数学归纳法例题及参考答案
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数学归纳法(
一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是:
(1)证明当n 取第一个值0n (如01n =或2等)时结论正确;
(2)假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥时结论正确,证明1n k =+时结论也正确. 综合(1)、(2),……
注意:数学归纳法使用要点:两步骤,一结论。
二、题型归纳:
题型1.证明代数恒等式
例1.用数学归纳法证明:
证明:①n =1时,左边31311=⨯=,右边3
1121=+=,左边=右边,等式成立. ②假设n =k 时,等式成立,即:
()()12121217
51531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k Λ. 当n =k +1时.
这就说明,当n =k +1时,等式亦成立,
由①、②可知,对一切自然数n 等式成立.
题型2.证明不等式
例2.证明不等式n n 21
31
21
1<++++Λ(n ∈N).
证明:①当n =1时,左边=1,右边=2.
左边<右边,不等式成立.
②假设n =k 时,不等式成立,即k k 2131211<++++
Λ.
那么当n =k +1时,
这就是说,当n =k +1时,不等式成立.
由①、②可知,原不等式对任意自然数n 都成立.
说明:这里要注意,当n =k +1时,要证的目标是 1211
1
31
21
1+<++++++k k k Λ,当代入归纳假设后,就是要证明:
1211
2+<++k k k .
认识了这个目标,于是就可朝这个目标证下去,并进行有关的变形,达到这个目标. 题型3.证明数列问题
例3(x +1)n =a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+a 3(x -1)3+…+a n (x -1)n (n ≥2,n ∈N *).
(1)当n =5时,求a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5的值.
(2)设b n =,T n =b 2+b 3+b 4+…+b n .试用数学归纳法证明:当n ≥2时,T n =.
解: (1)当n =5时,
原等式变为(x +1)5=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+a 3(x -1)3+a 4(x -1)4+a 5(x -1)5
令x =2得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=35=243.
(2)因为(x +1)n =[2+(x -1)]n ,所以a 2=C n 2·2n -2
b n ==2C n 2=n (n -1)(n ≥2)
①当n =2时.左边=T 2=b 2=2,
右边==2,左边=右边,等式成立.
②假设当n =k (k ≥2,k ∈N *)时,等式成立,
即T k =成立
那么,当n =k +1时,
左边=T k +b k +1=+(k +1)[(k +1)-1]=+k (k +1)
=k (k +1)=
==右边.
故当n =k +1时,等式成立.
综上①②,当n ≥2时,T n =.