概率论与数理统计在实验及科学研究和生产生活中的应用
Tarys
摘要数学作为一门工具性学科，在科研及生产生活中发挥着重大作用。文章讨论了概率论和数理统计在各方面的应用，其中，重点放在了在实验中的应用。通过分析，我们可以看出，一方面我们可以用数理统计的方法处理数据，另一方面，我们也可以用概率论的知识来知道实践。
关键词概率论；数理统计；实验
The Application of Probability and Mathematical Statistics in
Experiment, Scientific Research and Life
Tarys
Abstract: As an instrumental discipline, Mathematics plays a great role in life in the scientific research and production. I discussed the application of probability and mathematical statistics in all aspects, of which, I focused on the application in the experiment. By analysis, we can see that, on the one hand, we can use the method of mathematical statistics to adjust the data we got, on the other hand, we also can use the probability theory to guide our work.
Key words: Probability; Mathematical Statistics; Experiment
一、在测量误差与数据处理中的
应用
一般来说，测量过程都是测试人在一定的环境条件下，使用一定的测量仪器进行的。由于仪器的结构不可能完美无缺，测试人的操作、调整及读数也不可能完全正确，环境条件的变化，如温度的波动、机械振动、电磁辐射的随机变化等也将不可避免的造成各种干扰，因此，任何测量都不能做到绝对准确。
为了使误差减小，用概率论及数理统计方法可以指导实验的测量过程；同时，用概率论及数理统计方法的对所测量得到的数据进行处理，使之更接近真值，同时运用概率论的方法可以得出实验结果的适用范围，从而指导实践。1、随机误差的正态分布规律
对某一物理量在相同条件下进行n次重复测量，由于随机误差的存在，测量结果
n
A
A
A,
,
,
2
1
⋯一般都存在着一定的差异如
果该物理量的真值为
A，则根据误差的定义，各次测量的误差为
A
A
x
i
i
-
=n
i，
⋯
=,2,1（式一）x一般为连续变量。大量实践证明，
随机误差
i
x的出现是服从一定的统计分布——正态分布规律的：
2
2
2
2
1
)
(σ
σ
π
x
e
x
f-
=（式二）
式中，σ是一个取决于具体测量条件的常量，称为标准误差。 2、标准误差的统计意义
可以证明，标准误差σ可表示为
∑=-=n
i i A A n 1
20)(1σ 式三中，n 代表测量次数。该式成立的条件是要求测量次数∞→n 。下面对统计特征量σ作进一步的研究。
由概率密度分布函数的定义式（式二），计算其中某次测量随机误差出现在
[]σσ+-，区间的概率为
683.0)()(P ==+≤≤-⎰+-σσ
σσdx x f x
同样可以计算，某次测量随机误差出现
在]22[σσ+-，
和]33[σσ+-，区间的概率分别为0.955和0.997。 通过以上的分析，可以得出标准误差σ所表示的概率意义。对物理量A 任作一次测量时，测量误差落在σ-到σ+之间的可能性为68.3%，落在σ2-到σ2+之间的可能性为95.5%，而落在σ3-到σ3+之间的可能性为99.7%。
3、由于真值0A 和特征量σ在实际测量中是无法测得的，这样，在实验中便相应产生了对应于二者的量：算数平均值（式五）和标准偏差（式六）。
A n
A
n
i i
=∑=1
1
)
(1
2
--=
∑=n A A
S n
i i
A
其中，（式六）也称为贝塞尔（Bessel ）公式。
对A 的有限次测量的算术平均值A 也是一个随机变量，因此就产生了有限次测量
算术平均值的标准偏差A S 这一概念
n
S S A A =
可以证明，测量量的真实值0A 落在][A A S A S A +-，（置信区间）范围内的
概率为68.3%（置信概率），落在
]22[A A S A S A +-，范围内的概率为
95.5%，而落在]33[A A S A S A +-，范围内的概率为99.7%。
应用概率论与数理统计可测各个物理量的不确定度，从而得出结果的完整值。
下面，我们从两个方面举出两个实验实例，用以说明数理统计的实验应用： (数据皆为笔者实验所得)
1、 惠斯通电桥测电阻 箱式电桥 表一
x R
N R R ∆ n ∆
a 30 210- 3001 1 3.9
0.2
200
110- 1966
1 12.9 0.1 3107.2⨯
1
2691
1
6.3
0.1
自组电桥 表二
x R
Ωx r ΩR r ΩR R
∆ n
∆ 30
100 1000 297.
9 1 7.7 200
100 1000 1967 5 2.9 3
107.2⨯
100
100
2643
6
4.2
3
107.2⨯
100 100 2670 3 7.7
根据数理统计的方法：可得校正后的结果
（式三） （式四）
（式五）
（式六）
（式七）
