywords probability space;events; full probability formula1、引言我们学习了事件和概率，知道一个复杂事件的发生往往由多种条件导致，这时它的概率往往不易直接求得，在这种情况下复杂事件的概率就需要使用全概率公式，但全概率公式的使用条件比较有限，所以扩大全概率公式的使用范围，推广全概率公式是本文研究的内容.全概率公式是概率论中最基本的公式之一，提供了计算复杂函数概率的一条有效途径，往往能使一个复杂函数的概率计算问题简化，但全概率公式的适用条件限制了它的使用范围，因此将全概率公式的条件弱化，扩大它的使用范围就成为我们研究的目标.本文给出了五种全概率公式的推广形式，进一步拓展了全概率公式的使用范围，成为我们解决更复杂问题的有效工.2、全概率公式的推广及应用对自然现象的一次观察叫做实验，随机实验的每一个可能的结果，称为基本事件.因为随机实验的所有结果是明确的，从而所有的基本事件也是明确的，它们的全体，称作样本空间，通常用字母Ω表示.若事件A 与B 不能同时发生，也就是说AB 是一个不可能事件，即AB=φ,则称事件A 与B 互不相容.（全概率公式）设B 1,B 2,…是一列互不相容的事件，且有 +∞=1i B i =Ω,P(B i )>0,i =1,2…，则对任一事件A ，有)(A p =∑+∞=1i )(i B p )|(i B A p .全概率公式说明目标事件A 发生的概率是在划分i B （i =1,2,…）基础上两两互拆事件组）⋯=,2,1(i AB i 的概率之和，可视为：i B 为A 的诱发事件，)(i AB P 为诱发成功的可能.若A 已发生，则来自i B 诱发成功的可能是)()(A P AB P i ,这是一个条件概率)|(A B P i ,使用乘法公式和全概率公式之后就得到推广一：推广一：设B 1,B 2,…，B n 互不相容，且∑=n i i B 1=Ω，m 个事件A 1,A 2,A m 中的A j （j=1,2,…m ）只能与事件B 1,B 2,…，B n 之一同时发生，即A j =i ni j B A ∑=1（j=1,2,…m ）.则有)(i =)(j A P )|()(1i j n i i B A P B P ∑=（j=1,2,…m ）(ii))()|()()|(i j i j i j B P A B P A P B A P =（i =1,2,…n ;j=1,2,…m ）证明：因为m 个事件A 1,A 2,A m 中的A j j=1,2,…m ）只能与事件B 1,B 2,…，B n 之一同时发生，即A j =i ni j B A ∑=1（j=1,2,…m ）则∑==n i i j j B A P A P 1)()(=)|()(1i j ni i B A P B P ∑=（j=1,2,…m ）由贝叶斯公式知)()|()()|(i j i j i j B P A B P A P B A P =注：(1)全概率公式及其两个推广要求事件列B i 两两互不相容，往往限制了全概率公式的应用范围，以下两种推广后的全概率公式的形式则减弱了事件列的条件.贝叶斯公式给出了全概率公式的反向利用，在实际问题中有很好的应用.(2)推广一中的公式可以用矩阵的方式表现，在求多个事件的概率时更易操作.(i )因为P(A j )=)|()(1i j ni i B A P B P ∑=（j=1,2,…m ）即)|()()|()()|()()(12121111n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +⋯++=)|()()|()()|()()(22221212n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +⋯++=…………………………………………)|()()|()()|()()(2211n m n m m m B A P B P B A P B P B A P B P A P +⋯++=按矩阵的乘法有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)()()()|()|()|()|()|()|()|()|()|()()()(2121222121211121n n m m m n n m B P B P B P B A P B A P B A P B A P B A P B A P B A P B A P B A P A P A P A P(ii)=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)|()|()|()|()|()|()|()|()|(212222111211n m n n m m B A P B A P B A P B A P B A P B A P B A P B A P B A P ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡)(1000)(1000)(121n B P B P B P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(000)(000)()|()|()|()|()|()|()|()|()|(21212221212111m m n n n m m A P A P A P A B P A B P A B P A B P A B P A B P A B P A B P A B P 例1、某厂有号码1，2，3的箱子个数分别为1n ,2n ,3n ,其中1号箱子装有一等品1a 件,二等品1b 件,三等品1c 件；2号箱子装有一等品2a 件，二等品2b 件，三等品2c 件，3号箱子装有一等品3a 件，二等品3b 件，三等品3c 件，现任选一个箱子，并从中任取一件，问取出的是一等品、二等品、三等品的概率各是多少？解：设j D :“取出的一件是j 号箱的”，（j=1,2,3）,且∑=31j j D =Ω,A:取出的一件是一等品B:取出的一件是二等品C:取出的一件是三等品由条件知321)(n n n n D P jj ++=(j=1,2,3),11111)|(c b a a D A P ++=22222)|(c b a a D A P ++=33333)|(c b a a D A P ++= 11111)|(c b a b D B P ++=22222)|(c b a b D B P ++=33333)|(c b a b D B P ++=11111)|(c b a c D C P ++=22222)|(c b a c D C P ++=33333)|(c b a c D C P ++= 则)|()()|()()|()()(332211D A P D P D A P D P D A P D P A P ++==))(())(())((321333333212222232111111n n n c b a n a n n n c b a n a n n n c b a n a ++++++++++++++)|()()|()()|()()(332211D B P D P D B P D P D B P D P B P ++==))(())(())((321333333212222232111111n n n c b a n b n n n c b a n b n n n c b a n b ++++++++++++++)|()()|()()|()()(332211D C P D P D C P D P D C P D P C P ++==))(())(())((321333333212222232111111n n n c b a n c n n n c b a n c n n n c b a n c ++++++++++++++ 例2、炮弹爆炸时产生大、中、小三种弹片，这三种弹片击中坦克的概率依次分别为0.1、0.3、0.6，若这三种弹片击中坦克，则其击穿坦克的概率依次分别为0.9、0.2、0.05，已知坦克被弹片击穿，求坦克被大、中、小弹片击穿的各情况的概率.解：设B ：“坦克被弹片击穿“1A :“大弹片击中坦克”，则1.0)(1=A P ;2A :“中弹片击中坦克”，则3.0)(2=A P ;3A :“小弹片击中坦克”，则6.0)(3=A P ;并且1A +2A +3A =Ω;05.0)|(,2.0)|(,9.0)|(321===A B P A B P A B P .坦克被弹片击中的概率)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++==0.118.005.06.02.03.09.0=⨯+⨯+⨯2118.09.01.0)()|()()|(111=⨯==B P A B P A P B A P 3118.02.03.0)()|()()|(222=⨯==B P A B P A P B A P6118.005.06.0)()|()()|(333=⨯==B P A B P A P B A P 由例1、2知用矩阵法求多个事件的概率时更简洁方便，在实际问题的解决中学会利用已学习的知识更好的解决问题.推广二：设）⋯=,2,1(i A i 和),2,1(m j B j ⋯=是先后两个实验过程中的划分，C 为目标事件，当m j n i B A P B P A P C P j i j i ⋯=⋯=>>>>,2,1;,2,1,0)(,0)(,0)(,0)(时，则有（1）∑∑===n i mj j i i j i B A C P A B P A P C P 11)|()|()()(; (2))()|()|()()|(1C P B A C P A B P A P C A P m j j i i j i i ∑==i =1,2,…,n ;)()|()|()()|(1C P B A C P A B P A P C B P n i j i i j ij ∑== j=1,2,…,m ; )()|()|()()|(C P B A C P A B P A P C B A P j i i j i j i = i =1,2,…，n ;j=1,2,…，m.例3、已知甲、乙两个口袋中各装有3个白球和5个黑球.现从甲袋中任取1个球然后放入乙袋中，再从乙袋中任取1个球再放回到甲袋中，最后从甲袋中取出1个球，试问：（1） 最后从甲袋中取出的1个球是黑球的概率;（2） 已知最后从甲袋中取出的是1个黑球，则第一次从甲袋中取出的也是黑球的概率;（3） 已知最后从甲袋中取出的是1个黑球，则第二次从乙袋中取出的也是黑球的概率;（4） 已知最后从甲袋中取出的是1个黑球，则第一次和第二次取出的都是黑球的概率.解：设i A 表示“从甲中取出i 个黑球放入乙中”，i =0,1；j B 表示“从乙中取出i 个黑球又放回甲中”，j=0,1;C 表示“第二次从甲中取出1个黑球”.由题意可得83)(0=A P 85)(1=A P 94)|(00=A B P 95)|(01=A B P 93)|(10=A B P 96)|(11=A B P 85)|(00=B A C P 86)|(10=B A C P 84)|(01=B A C P 85)|(11=B A C P (1)由全概率推广公式得∑∑===1010)|()|()()(i j j i i j i B A C P A B P A P C P=859685849385869583859483⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ =85. (2)由推广二（2）得)()|()|()()|(101111C P B A C P A B P A P C A P j j j ∑===127858596849385=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯. 同理可得（3）和（4）.)()|()|()()|(10111C P B A C P A B P A P C B P i i i i∑===3285859685869583=⨯⨯+⨯⨯)()|()|()()|(1111111C P B A C P A B P A P C B A P = = 12585859685=⨯⨯. 我们可进一步思考：若已知最后从甲袋中取出的是黑球，则它是第一次从甲取出的那个黑球的概率？已知最后从甲袋中取出的是黑球，则此球是乙袋中黑球的概率？设这两个事件的概率分别为21,P P ,则=1P 7219181=⨯ =2P 9185819583819585=⨯⨯+⨯⨯. 推广三：设（Ω，F,P ）为概率空间，且B i ∈F ，i =1,2,…n,如果有(1))(j i B B p =0(i ≠j) ; (2)Ω== ni i B 1; (3))(i B p > 0;则∀A ∈F 有P(A)=)|()(1i ni i B A P B P ∑=.证明：∀A ∈F ，(2)知A=A ⋂( n i i B 1=)= ni i AB 1=，由概率的一般加法公式知p (A)=p ( n i i AB 1=)=)()1()()(21111n n j i n j i i n i B B AB P B AB P AB P ⋯-⋯+--≤<≤=∑∑而当i ≠j 时P(B i B j )=0,从而有P(AB i B j )=0,…，P(AB )21n B B ⋯=0所以P(A)==∑=)(1ni i AB P )|()(1i ni i B A P B P ∑=. 注：从推广四证明可见只要求P(B i B j )=0(i ≠j)而不是B i B j =φ(j i ≠)，全概率公式就可成立.推广四：设（Ω，F,P ）为概率空间，且B i ∈F ， i =1,2,…n,如果有(1)Ω== n i i B 1 ; (2) p (B n i B i k k i ⋯=>--=,2,1,0)11;其中B 0=φ,则∀A ∈F ，有P(A)= )](|[)(11111 -=-==--∑i k k i i k k n i iB B A P B B P . 证明：由全概率公式知要证明定理成立，只需证明(1) Ω=--==)(111 i k k n i iB B ; (2) φ=-⋂--=-=)()(1111 j k k j i k k i B B B B { i j ≠). 先证明(1):由于B 21121)(B B B B ⋃=-⋃,32112321)()(B B B B B B B B ⋃⋃=⋃-⋃⋃以此类推，可得Ω==-=-== ni i i k k n i i B B B 1111)(（2）由于,j i ≠不妨设,j i <则1111-=-==-i k k i i k k i B B B B , 1111-=-==-j k k j j k k j B B B B ,从而 11-=-∈∀j k k j B B x ，有k j B x B x ∉∈, （k=1,2,…，j-1）而i <j,故知 11,-=-∉∉i k k i i B B x B x ,显然有(2)成立.注：推广四中的条件（2）不能改为0)(>i B P ,因为i i k k i B B B ⊂--= 11，故由P(B n i B i k k i ⋯=>--=,2,1,0)11 可推出0)(>i B P ，但反之不对.由于｛i B ｝是F 中任意事件列，所以可能对某个i ,有0)(11=--= i k k i B B P ,这样条件概率无意义.例4、设甲有赌本M 元，乙有赌本N 元（M 和N 都是正整数）.每一局若甲胜则乙给甲1元；若乙胜则甲给乙1元（没有和局）.设每局里甲胜的概率是p(0<p<1).问：如果一局一局地赌博下去（直到有一方输光才停止），甲输光的概率是多少？解：记L=M+N.L 是固定的正整数，L ≥2.当L=2时，显然甲输光的概率是1-p.以下设3≥L . 我们来研究更一般的问题：若甲有赌本i 元，乙有赌本L-i 元，则甲输光的概率i p 是多少？（题中要求的是M p ）问题扩大了，反而有利于寻找计算公式，这在数学中是常有的事. 令A=“甲输光”，i A =“甲的赌本是i 元”（i =1,2,…，L-1）,则)|(i i A A P p =. 令B=“甲在第一局取胜”，则)()(A B BA A =.故22-≤≤L i 时)|()|()|(i i i A A B P A BA P A A P +==)|()|()|()|(B A A P A B P B A A P A B P i i i i +=)|()|()|()|(11-++i i i i A A P A B P A A P A B P即有 11-++=i i i qp pp p (p q -=1).（1）易知q pp p +=21,21--=L L qp p .可见，若令0,10==L p p ,则（1）式对一切11-≤≤L i 均成立.从（1）式知)(11-+-=-i i i i p p pq p p ,于是 )(011p p p p p q i i i -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=)1(1-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p p q i . 因此()∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛∑==++-=-=-ik k i k k k i pp p p p p q 111111)1( .(2)由于L p =0,在（2）式中令i =L-1得)1(1111p q p p L k k-=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= . (3)-----WORD 格式--可编辑--专业资料-------完整版学习资料分享---- 当21≠p 时，⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p q p q L L p q p 11.再利用（2）式知 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=---+=p q p q p q p q L Li ii p p q p q p p 1)1(111,(12-≤≤L i );当p=21,从（3）式知LL p 11-=,利用（2）式知 ())12(11111-≤≤-=-+=∑-=L i Li L p p p i k i . 于是⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+≠--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++21,21,1P N M N P p p q p q p q N M N M M M. 这就是甲输光的概率.这个计算过程中关键的一步是，根据第一局的输赢结果建立方程（1）.参考文献[1]概率与统计[M],北京：北京大学出版社[2]概率论[M],南京：南京工学院[3]线性代数，上海：同济大学数学教研室[4] 张丽 闫善文 刘亚东，全概率公式和贝叶斯公式的推广和应用[J].牡丹江师范学院学报[5]王保平，全概率公式的推广[J] ,石家庄师范专科学校学报。