3.3三角函数的积化和差与和差化积1.能根据公式Sα±β和Cα±β进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式.(难点)2.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力.(重点)[基础·初探]教材整理积化和差与和差化积公式阅读教材P149内容，完成下列问题.1.积化和差公式：cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]；sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)].2.和差化积公式：设α＋β＝x，α－β＝y，则α＝x＋y2，β＝x－y2.这样，上面的四个式子可以写成，sin x＋sin y＝2sin x＋y2cosx－y2；sin x－sin y＝2cos x＋y2sinx－y2；cos x＋cos y＝2cos x＋y2cosx－y2；cos x－cos y＝－2sin x＋y2sinx－y2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin A cosB.()(2)sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cos A sinB.()(3)cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cos A cosB.()(4)cos(A＋B)－cos(A－B)＝2cos A cosB.()【答案】(1)√(2)√(3)√(4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________解惑：_________________________________________________________[小组合作型](2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.【精彩点拨】在利用积化和差与和差化积公式求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系.。
§3．3 三角函数的积化和差与和差化积课时目标1．能从两角和与差的正、余弦公式推导积化和差与和差化积公式．2．了解积化和差与和差化积的简单运用．一、选择题1．cos 215°＋cos 275°＋cos15°cos75°的值是( ) A ．32B ．62C ．34D ．542．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的最大值是( )A ．2B ．1C ．12D ． 33．cos20°＋cos60°＋cos100°＋cos140°的值为( )A ．－12B ．12C ．32D ．224．化简1＋sin 4α－cos 4α1＋sin 4α＋cos 4α的结果是( )A ．cot2αB ．tan2αC ．cot αD ．tan α5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数D ．最小正周期为π的非奇非偶函数6．cos 2α－cos αcos(60°＋α)＋sin 2(30°－α)的值为( ) A ．12B ．32C ．34D ．14二、填空题7．sin 35°－sin 25°cos 35°－cos 25°的值是________． 8．给出下列关系式：①sin5θ＋sin3θ＝2sin8θcos2θ； ②cos3θ－cos5θ＝－2sin4θsin θ；③sin3θ－sin5θ＝－12cos4θcos θ；④sin5θ＋cos3θ＝2sin4θcos θ；⑤sin x sin y ＝12[cos(x －y )－cos(x ＋y )]．其中正确的序号是________．9．sin20°cos70＋sin10°sin50°的值是________．10．已知cos 2α－cos 2β＝m ，那么sin(α＋β)·sin(α－β)＝________．三、解答题11．求证：1＋cos x ＋cos x 2＝4cos x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6．12．求值：cos40°cos80°＋cos80°cos160°＋cos160°cos40°．能力提升13．求证：sin A ＋sin B －sin C ＝4sin A 2sin B 2cos C2．14．已知sin α－sin β＝－13，cos α－cos β＝12，求sin(α＋β)的值．1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记公式而忽视对思想方法的体会．只要对上述思想方法有所感悟，公式不必记很多，记住cos(α－β)即可．2．和差化积、积化和差公式不要求记忆，但要注意公式推导中应用的数学思想方法，同时注意这些公式与两角和与差公式的联系．3．除了课本上所列的积化和差公式、和差化积公式外，公式1－cos α＝2sin2α2，1＋cos α＝2cos2α2，a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)也应视作和差化积公式；同样sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2也应视作积化和差公式．§3．3 三角函数的积化和差与和差化积答案知识梳理 12[sin(α＋β)＋sin(α－β)] 12[sin(α＋β)－sin(α－β)] 12[cos(α＋β)＋cos(α－β)] －12[cos(α＋β)－cos(α－β)] 2sin θ＋φ2cos θ－φ2 2cos θ＋φ2sin θ－φ2 2cos θ＋φ2cos θ－φ2－2sin θ＋φ2sin θ－φ2作业设计1．D [原式＝1＋cos 30°2＋1＋cos 150°2＋cos 90°＋cos 60°2＝54．]2．B [y ＝2sin x cos π3＝sin x ．]3．B [原式＝(cos20°＋cos140°)＋cos100°＋cos60°＝2cos80°cos60°＋cos100°＋cos60°＝cos80°－cos80°＋cos60°＝12．]4．B [原式＝2sin 22α＋2sin 2αcos 2α2cos 22α＋2sin 2αcos 2α＝2sin 2α(sin 2α＋cos 2α)2cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＝tan2α．] 5．D [f (x )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin π2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋12∴T ＝2π2＝π，f (x )为非奇非偶函数．]6．C [原式＝1＋cos 2α2－12[cos(60°＋2α)＋cos60°]＋1－cos (60°－2α)2＝1＋12cos2α－12cos(60°＋2α)－14－12cos(60°－2α)＝34－12[cos(60°＋2α)＋cos(60°－2α)]＋12cos2α ＝34－12×2cos60°cos2α＋12cos2α＝34．] 7．－ 3解析 原式＝2sin 5°cos 30°－2sin 30°sin 5°＝－cos 30°sin 30°＝－2cos30°＝－2×32＝－3． 8．⑤解析 ①②③④都错，只有⑤是正确的． 9．14解析 原式＝12(sin90°－sin50°)＋12(cos40°－cos60°)＝12－12sin50°＋12cos40°－14＝14． 10．－m解析 cos 2α－cos 2β＝(cos α＋cos β)(cos α－cos β)＝2cos α＋β2cos α－β2⎝⎛⎭⎪⎫－2sin α＋β2sin α－β2＝－2sin α＋β2cos α＋β2·2sin α－β2cos α－β2＝－sin(α＋β)sin(α－β)＝m ∴sin(α＋β)·sin(α－β)＝－m ． 11．证明 左边＝2cos 2x 2＋cos x2＝2cos x 2⎝⎛⎭⎪⎫cos x 2＋12＝2cos x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2＋cos π3＝2cos x 2·2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝4cos x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝右边．12．解 原式＝12(cos120°＋cos40°)＋12(cos240°＋cos80°)＋12(cos200°＋cos120°)＝12(cos40°＋cos80°＋cos200°)－34 ＝12(2cos60°cos20°－cos20°)－34 ＝12(cos20°－cos20°)－34＝－34． 13．证明 左边＝sin(B ＋C )＋2sin B －C 2cos B ＋C2＝2sin B ＋C 2cos B ＋C 2＋2sin B －C 2cos B ＋C 2＝2cos B ＋C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B ＋C 2＋sin B －C 2＝4sin A 2sin B 2cos C2＝右边．14．解 sin α－sin β＝2sinα－β2cosα＋β2＝－13，①cos α－cos β＝－2sin α－β2sin α＋β2＝12．②∴由②①得：tan α＋β2＝32∴sin(α＋β)＝2sin α＋β2cos α＋β2＝2sin α＋β2cosα＋β2sin 2α＋β2＋cos2α＋β2＝2tan α＋β21＋tan 2α＋β2＝2×321＋94＝1213．。
