级数求和常用方法

滨州学院本科毕业设计(论文)

I 级数求和的常用方法

摘 要

级数理论及应用无论对数学学科本身还是在其他科学技术及理论的发展中都有极为重要的影响和作用，而级数求和是级数理论及应用的主要内容之一.由于级数求和的方法比较多，技巧性很强，一般很难掌握其规律，是学习的一个难点，因此掌握一些常用的级数求和方法就显得尤为重要.通过例题，分别针对常用的数项级数和函数项级数求和进行分析和讨论，试图通过对例题的分析和解决，展示级数求和的常用方法和思想，进而探索级数求和的规律，理解级数理论即合理应用，打下良好的基础，为学习者起到抛砖引玉的方法.

关键词：数项级数；函数项级数；求和；常用方法 滨州学院本科毕业设计(论文)

II Summation of series method in common use

Abstract

Progression theory and application still are having the most important

effect and function on the development of science and technology and theory

disregarding logarithmic discipline per se, but summation of series is one of

progression theory and applicative main content. Method of summation of

series is comparatively many, the dexterity is very strong, in general very

difficult to have its law in hand, be a difficult point studying, have some

summation of series in common use method in hand therefore appearing

especially important right away. Carry out analysis and discuss that by the

fact that the example , difference are aimed at several progression and

function item summation of series in common use, try to pass the analysis

checking an example and solve, show summation of series method and

thought in common use , probe and then the summation of series law ,

understand that progression theory is that reasonableness applies , lays down

fine basis, in order the learner gets the method arriving at a modest spur to

induce someone to come forward with his valuable contributions.

Key words: Count progression; function series; Sue for peace; Method in

common use滨州学院本科毕业设计(论文)

目 录

引 言 ................................................ 错误!未定义书签。

第一章 级数简介 ...................................................... 1

1.1 级数理论前史 ...................................................... 1

1.2 级数的定义 ........................................................ 3

第二章 数项级数的求和方法............................................. 4

2.1 根据定义求级数的和 ................................................ 4

2.2 利用已知级数直接求和法 ............................................ 5

2.3 连锁消去法 ........................................................ 7

2.4 方程式法 .......................................... 错误!未定义书签。

2.5 利用子序列法 ...................................................... 8

2.6 根据幂级数理论求级数的和(利用Abel第二定理) ....................... 9

2.7 利用Fourier级数理论求级数的和 ................................... 11

2.8 利用复数的Euler公式和De Moiver公式. ............................ 13

2.9 利用Euler常数法 ................................................. 13

第三章 函数项级数求和 ............................................... 14

3.1 微积分法 ......................................................... 14

3.1.1 逐项微分，求和后再积分 ......................................... 14

3.1.2 逐项积分，求和后再微分 ......................................... 15

3.2 微分方程式法 ..................................................... 16

3.3 复数项幂级数求和法（主要计算三角函数项级数的和） ................. 18

结论 ................................................. 错误!未定义书签。

参考文献 ............................................................ 20

谢 辞 ................................................ 错误!未定义书签。 滨州学院本科毕业设计（论文）

1 第一章 级数简介

1.1 级数发展简介

数学史上级数出现的很早，在两千多年前人们就有了粗糙的级数思想.古希腊时期，亚里士多德(Aristotle，公元前384一公元前322)就知道公比小于l(大于零)的几何级数可以求出和数.芝诺(Zeno，公元前490一约公元前425)的二分法涉及到把1分解成无穷级数43221212121.阿基米德(Archimedes，公元前287一公元前212)在《抛物线图形求积法》一书中，使用几何级数去求抛物线弓形面积，并且得出了级数34414141132的和.中国古代《庄子·天下》中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”含有极限的思想，用数学形式表达出来也是无穷级数.

到了中世纪，由于数学家和哲学家对一些涉及到无穷思想的悖论展开了激烈的争论，使得关于无穷级数的研究开展起来.最具代表的是法国数学家奥雷姆(Nicolas

Orense，1323一1352)用最初等的方法证明了调和级数

k1514131211

的和为无穷，用现在的形式可表示为

817161514131211

.2121211818181814141211

中世纪的级数理论，从本质上看没有突破性进展，它的主要贡献并不在于所得到的具体结果，而是在于促使人们接受一种新的观点，即在数学中可以自由的承认无限过程.这对后来理解无穷过程做了铺垫，为形式化处理级数奠定了思想基础.

早期数学家仅凭直觉就认为级数是可以收敛的，并将级数从有限项自然的拓展为无限项使用，这导致了有限法则无限拓展的产生.17世纪，伴随着微积分的产生，许多数学家通过微积分的基本运算与级数运算的形式化结合，得到了一些初等函数的幂级数展开式，并且级数在解析运算中被普遍用来代表函数而成为微积分的有力滨州学院本科毕业设计（论文）

2 工具，这就使得无穷级数成为微积分不可缺少的部分.

1669年，牛顿 (Isaac Newton，1643一1727)在他的((用无限多项方程的分析

学》中，用级数反演法给出了xsin，xcos的幂级数，xarcsin，xarctan和xe的级数展开.格雷戈里 (James Gregory， 1638一 1675)得到了xtan，xsec等函数的级数，莱布尼茨 (Gottfried Wilhelm Leibniz，1646一 1716)也在1673年独立地得到了xsin，xcos和xarctan等函数的无穷级数展开式，以及圆面积和双曲线面积的具体展开式.在微积分的早期研究中，有些函数如指数函数等超越函数的处理相

当困难，然而人们发现，若用它们的级数来处理，则非常有成效.因此，无穷级数从一开始就是莱布尼茨、牛顿等人微积分工作的一个重要部分.有时使用无穷级数是为了计算一些特殊的量，如二和.以及求隐函数的显式解.

17世纪后期和18世纪，为了适应航海、天文学和地理学的发展，摆在数学家们面前的问题之一是函数表的插值.由于对函数表的精确度要求较高，数学家们开始寻求较好的插值方法，牛顿和格雷戈里给出了著名的内插公式

afchchafchafhaf2211.

1715年泰勒 (Brook Taylor，1685一1731)发表了《增量方法及其逆》(Methods

Increment rum Direct et Inverse)，奠定了有限差分法的基础.17世纪，牛顿、莱布尼茨等人曾研究过有限差分问题，泰勒的工作则使有限差分法从局限的方法(如二项式定理、有理函数的长除法、待定系数法等等)过渡到了一般的方法.这本书中他给出了单变量幂级数展开的著名公式，即泰勒级数

!3!23'''2"'hafhafhafafhaf

泰勒是第一个发表此级数的人，但他不是第一个发现此级数的数学家.在他之前格雷戈里、牛顿、莱布尼茨、约翰·伯努利 (John Bernoulli，1667一 1748)和棣莫弗(Abrahamde Moivre，1667.1754)等数学家都研究过此级数. 1717年泰勒运用这个级数求解方程，取得了很好的结果，但是他的证明是不严格的而且没有考虑

收敛问题，在当时影响并不太大.直到1755年，欧拉在微分学中将泰勒级数推广应