人教版九年级数学上册知识点总结
第二十一章 二次根式 21.1 二次根式
知识点一 二次根式的概念 (1) 一般地,我们把形如
a (a ≥0)的式子叫做二次根式。二次根式a 的实质是一个
非负数a 的算术平方根。其中“
”叫做二次根号。
(2) 正确理解二次根式的概念，要把握以下几点： ① 二次根式是在形式上定义的，必须含有二次根号“
”。如
4是二次根式，虽
然
4=2，但2不是二次根式。
② 被开方数a 必须是非负数，即a ≥0.如
3-就不是二次根式，但式子)
3(-2
是二次根式。
③ “
”的根指数为2，即“2
”，一般省略根指数2，写作“
”，注意，不
可误认为根指数是“1”或“0”。
提示：判断是不是二次根式，一看形式，二看数值，即形式上要有二次根号，被开方数要是非负数。
知识点二 二次根式的性质
（1）
a （a ≥0）既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负
数，即a ≥（a ≥0），我们把这个性质叫做二次根式的非负性。
（2）（
a ）2
= a （a ≥0），这个性质可以正用，也可以逆用，正用时常用于二次根
式的化简和计算，可以去掉根号；逆用时可以把一个非负数写成完整平方数的形式，常用于多项式的因式分解。 （3）
a
2
= a (a ≥0)，这个性质可以正用，也可以逆用，正用时用于二次根式的化
简，即当被开方数能化为完全平方数（式）时，就可以利用该性质去掉根号；逆用时可以把一个非负数化为一个二次根式。 知识点三 代数式
定义：用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式。
21.2 二次根式的乘除
知识点一 二次根式的乘法法则
一般地，对二次根式的乘法规定：
a ·b
=
ab (a ≥0,b ≥0)，即二次根式相乘，
把被开方数相乘，根指数不变。 知识点二 积的算术平方根的性质 ab =a ·b
（a ≥0，b ≥0），积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根
的积。
知识点三 二次根式的除法法则
一般地，对二次根式的除法规定：b
a =
b
a （a ≥0，
b ＞0），即两个二次根式相除，
把被开方数相除，根指数不变。 知识点四 商的算术平方根的性质
b
a
=
b
a （a ≥0,
b ＞0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
知识点五 最简二次根式 必须满足以下两个条件：
（1） 被开方数不含分母；
（2） 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
21.3 二次根式的加减
知识点一 二次根式的加减
二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，二次根式加减法的实质是将被开方数相同的二次根式合并，合并时只把系数相加减，根指数和被开方数不变。 知识点二 二次根式的混合运算
（1） 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序相同：先乘方开方，再乘除，
最后加减，有括号的先算括号里面的。
（2） 在二次根式的运算中乘法法则和乘法公式仍然适用。
22.1 一元二次方程
知识点一 一元二次方程的定义
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）
的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点：
① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式：ax
2
+ bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax 2是二次项，a 是二次项系数；
bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 知识点三 一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
22.2 降次——解一元二次方程 22.2.1 配方法
知识点一 直接开平方法解一元二次方程
（1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以
直接开平方。一般地，对于形如x 2=a(a ≥0)的方程，根据平方根的定义可解
得x 1=
a ,x 2
=a .
（2） 直接开平方法适用于解形如x 2
=p 或(mx+a)2
=p(m ≠0)形式的方程，如果p ≥0，
就可以利用直接开平方法。
（3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的
平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未
知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
知识点二配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）方程两边都除以二次项系数；
（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；
（4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
22.2.2 公式法
知识点一公式法解一元二次方程
（1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么
方程的两个根为x=
a ac
b b
2
4 2
-
±
-
，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得
方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
（2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。
（3）公式法解一元二次方程的具体步骤：
①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值
②确定公式中a,b,c的值，注意符号；
③求出b2-4ac的值；
④若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方
程无实数根。
知识点二一元二次方程根的判别式
式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4ac.
△＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根
一元二次方程△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根
根的判别式
△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根
22.2．3 因式分解法
知识点一因式分解法解一元二次方程
（1）把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。
（2）因式分解法的详细步骤：
①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；
②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全
平方公式；
③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；
④解一元一次方程即可得到原方程的解。
知识点二用合适的方法解一元一次方程
