实验4 常微分方程数值解分1 黄浩 43一、实验目的1.掌握用MATLAB软件求微分方程初值问题数值解的方法；2.通过实例学习用微分方程模型解决简化的实际问题；3.了解欧拉方法和龙格-库塔方法的基本思想和计算公式，及稳定性等概念。
二、实验内容1.《数学实验》第一版（问题2）问题叙述：小型火箭初始重量为1400kg，其中包括1080kg燃料。
火箭竖直向上发射时燃料燃烧率为18kg/s，由此产生32000N的推力，火箭引擎在燃烧用尽时关闭。
设火箭上升时空气阻力正比于速度的平方，比例系数为0.4kg/m，求引擎关闭瞬间火箭的高度、速度、加速度，及火箭到达最高点时的高度和加速度，并画出高度、速度、加速度随时间变化的图形。
模型转换及实验过程：（一）从发射到引擎关闭设火箭总质量为m，上升高度为h，瞬时速度为v，瞬时加速度为a，由燃料燃烧时间t=60s，可列如下的方程组：t∈[0,60]−9.8因此，上述方程为二元常微分方程组，选择t为自变量，h和v为因变量进行分析。
初值条件：h(0)=0 ,v(0)=0对上述模型，使用ode45()函数求数值解（程序见四.1、四.2），结果如下：由上表可知，引擎关闭瞬间，火箭的高度为12189.78m，速度为267.26m/s，加速度为0.9170m/s2，火箭至此已飞行60s而高度、速度、加速度随时间的变化曲线如下：(二)从引擎关闭到最高点设引擎关闭时，t1=0，由上一问的结果可知，h(0)=12189.78m，v(0)= 267.26m/s，m=320kg，则可列二元常微分方程组如下：9.8因此，可选择t1为自变量，h、v为因变量进行分析（程序见四.3、四.4），实验结果如下：由上表可知，当t1∈[11,12]时，v(t1)有零点，即该区间内某时刻火箭达到最高点。
再进行更细致的实验（程序略），设步长为0.01，观察该区间内v(t1)的零点，如下表所示：可以看出，当t1=11.30s，即总时间t=71.30s时，火箭达到最高点，高度为13115.36m，加速度为-9.8m/s2。
常微分方程的解析解与数值解常微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域。
解析解和数值解是求解常微分方程的两种常用方法。
本文将介绍常微分方程的解析解和数值解的概念、特点以及应用，并讨论两者在不同情况下的优缺点。
一、解析解解析解是指通过数学方法直接获得的方程的解。
对于某些简单的常微分方程，可以通过变量分离、分离变量、常数变易等方法获得解析解。
解析解具有以下几个特点：1. 精确性：解析解是通过数学方法得到的，是方程的精确解。
它可以给出方程在任意时刻的解，对于问题的研究具有重要意义。
2. 通用性：解析解适用于一类具有相同形式的常微分方程。
一旦求得了一类方程的解析解，就可以应用到同类问题中。
3. 物理含义明确：解析解通常具有明确的物理含义，能够帮助我们理解问题的本质和规律。
解析解在一些特定情况下具有明显的优势。
例如，当方程形式简单、边界条件明确、初值明确时，解析解能够提供准确的结果。
此外，解析解也有助于我们对问题的理论分析和深入研究。
二、数值解数值解是通过数值计算方法获得的方程的近似解。
对于复杂的常微分方程，往往难以找到解析解，这时候就需要借助数值方法进行求解。
数值解具有以下几个特点：1. 近似性：数值解是通过数值计算获得的，只能提供方程的近似解。
随着计算步长的减小，近似解会逐渐接近真实解。
2. 条件灵活：数值解对问题的条件要求相对较低。
例如，数值方法可以求解非线性方程、高阶方程、边值问题等各种复杂情况。
3. 计算复杂度：数值解通常需要借助计算机进行迭代计算，计算复杂度较高。
数值解在实际问题中应用广泛且有效。
数值方法可以通过逼近、插值、差分等数值计算技术，将方程转化成逐步计算的步骤，获得精确度可控的近似解。
数值解的优势在于对于复杂问题的求解能力和计算相对高效。
三、解析解与数值解的比较解析解和数值解各自具有不同的特点和优势，在不同的问题和求解需求中有着相应的应用。
解析解在以下情况下具有优势：1. 简单线性方程：对于形式简单的一阶线性常微分方程，如首次线性方程、可分离变量方程等，可以通过解析方法求得解析解。
