成都市东湖中学九上数学《二次函数》专题---二次函数与等腰三角形专练

成都市东湖中学九上数学《二次函数专题之特殊角度问题》专练
1、如图所示,已知直线y=kx+m与x轴、y轴分别交于A、C两点,抛物线y=−x2+bx+c经过A、
C两点,点B是抛物线与x轴的另一个交点,当x=−1
2
时,y取最大值
25
4
.顶点为D点
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)设点E是x轴上一点,若∠DCE=90∘，求点E的坐标；
(3)设点F是AC上一动点,若∠AFB=90∘，求点F的坐标；
(4)若直线y=1
2
x+t与(1)中所求的抛物线交于M、N两点，问：是否存在t的值,使得∠MON=90∘?
若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)设点G是x轴上一点,若∠GCB=∠GBC，求点G的坐标；
(5)在抛物线上是否存在一点H，使得∠HAC=∠HCA，若存在，求点H的坐标，若不存在，说
明理由；
(6)在抛物线上是否存在一点P，使得∠PCA=∠BAC，若存在，求点P的坐标，若不存在，说
明理由；
(8)设直线y=-ax+3与直线AC的交点为P（不与C重合），与y轴的交点为H，若∠HPC=∠OCA，
求点P的坐标及a的值；
2、如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点D的坐标为(1,−9
2
),且与x轴交于A、B两点,与y 轴
交于C点,A点的坐标为(4,0).P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m.
(l)求抛物线所对应的二次函数的表达式；
(2)若动点P满足∠PAO不大于45∘，求P点的横坐标m的取值范围；
(3)当P点的横坐标m<0时，过P点作y轴的垂线PQ，垂足为Q.问：是否存在P点，使∠
QPO=∠BCO ?若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。

成都市东湖中学九上数学《二次函数》专题——二次函数与平行四边形专练例：如图，抛物线与x轴交A(-1,0)、B（3,0）两点，与y轴交于点C,顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上有一动点M，在抛物线的对称轴上是否存在一点N，使以A,B,M,N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在直接写出M点的坐标.（3）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m①求直线BC的解析式②用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF是平行四边形？提升1：在（3）条件下，四边形PEDF可能是菱形吗？如果可能，求m的值；如果不可能，请说明理由。

提升2：在刚刚（3）的背景下，PF ∥DE 的背景下，P 的横坐标为m ，如图构造矩形PRFS ，设矩形PRFS 的周长为P ，矩形在线段CB 上运动过程中,求P 与m 的函数关系式及P 的最大值。

练习1.如图，抛物线y=x 2+bx+c 的顶点为D （﹣1，﹣4），与y 轴交于点C （0，﹣3），与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC ，CD ，AD ，试证明△ACD 为直角三角形； （3）若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以A ，B ，E ，F 为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，已知抛物线243y x x =-+与x 轴交于两点A 、B ，其顶点为C ．(1)对于任意实数m ，点M （m ，-2）是否在该抛物线上?请说明理由；(2)求证:△ABC 是等腰直角三角形；(3)已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．4.如图，在直角坐标系x O y 中，正方形OCBA 的顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴上，点B 坐标为（6，6），抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、B 两点，且13-=-b a ．（1）求a ，b ，c 的值；（2）如果动点E 、F 同时分别从点A 、点B 出发，分别沿A→B 、B→C 运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E 到达终点B 时，点E 、F 随之停止运动．设运动时间为t 秒，EBF ∆的面积为S ． ①试求出S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值；②当S 取得最大值时，在抛物线上是否存在点R ，使得以E 、B 、R 、F 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R 的坐标；如果不存在，请说明理由．。

成都市东湖中学九上数学《二次函数》专题————二次函数与反比例函数综合导练1.如图，已知抛物线y ＝(3－m)x2＋2(m －3)x ＋4m －m2的顶点A 在双曲线y ＝3 x上，直线y ＝mx ＋b 经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ． （1）求直线AB 的解析式；（2）将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°，与x 轴交于点D ，与y 轴交与点E ，求sin ∠BDE 的值； （3）过点B 作x 轴的平行线与双曲线交于点F ，点M 在直线BF 上，且到抛物线的对称轴的距离为6．若点N 在直线BF 上，直接写出使得∠AMB ＋∠ANB ＝45°的点N 的坐标．2.如图，抛物线y ＝ax2＋bx （a ＞0）与双曲线y ＝kx相交于点A ，B ，已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOx ＝4．过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积？若存在，直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，已知二次函数y ＝ax2＋2x ＋c （a ＞0）图象的顶点M 在反比例函数y ＝3 x的图象上，且与x 轴相交于A 、B 两点．（1）若二次函数图象的对称轴为x ＝－12，试求a 、c 的值； （2）在（1）的条件下，求线段AB 的长；（3）若二次函数图象的对称轴与x 轴的交点为N ，当NO ＋MN 取最小值时，试求二次函数的解析式．4.如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A ( 3 , 3) ，把直线 OA 向下平移后，与反比例函数的图象交于点B(6,m)，与x 轴、y 轴分别交于C 、D 两点。

(1）求 m 的值；( 2 ）求过 A 、B 、D 三点的抛物线的解析式；( 3 ）若点E 是抛物线上的一个动点，是否存在点 E ，使四边形 OECD 的面积S 1 ，是四边形OACD 面积S 的32?若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，抛物线y=ax 2+bx （a 0）与双曲线y =xk相交于点A ，B . 已知点B 的坐标为（-2，-2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOx =4. 过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ．（1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．5.如图，二次函数y ＝ax2＋bx （a ＞0）与反比例函数y ＝kx的图象相交于A ，B 两点，且点A 的坐标为（1，4），点B 在第三象限，△AOB 的面积为3． （1）求二次函数的表达式；（2）过点A 作x 轴的平行线，交二次函数y ＝ax2＋bx 的图象于另一点C ，连接CO ，在坐标平面内求点P ，使△POC ∽△AOB （点P 与点A 对应）．6.如图，二次函数y＝ax2＋bx（a＞0）的图象与反比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，且点A的坐标为（1，4），点B在第三象限．（1）求该二次函数的表达式；（2）设二次函数图象与x轴的另一个交点为D，E点为线段OD上的动点（与O，D不重合），过E点作EF∥OB，交BD于F，连接BE．①设OE的长为m，△BEF的面积为S，求S关于m的函数关系式；②当△BEF为等腰三角形时，求点E的坐标．。

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检验
如图，是某隧道，其截面是由一抛物线和一矩形构成， 矩形的长为 8 m，宽为2米，隧道为单行线，最高为6米． （1）建立恰当的平面直角坐标系，并求出隧道拱抛物线的关系式； （2）在隧道拱的两侧距地面 3 m 高处各安装一盏路灯，在（1）的平面 直角坐标系中用坐标表示其中一盏路灯的位置； （3）现有一辆汽车，装载货物后， 高4 m，宽2 m，该车能否通过这个隧道？ 请说明理由． （4）如果该隧道内的路面为双车道， 那么这辆货运卡车是否可以通过。
y y O O
方法1
x y
方法2
O
方法3
x
如图，某景区的大门呈抛 物线型，大门地面宽AB为4m,顶 部C距地面的高度为4.4m。 一辆满载货物的汽车欲通 过大门，货物顶部距地面2.65m, 装货宽度为2.4m,那么这辆汽车 能否顺利通过大门？
O A 1、汽车以怎样的方式通过？ 你能不能帮帮我？ 我能过去吗？ C 2、汽车通过通不过，与什么有关系？ 3、怎样建立适当的平面直角坐标系？
2
(0<x<10) A
D
x
20 15 10 5 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1o
y
C
B
x
如图，用长20米的篱笆围成一个一面靠 墙的长方形的菜园，设菜园的宽为x米，面 积为y平方米。 D A (1)求y与x的函数关系式及 自变量的取值范围； (2)怎样围才能使菜园的面积最大？ 最大面积是多少？ B C
B A 解：如图，以AB所在的直线为X轴，A为原点建立直角 坐标系由题意知， 点B（4,0），点A(0,0)顶点C（2,4.4） 把C点的坐标代入得