线面关系的判定和性质线面关系有相交和平行。
相交特殊情况为垂直。
垂直是证明线和面上的两条相交直线都垂直就可以，平行是证明线和面上的任意一条直线平行就好。
1线面关系的判定及线面关系性质直线与平面平行判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
直线与平面垂直判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线相垂直，则该直线与此平面垂直。
性质：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面垂直。
2平面与平面垂直定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直。
判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
注意：垂直于同一个平面的两平面是否平行？（可能平行，可能相交）线面平行的性质定理一平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
已知：a∥b，a⊄α，b⊂α，求证：a∥α反证法证明：假设a与α不平行，则它们相交，设交点为A，那么A ∈α∵a∥b，∴A不在b上在α内过A作c∥b，则a∩c=A又∵a∥b，b∥c，∴a∥c，与a∩c=A矛盾。
∴假设不成立，a∥α线面平行的性质定理二平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。
已知：a⊥b，b⊥α，且a不在α上。
求证：a∥α证明：设a与b的垂足为A，b与α的垂足为B。
假设a与α不平行，那么它们相交，设a∩α=C，连接BC由于不在直线上的三个点确定一个平面，因此ABC首尾相连得到△ABC ∵B∈α，C∈α，b⊥α∴b⊥BC，即∠ABC=90°∵a⊥b，即∠BAC=90°∴在△ABC中，有两个内角为90°，这是不可能的事情。
∴假设不成立，a∥α。
线面平行的定义：若直线和平面无公共点，则称直线和平面平行。
图形表示如下：1、线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。
直线与平面、平面与平面平行的判定[ 学习目标] 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.知识点一直线与平面平行的判定定理语言叙述符号表示图形表示平面外一条直线与此平面内的一条直线平a?αb? α ? a∥α行，则该直线与此平面平行a∥b思考若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？答根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误.语言叙述符号表示图形表示一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行a? α，b? α a∩ b＝A ?α∥βa∥β，b∥β思考如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？答不一定. 这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内.题型一直线与平面平行的判定定理的应用例 1 如图，空间四边形ABCD 中，E、F、DA 的中点.求证：(1)EH ∥平面BCD ；(2)BD∥平面EFGH.证明(1)∵ EH 为△ABD 的中位线，∴EH∥BD.∵EH?平面BCD，BD? 平面BCD，∴EH ∥平面BCD.(2)∵BD∥EH ，BD ?平面EFGH ，EH? 平面EFGH ，∴BD∥平面EFGH.跟踪训练 1 在四面体A－BCD 中，M，N 分别是△ ABD 和△BCD 的重心，求证：MN∥平面ADC.证明如图所示，连接BM，BN 并延长，分别交AD点，连接PQ.因为M，N分别是△ABD 和△BCD 的重心，所以BM∶MP＝BN∶NQ＝2∶ 1.所以MN ∥PQ.又因为MN?平面ADC ，PQ ? 平面ADC ，所以MN ∥平面ADC.题型二面面平行判定定理的应用例 2 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1 中，点D，E 分别是BC 与B1C1 的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1.证明由棱柱性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC，又 D ，E 分别为BC，B1C1的中点，所以C1E綊DB，则四边形C1DBE 为平行四边形，因此EB∥ C1D，又C1D? 平面ADC1，EB?平面ADC1，所以EB∥ 平面ADC1.连接DE，同理，EB1綊BD，B1G 2B1H ＝3.所以四边形EDBB 1为平行四边形，则ED 綊B1B.因为B1B∥ A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，所以ED 綊A1A，则四边形EDAA1 为平行四边形，所以A1E∥ AD ，又A1E?平面ADC1，AD? 平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1.由A1E∥平面ADC 1，EB∥平面ADC 1，A1E? 平面A1EB，EB? 平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥ 平面ADC1.跟踪训练 2 已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为 3 的正方体，点 E 在AA1上，点 F 在CC1上，点G 在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H 是B1C1的中点.求证：(1)E，B，F，D1 四点共面；(2)平面A1GH ∥平面BED1F.证明(1)∵ AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2.又∵ BG∥A1E，∴四边形A1EBG 是平行四边形，∴A1G∥BE.连接FG.∵ C1F＝B1G，C1F∥B1G，∴四边形C1FGB 1是平行四边形，∴FG＝C1B1＝D1A1，FG∥C1B1∥D1A1，∴四边形A1GFD 1 是平行四边形，∴A1G∥D1F，∴D1F∥EB.故E，B，F，D1 四点共面.3(2)∵H 是B1C1 的中点，∴B1H＝2.又∵ B1G＝1，FC 2 又＝，且∠FCB＝∠ GB1H ＝90 °，BC 3∴△ B1HG∽△ CBF ，∴∠ B1GH＝∠ CFB＝∠FBG，∴HG∥FB.又由(1)知，A1G∥BE，且HG∩A1G＝G，FB∩BE＝B，∴平面A1GH∥ 平面BED1F.题型三线面平行、面面平行判定定理的综合应用例 3 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD 的中心，P是DD 1的中点，设Q是CC 1上的点.问：当点Q 在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？请说明理由.解当Q为CC 1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.理由如下：连接PQ.∵Q为CC1的中点，P为DD 1的中点，∴PQ∥DC∥AB，PQ＝DC＝AB，∴四边形ABQP 是平行四边形，∴ QB∥PA.又∵O为DB的中点，∴D1B∥PO.又∵ PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥ 平面PAO.跟踪训练 3 如图，三棱柱ABC－A1B1C1的底面为正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，E，F 分别是棱CC 1，BB1上的点，EC＝2FB.M 是线段AC上的动点，当点M 在何位置时，BM∥ 平面AEF ？请说明理由.解当M为AC中点时，BM∥平面AEF.理由如下：方法一如图1，取AE 的中点O，连接OF，OM.∵O，M 分别是AE，AC 的中点，1∴OM ∥EC，OM＝2EC.又∵ BF∥CE，EC＝2FB，∴OM∥ BF，OM＝BF，∴四边形OMBF 为平行四边形，∴BM∥ OF. 又∵OF? 面AEF，BM ?面AEF，∴BM ∥平面AEF.方法二如图2，取EC 的中点P，连接PM ，PB.∵PM 是△ACE 的中位线，∴PM∥AE. ∵EC＝2FB＝2PE，CC1∥BB1，∴PE＝BF，PE∥BF，∴四边形BPEF 是平行四边形，∴ PB∥ EF.又∵PM?平面AEF ，PB?平面AEF，∴PM∥平面AEF，PB∥ 平面AEF.又∵ PM∩PB＝P，∴平面PBM ∥平面AEF.又∵ BM? 面PBM，∴BM∥平面AEF.例 4 已知在正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N 分别是A′D′，A′B′的中点，在该正方体中是否存在过顶点且与平面AMN 平行的平面？若存在，试作出该平面，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.分析根据题意画出正方体，根据平面AMN 的特点，试着在正方体中找出几条平行于该平面的直线，然后作出判断，并证明.解 如图，与平面 AMN 平行的平面有以下三种情况：面以图 ①为例进行证明如图 ①，取 B ′C ′的中点 E ，连接 BD ，BE ， 可知四边形 ABEM 是平行四边形， 所以 BE ∥ AM .又因为 BE? 平面 BDE ， AM? 平面 BDE ， 所以 AM ∥平面 BDE.因为 MN 是△ A ′B ′ D ′ 的中位线， 所以 MN ∥B ′D ′ .因为四边形 BDD ′B ′是平行四边形， 所以 BD ∥ B ′D ′. 所以 MN ∥BD.又因为 BD? 平面 BDE ，MN ? 平面 BDE ， 所以 MN ∥平面 BDE.又因为 AM? 平面 AMN ， MN ? 平面 AMN ，且 AM ∩MN ＝M ， 所以由平面与平面平行的判定定理可得，平面AMN ∥平面 BDE.1. 过直线 l 外两点，作与 l 平行的平面，则这样的平面 ( ) A. 不可能作出 B.只能作出一个 C.能作出无数个D. 上述三种情况都存在2. 经过平面 α外两点，作与 α平行的平面，则这样的平面可以作 ( ) A. 1 个或 2 个 B.0 个或 1 个 C.1 个D.0 个DE ，ME ，B ′D3. 若线段 AB ，BC ，CD 不共面， M ， N ，P 分别为线段 AB ，BC ，CD 的中点，则直线 BD 与平面 MNP 的位置关系是 ( )B. 直线在平面内 D.以上均有可能4.在正方体 EFGH －E 1F 1G 1H 1 中，下列四对截面彼此平行的一对是 ( )一、选择题1. 下列说法正确的是 ( )① 若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行； ② 若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行； ③ 若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④ 若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行A. ①③B.②④C.②③④D. ③④2. 平面 α与平面 β平行的条件可以是 ( ) A. α内有无穷多条直线与 β平行B. 直线 a ∥ α， a ∥ β，且直线 a 不在 α与 β内C. 直线 a? α，直线 b? β，且 b ∥ α，a ∥βD. α内的任何直线都与 β平行 3.六棱柱的表面中，互相平行的平面最多有 ( )4. 如果直线 a 平行于平面 α，那么下列命题正确的是 ( ) A. 平面 α内有且只有一条直线与 a 平行B. 平面 α内有无数条直线与 a 平行A.平行 C.相交A. 平面 E 1FG 1与平面 EGH 1B. 平面 FHG 1 与平面 F 1H 1GC. 平面 F 1H 1H 与平面 FHE 1D. 平面 E 1HG 1 与平面 EH 1G5.梯形 ABCD 中， AB ∥CD ，AB? 平面 α，CD?平面 则直线 CD 与平面 α的位置关系是A.2 对B.3 对C. 4 对D.5 对C.平面 α内不存在与 a 平行的直线D. 平面 α内的任意直线与直线 a 都平行5. 在空间四边形 ABCD 中， E ，F 分别为 AB ，AD 上的点，且 AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又 H ，G 分别为 BC ，CD 的中点，则 ( )A.BD ∥平面 EFG ，且四边形 EFGH 是平行四边形B. EF ∥平面 BCD ，且四边形 EFGH 是梯形C. HG ∥平面 ABD ，且四边形 EFGH 是平行四边形D.EH ∥平面 ADC ，且四边形 EFGH 是梯形6. 平面 α内有不共线的三点到平面 β的距离相等且不为零，则 α与 β的位置关系为 ( ) A. 平行B.相交C.平行或相交D. 可能重合7. 已知直线 l ， m ，平面 α，β，下列命题正确的是 ( ) A.l ∥β， l? α? α∥ β B.l ∥β，m ∥β，l? α，m? α? α∥βC.l ∥m ，l? α，m? β? α∥βD.l ∥β， m ∥ β，l? α， m? α，l ∩m ＝M? α∥ β二、填空题8. ____________ 三棱锥 SABC 中， G 为△ ABC 的重心， E 在棱 SA 上，且 AE ＝2ES ，则 EG与平面 SBC 的 关系为 .9. 如图是正方体的平面展开图 .在这个正方体中，①BM ∥平面 DE ；② CN ∥平面 AF ；③平面 BDM ∥平面 AFN ；④平面BDE ∥平面 NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是 _________ .10. 右图是一几何体的平面展开图， 其中四边形 ABCD 为正方形，E ， F ， G ，H 分别为 PA ，PD ，PC ，PB 的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：①平面 EFGH ∥平面 ABCD ；②PA ∥平面 BDG ；③EF ∥平面 PBC ； ④FH ∥平面 BDG ； ⑤ EF ∥平面 BDG ；其中正确结论的序号是 ________ 三、解答题11. 如图， 在已知四棱锥 P －ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， BD ，PD 上，且 PM ∶MA ＝BN ∶ND ＝PQ ∶QD.求证：平面 MNQ ∥平面 PBC.12. 如图，在正四棱柱 ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱 AB 的中点，点 N 在侧面 AA 1D 1D 上运动，点 N 满足什么条件时， MN ∥平面 BB 1D 1D?点 M ，N ，Q 分别在 PA ，1. 答案 D解析设直线外两点为A、B，若直线AB∥l，则过A、B可作无数个平面与l 平行；若直线AB 与l 异面，则只能作一个平面与l 平行；若直线AB 与l 相交，则过A、 B 没有平面与l 平行.2. 答案 B解析①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面又至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面.故满足条件的平面有0个或 1 个.3. 答案 A解析连接NP，因为N、P 分别是BC、CD 的中点，M 是AB 的中点，AB 、BC、CD 不共面，所以直线BD 不在平面MNP 上.∴直线BD 与平面MNP 平行.4. 答案 A解析如图，∵ EG∥E1G1，EG?平面E1FG 1，E1G1? 平面 E 1FG 1，∴EG∥平面E1FG1，又G1F∥H1E，同理可证H1E∥ 平面E1FG1，又H1E∩EG＝E，∴平面E1FG1∥平面EGH1.5. 答案CD ∥α解析因为AB∥CD，AB? 平面α，CD ?平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.课时精练答案、选择题1. 答案 D解析如图，长方体ABCD－A1B1C1D1 中，在平面ABCD 内，在AB 上任取一点E，过点 E 作EF ∥AD，交CD 于点F，则由线面平行的判定定理，知EF，BC 都平行于平面ADD 1A1，用同样的方法可以在平面ABCD 内作出无数条直线都与平面ADD 1A1 平行，但是平面ABCD 与平面ADD 1A1不平行，因此①②都错；③正确，事实上，因为一个平面内任意一条直线都平行于另一个平面，所以这两个平面必无公共点（要注意“任意一条直线”与“无数条直线”的区别）；④是平面与平面平行的判定定理，正确 .2. 答案 D解析 对于 A 项， 当 α与 β相交时， α内也有无数条直线都与交线平行， 项，当 a 平行于 α与 β的交线时，也能满足，但此时 α与 β相交，故 B 错误；对于 C 项， 当 a 和 b 都与 α与 β的交线平行时， 也能满足， 但此时 α与 β相交， 故 C 错误； 对于 D 项， α内的任何直线都与 β平行，故在一个平面内存在两条相交直线平行于另一平面， 故 D 正确 .3. 答案 C解析 侧面中有 3 对，对面相互平行，上下两底面也相互平行 .4. 答案 B解析 如图，直线 B 1C 1∥平面 ABCD ，B 1C 1∥BC ，B 1C 1∥AD ，B 1C 1∥EF （E ，F 为中点 ）等， 平面 ABCD 内平行于 BC 的所有直线均与 B 1C 1平行.但 AB 与 B 1C 1不平行 .5. 答案 B解析 易证 EF ∥平面 BCD.1由 AE ∶EB ＝AF ∶FD ，知 EF ∥BD ，且 EF ＝51BD.又因为 H ，G 分别为 BC ，CD 的中点，1所以 HG ∥ BD ，且 HG ＝ 2BD .综上可知， EF ∥HG ，EF ≠HG ， 所以四边形 EFGH 是梯形，且 EF ∥平面 BCD.6. 答案 C解析 若三点分布于平面 β的同侧，则 α与 β平行，若三点分布于平面 β的两侧，则 α与 β 相交.故 A 错误； 对于 B7. 答案 D解析如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，则AB∥平面DC1，AB? 平面AC，但是平面AC 与平面DC1 不平行，所以 A 错误；取BB1的中点E，CC1 的中点F，则可证EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.EF? 平面BC1，B1C1? 平面BC1，但是平面AC 与平面BC1 不平行，所以B 错误；可证AD∥B1C1，AD? 平面AC，B1C1? 平面BC1，又平面AC 与平面BC1不平行，所以 C 错误；很明显 D 是面面平行的判定定理，所以 D 正确.、填空题8. 答案平行解析如图，延长AG 交BC 于 F ，连接SF，则由G 为△ ABC 的重心知AG∶GF＝2，又AE∶ES＝2，∴EG∥SF，又SF? 平面SBC，EG?平面SBC，∴EG∥ 平面SBC.9. 答案①②③④解析以ABCD 为下底面还原正方体，如图：则易判定四个命题都是正确的.10. 答案①②③④解析把图形还原为一个四棱锥，然后根据线面、面面平行的判定定理判断即可三、解答题11. 证明因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，所以MQ∥ AD，NQ∥BP.因为BP? 平面PBC，NQ?平面PBC，所以NQ∥ 平面PBC.又因为底面ABCD 为平行四边形，所以BC∥AD，所以MQ ∥BC.因为BC? 平面PBC，MQ?平面PBC，所以MQ∥ 平面PBC.又因为MQ ∩ NQ＝Q，所以根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ ∥ 平面PBC.12. 解如图，在正四棱柱ABCD －A1B1C1D1 中，分别取棱A1B1，A1D1，AD 的中点E，F，G，连接ME，EF，FG，GM.因为M 是AB 的中点，所以ME ∥ AA1∥ FG，且ME＝AA1＝FG.所以四边形MEFG 是平行四边形.因为ME ∥ BB1，BB1? 平面BB1D1D，ME?平面BB1D 1D，所以ME ∥平面BB1D1D.在△ A1B1D1中，因为EF∥ B1D1，B1D1? 平面BB1D1D，EF?平面BB1D 1D ，所以EF∥ 平面BB1D1D.又因为ME∩EF＝E，且ME? 平面MEFG，EF? 平面MEFG ，所以平面MEFG∥ 平面BB1D1D.在FG 上任取一点N，连接MN ，所以MN? 平面MEFG .所以MN 与平面BB1D1D 无公共点.所以MN ∥平面BB1D 1D .总之，当点N 在平面AA1D1D 内的直线FG 上（任意位置）时，都有MN ∥BB1D1D，即当点N在矩形AA1D1D 中过A1D1与AD 的中点的直线上运动时，都有MN∥平面BB1D1D.。
高考数学考点归纳之 直线、平面平行的判定与性质一、基础知识1．直线与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可. 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤❷如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.符号表示：a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝O ，a ′⊂β，b ′⊂β，a ∥a ′，b ∥b ′⇒α∥β. 二、常用结论平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．考点一 直线与平面平行的判定与性质考法(一) 直线与平面平行的判定[典例] 如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，点M ，N 分别为线段A 1B ，AC 1的中点．求证：MN ∥平面BB 1C 1C .[证明] 如图，连接A 1C .在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形．又因为N 为线段AC 1的中点，所以A 1C 与AC 1相交于点N ，即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点．因为M 为线段A 1B 的中点，所以MN ∥BC . 又因为MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ， 所以MN ∥平面BB 1C 1C .考法(二)线面平行性质定理的应用[典例](2018·豫东名校联考)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.求证：FG∥平面AA1B1B.[证明]在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.因为BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.[题组训练]1．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．2．如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM ＝2MC.求证：BM ∥平面P AD .证明：法一：如图，过点M 作MN ∥CD 交PD 于点N ，连接AN . ∵PM ＝2MC ，∴MN ＝23CD .又AB ＝23CD ，且AB ∥CD ，∴AB 綊MN ，∴四边形ABMN 为平行四边形， ∴BM ∥AN .又BM ⊄平面P AD ，AN ⊂平面P AD ， ∴BM ∥平面P AD .法二：如图，过点M 作MN ∥PD 交CD 于点N ，连接BN . ∵PM ＝2MC ，∴DN ＝2NC ， 又AB ∥CD ，AB ＝23CD ，∴AB 綊DN ，∴四边形ABND 为平行四边形， ∴BN ∥AD .∵BN ⊂平面MBN ，MN ⊂平面MBN ，BN ∩MN ＝N ， AD ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，AD ∩PD ＝D ， ∴平面MBN ∥平面P AD .∵BM ⊂平面MBN ，∴BM ∥平面P AD .3.如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和P A 作平面P AHG 交平面BMD 于GH .求证：P A ∥GH .证明：如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接MO ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点，∴P A ∥MO . 又MO ⊂平面BMD ，P A ⊄平面BMD ， ∴P A ∥平面BMD .∵平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ， P A ⊂平面P AHG ， ∴P A ∥GH .考点二平面与平面平行的判定与性质[典例]如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.[证明](1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.[变透练清]1.(变结论)在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C，AC1，设交点为M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵DM⊄平面A1BD1，A1B⊂平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1⊂平面AC1D，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，则AE必过DF与GN的交点O.连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD ∥平面MNG .又DE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ， 所以平面BDE ∥平面MNG .[课时跟踪检测]A 级1．已知直线a 与直线b 平行，直线a 与平面α平行，则直线b 与α的关系为( ) A ．平行 B ．相交C ．直线b 在平面α内D ．平行或直线b 在平面α内解析：选D 依题意，直线a 必与平面α内的某直线平行，又a ∥b ，因此直线b 与平面α的位置关系是平行或直线b 在平面α内．2．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内且过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：选A 当直线a 在平面β内且过B 点时，不存在与a 平行的直线，故选A. 3．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．不能确定解析：选A 如图，由AE EB ＝CFFB 得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC ∥平面DEF .4．(2019·重庆六校联考)设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D 对于选项A ，若存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a ，使得a ∥α，a ∥β，所以选项A 的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B 、C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.5.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由题图，显然①是正确的，②是错误的； 对于③，∵A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ，∴A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ，FG ⊂平面EFGH ， ∴A 1D 1∥平面EFGH (水面)． ∴③是正确的；对于④，∵水是定量的(定体积V )， ∴S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V .∴BE ·BF ＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选C.6.如图，平面α∥平面β，△P AB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝________.解析：∵平面α∥平面β，∴CD ∥AB ， 则PC P A ＝CDAB ，∴AB ＝P A ×CD PC ＝5×12＝52. 答案：527．设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件： ①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③8．在三棱锥P ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：如图，过点G 作EF ∥AC ，分别交P A ，PC 于点E ，F ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：89.如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点．求证：(1)EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明：(1)如图，取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ， 因为OG 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，所以BE 綊OG ，所以四边形BEGO 为平行四边形， 故OB ∥EG ，因为OB ⊂平面BB 1D 1D ， EG ⊄平面BB 1D 1D ， 所以EG ∥平面BB 1D 1D . (2)由题意可知BD ∥B 1D 1.连接HB ，D 1F ，因为BH 綊D 1F ， 所以四边形HBFD 1是平行四边形， 故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ， 所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .10．(2019·南昌摸底调研)如图，在四棱锥P ABCD 中，∠ABC ＝ ∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，AB ＝1.设M ，N 分别为PD ，AD 的中点．(1)求证：平面CMN ∥平面P AB ； (2)求三棱锥P ABM 的体积．解：(1)证明：∵M ，N 分别为PD ，AD 的中点， ∴MN ∥P A ，又MN ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ， ∴MN ∥平面P AB .在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，CN ＝AN ， ∴∠ACN ＝60°.又∠BAC ＝60°，∴CN ∥AB . ∵CN ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， ∴CN ∥平面P AB . 又CN ∩MN ＝N ， ∴平面CMN ∥平面P AB .(2)由(1)知，平面CMN ∥平面P AB ，∴点M 到平面P AB 的距离等于点C 到平面P AB 的距离． ∵AB ＝1，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴BC ＝3，∴三棱锥P ABM 的体积V ＝V M P AB ＝V C P AB ＝V P ABC ＝13×12×1×3×2＝33.B 级1.如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N BCM 的体积． 解：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ， 由N 为PC 的中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ， 所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3，得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5. 所以四面体N BCM 的体积V N BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453.2.如图所示，几何体E ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD .(1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 证明：(1)如图所示，取BD 的中点O ，连接OC ，OE .∵CB ＝CD ，∴CO ⊥BD .又∵EC ⊥BD ，EC ∩CO ＝C ，∴BD ⊥平面OEC ，∴BD ⊥EO .又∵O 为BD 中点．∴OE 为BD 的中垂线，∴BE ＝DE .(2)取BA 的中点N ，连接DN ，MN .∵M 为AE 的中点，∴MN ∥BE .∵△ABD 为等边三角形，N 为AB 的中点，∴DN ⊥AB .∵∠DCB ＝120°，DC ＝BC ，∴∠OBC ＝30°，∴∠CBN ＝90°，即BC ⊥AB ，∴DN ∥BC .∵DN ∩MN ＝N ，BC ∩BE ＝B ，∴平面MND ∥平面BEC .又∵DM ⊂平面MND ，∴DM ∥平面BEC .。
